Derivadas direccionales y el vector gradiente

Question 1

¿Que son las derivadas direccionales?

Answer 1

Una derivada direccional es una derivada parcial que no va ni en direccion de x (Tx) ni en direccion de y (Ty) sino que tiene la de un vector UNITARIO (a,b)

Question 2

¿Cual es su interpretacion geometrica?

Answer 2

Si nosotros tenemos una superficie Z=F(x,y) y un punto deseado, en lugar de cortar con un plano x=k o y=k, lo cortamos con uno que tiene tanto direccion en x como en y. Luego, al hacer esto se forma una curva c, la cual, en ese punto, la pendiente de la recta tangente es la derivada direccional (ver demostracion)

Question 3

Entonces, como es la definición formal para el calculo de una derivada direccional? (el limite)

Answer 3

Lim h-0 [f(X+ha , Y+hb) - f(X,Y)] /h

Siendo X, Y las coordenadas del punto sobre el que se calcula la derivada, y a,b los componentes del vector direccional

Question 4

Entonces, cual es la diferencia entre las derivadas parciales Fx y Fy con las direccionales?

Answer 4

En teoria son lo mismo, ya que Fx y Fy son casos especiales de las direccionales, casos en los que la direccion es i o j

Question 5

Nota:

Answer 5

Ver ejemplo 1 pagina 934

Question 6

Como es la regla matematica para calcular la derivada direccional sin el limite?

Answer 6

Du f(X,Y) = Fx(X,Y)a + Fy(X,Y)b

(siendo a y b los componentes del vector unitario)

Question 7

Si nos dan el angulo que el vector unitario forma con con el eje positivo X, como se reescribe la ecuacion para aprovechar ese dato?

Answer 7

Du f(X,Y) = Fx(X,Y)cos(fi) + Fy(X,Y)sen(fi)

Question 8

¿La ecuacion para el calculo de la direccional se puede descomponer en un producto punto de dos vectores, cuales son?

Answer 8

Si analizamos la ecuacion, es la suma de dos multiplicaciones, por un lado <a,b> (el cual ya dijimos es el vector direccion) y las derivadas parciales Fx y Fy: <Fx,Fy>

Question 9

Como se llama el vector <Fx,Fy> y que condiciones son necesarias para su existencia?

Answer 9

Se lo conoce como gradiente y su notacion es ∇f
Para que exista, f debe ser una funcion DERIVABLE de x e y

Question 10

Si ahora escribo la derivada direccional como el producto vectorial anteriormente mencionado <Fx,Fy> * U estamos expresando la derivada direccional como la proyeccion de un vector sobre el otro, ¿cual es cual?

Answer 10

Esta ecuación expresa la derivada direccional en la dirección de un vector unitario u como la proyección es calar del vector gradiente en u

Question 11

Y si quiero calcular la derivada direccional para una funcion w(x,y,z) en direccion de (a,b,c) en el punto (X,Y,Z), como es la ecuacion?

Answer 11

Es igual a la de f(x,y) pero agregando los correspondientes elementos de z:
Lim h-0 [f(X+ha , Y+hb, Z+hc) - f(X,Y,Z)] /h

Question 12

Nota:

Answer 12

Recordar que si unimos la definicion formal (el limite) con el producto vectorial hallado, podemos hallar una notacion mas compacta
Lim h-0 [f(X+hu) - f(X)] /h

Donde X=(X,Y,Z) y u=(a,b,c) para 3 variables (leer pag 937)

Question 13

Y ¿que pasa con el vector gradiente si ahora son 3 variables?

Answer 13

Nuevamente, solo necesitamos agregar el correspondiente termino de z: <Fx,Fy,Fz>
Las condiciones son las mismas pero ahora tambien debe ser derivable en z.

Question 14

Si tenemos una funcion derivable de dos o tres variables y un punto, si consideramos todas las derivadas direccionales, tenemos la razon de cambio de f en todos los sentidos, pero ¿En que sentido la razon de cambio es mayor y como la calculamos?

Answer 14

Este maximo se presenta cuando u tiene la misma dirección que el vector gradiente ∇f(x).
Se calcula como: |∇f(X)|

Question 15

¿Que podemos deducir sobre la posicion entre el vector gradiente y el vector tangente a cualquier superficie de nivel S, en un mismo punto P?

Answer 15

el vector gradiente en P, es perpendicular al vector tangente r’(t0) a cualquier curva C sobre S que pasa por P

Question 16

Dados los conceptos anteriores, que es y como definimos al plano tangente a la superficie de nivel F(x,y,z) = K en un punto P(X,Y,Z)

Answer 16

Es el plano tangente a esa superficie de nivel: pasa por P y tiene vector normal ∇f(X,Y,Z)

Su ecuacion es: Fx(X,Y,Z) * (x-X) + Fy(X,Y,Z) * (y-Y) + Fz(X,Y,Z)…

Question 17

¿Que es la recta normal?

Answer 17

La recta normal a S en P es la recta que pasa por P y es perpendicular al plano tangente. La dirección de la recta normal está definida, por lo tanto, por el vector gradiente

Su ecuacion simetrica es igual a las que haciamos en algebra, arriba x-X y abajo de cada termino, la derivada parcial de la variable correspondiente

Question 18

Y si la funcion fuera de 2 variables en lugar de 3, ¿como hallamos esta recta?

Answer 18

Su ecuacion es: Fx(X,Y) * (x-X) + Fy(X,Y) * (y-Y) - (z-Z) = 0

Question 19

Nota:

Answer 19

En la flaschard anterior lo que sucede es que tendriamos una funcion Z=F(x,y) en la que si pasamos z y dejamos igualada a 0, entonces podemos interpretar esto como una funcion de x,y,z igualada a “k=0”, por lo que volveriamos a la definicion inicial de plano tangente

Question 20

Si por ejemplo tengo un mapa topografico z=f(x,y) donde z es la altura, ¿que seria la curva de maxima pendiente?

Answer 20

Es la curva formada en cada punto por la direccion del vector gradiente en el mismo, y como este ultimo siempre es perpendicular a la curva/superficie de nivel, entonces la curva de maxima pendiente en perpendicular a todas las curvas de nivel

Question 21

Cuando me piden calcular la derivada direccional de una funcion en sentido de un vector v, y este ultimo no es unitario, ¿Debo hacerlo unitario?

Answer 21

Si, al utilizar un vector dirección unitario, se asegura que el cálculo de la derivada direccional no se vea afectado por la longitud del vector.
Si el vector dirección no fuera unitario, la derivada direccional incluiría información sobre la magnitud del vector dirección, lo cual no es el objetivo de este concepto.