Integrales dobles sobre rectangulos Flashcards
Cuando tenemos una grafica en el espacio, como podemos acotar un tramo de ella?
(por ejemplo en funciones de una variable decimos a<x<b)
Cuando hablemos de integrales dobles, nos va a interesar, tanto el intervalo de x como el de y:
a<X<b c<Y<d
Es decir, vamos a analizar una función f de dos variables defnidas sobre un rectángulo cerrado:
R= [a,b] X [c,d] = {(x,y) ∈ R2 | a ≤ X ≤ b, c ≤ Y ≤ d}
Entonces, si la funcion esta definida en un rectangulo R, ¿que se constituye entre este ultimo, y la grafica de la funcion?
(en una variable era un area rectangular)
Se conforma un solido que como techo tiene la forma de la grafica de la funcion:
S= {(x,y,z) ∈ R3 | 0 ≤ z ≤ f(x,y), (x,y) ∈ R}
Y en base a los conceptos anteriores, ¿como llegamos al concepto de integral?
(sumas de riemann)
Comenzamos por dividir el area sobre la cual tenemos la superficie, en n subrectangulos (al igual que en una variable) de igual area y longitud ([c-b]/n) y en cada uno de ellos tomamos un punto de muestra f(xij,yij)
Luego, como sabemos, el volumen de cada uno de ellos viene dado por la multiplicacion de su area y su altura:
f(Xij,Yij)*ΔA
Ahora debemos sumar el volumen de cada una de todas estas “columnas” mediante una DOBLE suma de riemann
Σ Σ(Xij,Yij)*ΔA
En donde el primer sigma maneja “x” (desde i hasta m), y el segundo maneja “y” (desde j hasta n)
Finalmente, planteamos el limite para cuando m y n tienden a infinito, y esta es la que se conoce como integral doble, que se reduce a:
∫∫f(x,y)*dA
(Si el limite existe)
¿Porque es una doble suma de riemann?
Entonces, ¿cuando una funcion es integrable y que pasa respecto a ello si acotamos su dominio?
Una función f se denomina integrable si existe el límite en la definición anterior
En general, la integral doble de f existe siempre que f “no sea también discontinua”.
En particular, si f está acotada en un rectángulo R y f es continua ahí (excepto en un número finito de curvas suaves), entonces f es integrable sobre R.
Y si la funcion es integrable, ¿cuando podemos considerar que lo calculado es un volumen?
El volumen de un solido contenido entre un rectángulo R y una función z=f(x,y) puede expresarse como una integral doble si f(x,y) ≥ 0:
la doble suma de Riemann va a representar la suma de volúmenes de columnas, lo cual la convierte en una buena aproximación del volumen bajo la gráfica de f
Si por alguna razon me pidieran estimar un volumen con una suma de riemann, con, por ejemplo, 4 sub-rectangulos
¿Como deberia proceder?
El primer paso es dividir R en esos 4 segmentos y observar de que area quedan (si teniamos un 2x2, ahora el area de cada subrectangulo va a ser 1x1), y luego, tomando el punto superior derecho de cada figura, hacemos la suma de (en mi ejemplo) los 4 elementos f(x,y)*A
Nota: para entender mejor ver pag 977
¿En que consta la regla del punto medio para la integral doble?
Se trata sobre calcular el volumen de de un solido mediante el uso de las sumas de riemann definidas anteriormente, pero con la caracteristica de que en lugar de usar como punto, el extremo superior, se usa el punto medio del intervalo: de cada subrectangulo elegimos su valor medio de x e y
Este metodo nos devuelve una aproximacion mas precisa del valor
Nota: ojo que si f(x,y) no es mayor que 0 no estariamos calculando un volumen!!
¿Como se calcula el valor promedio de una funcion de dos variables?
(recordar como se hacia para una variable y ahi sale)
se defne el valor promedio de una función f de dos variables definidas sobre un rectángulo R como:
Fprom = [1/A(R)]∫∫f(x,y)dA
Donde A(R) es el area del rectangulo R sobre el cual se acoto la funcion
¿Como podriamos hallar una caja que tenga el mismo volumen que el solido contenido entre esa funcion f(x,y) y el rectangulo R?
(Tener en cuenta la flash anterior)
Si f(x,y) > 0, entonces al pasar multiplicando A(R), nos queda FpromA(R) = ∫∫f(x,y)dA, lo cual, es una caja que tiene el mismo volumen que el solido
Nota: ver pagina 979
¿Cuales son las propiedades de las integrales dobles?
Posee las mismas propiedades que las integrales en una sola variable:
-La integral de una suma de funciones f(x,y) es la suma de las integrales
-La integral de una constante por una funcion, es igual a la constante por la integral de la funcion
-Si una funcion f(x,y) es mayor que otra g(x,y) para todo (x,y), entonces la integral doble de f es mayor que la de g siempre
Nota: averiguar bien sobre la primer propiedad, ya que habla de suma de funciones f(x,y), no puedo dividir las x por un lado y las y por otro
(Creo que si puedo pero esto no me va a salvar de hacer integrales dobles ya que al integrar respecto de una variable que no esta, la hago aparecer)
Nota:
A la hora de dividir el rectangulo base en varios rectangulos, cuando defino hasta donde va m y n (numeros de muestras en cada sentido), la cantidad total de subrectangulos se obtiene multiplicando n por m
