Integrales triples en coordenadas cilíndricas

Question 1

¿Cómo se definen las coordenadas cilíndricas?

Answer 1

En el sistema de coordenadas cilíndricas, un punto P en el espacio de tres dimensiones está representado por la terna (r, θ, z), donde r y θ son coordenadas polares de la proyección de P sobre el plano xy, y z es la distancia dirigida del plano xy a P.

Question 2

¿Con que relaciones contamos para pasar de un tipo de coordenadas al otro?

Answer 2

x=rcos(θ)
y=rsen(θ)
z=z
(r^2)=(x^2)+(y^2)
tan(θ)=y/x

Question 3

Si me pidieran pasar un punto de polares a cartesianas, para pasar, por ejemplo, la coordenada x, ¿con que debería reemplazar en r*cos(θ)?

Answer 3

Debo completar con los componentes del punto dado en polares, es decir, el r de ese punto y el θ de ese punto

Question 4

¿Cuándo son utiles las coordenadas cilindricas?

Answer 4

Las coordenadas cilíndricas son útiles en problemas que involucran simetría respecto a un eje, y el eje z se elige de manera que coincida con el eje de simetría.

Nota: Por ejemplo, el eje del cilindro circular con coordenadas cartesianas x^2 + y^2 = c^2 es el eje z y su ecuación en cilíndricas es tan sencilla como r=c

Question 5

Si en la ecuación de la superficie no aparece theta, ¿significa que esta fija, que se mueve libremente, o que debo recurrir a cartesianas para ver su comportamiento?

Answer 5

Si theta no aparece, entonces significa que esta se mueve libremente, por lo que hay que considerar desde 0 a 2pi

Question 6

Ahora, ¿como planteamos una integral triple con este tipo de coordenadas?

Answer 6

Convertimos una integral triple de coordenadas rectangulares a cilíndricas escribiendo x=rcos(θ), y=rsen(θ), dejando a z como está, usando los límites de integración apropiados para z, r y θ, y finalmente, remplazando dV por rdzdr*dθ.

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Question 7

Nota:

Answer 7

Vale la pena utilizar esta fórmula cuando E es una región sólida fácilmente descrita en coordenadas cilíndricas y especialmente cuando la función f(x, y, z) involucra la
expresión x^2 + y^2

Question 8

Nota:

Answer 8

Ver si o si ejemplos pagina 1030