Integrales triples en coordenadas esfericas

Question 1

¿Qué son las coordenadas esféricas, que es cada uno de sus elementos y cuando es útil este sistema?

Answer 1

Las coordenadas esféricas de un punto P son: P(ρ,θ,φ) donde ρ es la distancia del origen al punto, θ es el ángulo respecto del semieje positivo x, y φ es el ángulo respecto del semieje positivo Z (se mueve entre 0 y π).

Éste sistema simplifica la evaluación de la triple integral sobre regiones acotadas por esferas o conos.

Question 2

Nota:

Answer 2

ρ es mayor que cero, θ se mueve entre 0 y 2π, y φ se mueve entre 0 y π.

Question 3

¿Qué figura se forma en los casos particulares ρ=C, θ=C y φ=C?

Answer 3

ρ=C es una esfera con centro en el origen y radio C
θ=C es un semiplano vertical
φ=C es un semicono, que tiene por eje, al eje Z

Question 4

¿Qué relaciones utilizamos para pasar de rectangulares a polares y de donde salen estas ecuaciones?

Answer 4

Las relaciones son:
X= ρsen(φ)cos(θ)
Y= ρsen(φ)sen(θ)
Z= ρ*cos(φ)
ρ^2 = X^2 + Y^2 + Z^2

Y estas provienen de mirar el triangulo formado por un punto en coordenadas cilíndricas, combinado con el hecho de que conocemos X=rcos, Y=rsen

Question 5

Nota:

Answer 5

Ojo con el ángulo que nos devuelve el coseno o seno al pasar de una coordenada a otra, ya que si, por ejemplo, la coordenada rectangular nos da una coordenada de Y positiva, cuando busquemos el sen(), puede llegar a devolvernos un ángulo que esta en el cuadrante de las Y negativas… (chequear)

Question 6

¿Qué es una cuña esférica?

Answer 6

Es la contraparte en, coordenadas esféricas, de una caja rectangular, y se define como:

                 E  =  {(ρ,θ,φ),  a<ρ<b,  α<θ<β,  c<φ<d}

Donde a>0, β-α<2π y d-c<π

Question 7

¿Cómo dividimos a una cuña esférica, para hacer plantear el concepto de integral triple en coordenadas esféricas?

Answer 7

Dividimos E en cuñas esféricas más pequeñas E(ijk) por medio de esferas igualmente espaciadas ρ=ρ(i), semiplanos θ=θ(j) y semiconos φ=φ(k)

E(ijk) es aproximadamente una caja rectangular con dimensiones Δρ, ρ(i), Δθ

                    Ver si o si figura 7 pagina 1034

Question 8

¿Cómo planteamos la integral (formalmente) a partir de esto?

Answer 8

Partimos del hecho de que el volumen de cada cuña pequeña esta dado por ΔV = (ρ^2) * sen(φ) * ΔρΔθΔφ, o lo que es igual a (ρ^2) * sen(φ) (dρ dθ dφ)

Luego, planteamos la integral triple en coordenadas rectangulares, tomando los limites para l, m y n, de los puntos medios x, y, z

Conservando los símbolos sumatorios planteados, reemplazamos la función por su equivalente en coordenadas esféricas, y el diferencial correspondiente.

Finalmente, vemos que esto se convierte en la suma de Riemann para la función en coordenadas esféricas, en consecuencia, se ha llegado a la formula visible en el teorema 3, pagina 1035.

Question 9

Pero allí se plantea para regiones “rectangulares”, entonces, ¿Cómo seria la región de integración, y el planteamiento de la integral si se trata de una región general?

Answer 9

Los ángulos, tanto respecto del eje x, como del z, se van a mover siempre entre valores, y no entre funciones, por lo cual sabemos que dos intervalos de la región van a ser α<θ<β, c<φ<d

Luego, el valor de ρ puede estar limitado por funciones de dos variables F(θ,φ), quedando el ultimo intervalo (el mas interno) como g(θ,φ)<ρ<h(θ,φ)

Finalmente lo único que resta es plantear la triple integral con los extremos dados, teniendo en cuenta que la integral mas interna se es la de ρ, debido a que esta implica funciones de las otras dos variables

Question 10

Nota:

Answer 10

Ver ejemplo 4 pagina 1036 SI O SI y sus graficas