Funciones de varias variables Flashcards
Que es una funcion de dos variables
Es una funcion que a cada par ordenado (x,y) les asigna un unico valor perteneciente a los reales
Graficamente que es el dominio de estas funciones
Una conica (puede ser solo la conica, lo que esta por dentro y lo que esta por fuera)
Y la imagen?
Un pedazo de la recta de los numeros reales (z=k)
La notacion para este tipo de funciones suele ser
Z=f(x,y)
Por lo tanto, si quiero graficar la funcion, en que espacio va a estar?
En R3
Que son las curvas de nivel y para que sirven
Las curvas de nivel de una función f de dos variables son las curvas cuyas ecuaciones son f(x, y)=k, donde k es una constante perteneciente a los reales.
En otras palabras es el conjunto de todos los puntos en el dominio de f enel cual f toma un valor dado k
En que lugar la superficie tiene pendiente mas abrupta? (utilizando el concepto de curvas de nivel)
donde las curvas de nivel están muy cercanas entre sí (recordar que todas ellas estan proyectadas sobre el plano xy)
Como puedo usar las curvas de nivel para graficar?
Hago curvas de nivel con distinto valor de K y las voy dibujando en el espacio, luego las uno entre si (usando el razonamiento) y ahi obtengo la superficie
Como identifico las curvas de nivel?
reordeno la ecuacion tratando a k como un numero real y veo la conica que me queda, luego, le doy los valores que necesito y obtengo la conica especifica
Que es una funcion de tres variables?
Es una regla que asigna a cada terna ordenada (x, y, z) en
un dominio un único número real denotado por f (x, y, z).
Graficamente, ¿que es el dominio de uan funcion de tres variables?
Es una superficie en el espacio
Que dimension tiene la grafica de la funcion
4
Entonces, como hacemos para intentar entender graficamente la funcion?
Obtenemos sus superficies de nivel y las graficamos en el espacio R3
Pero, que son las superficies de nivel?
Son las superficies cuyas ecuaciones son f (x, y, z) =k, donde k es una constante. Si el punto (x, y, z) se desplaza por una superficie de nivel, el valor de f (x, y, z) sigue estando fijo.
Podemos tener funciones de mas de tres variables?
Si, se pueden tener todas las variables que se necesite. Un ejemplo es si tengo distintas recetas de cocina que llevan n ingredientes, la receta podria ser una funcion de esos n ingredientes (ver pagina 887)
Para que decimos que F(x,y) tiende a L cuando (x,y) tiende a (a,b)?
para indicar que los valores de f (x, y) se aproximan al número L cuando el punto (x, y) tiende al punto (a, b) que está en cualquier trayectoria que se encuentra dentro del dominio de f
¿Que es lo que hacemos para demostrar que el limite de una funcion de dos variables no existe?
Buscamos una curva que pase por el punto (sin incluirlo) y la reemplazamos en la ecuacion de f(x,y) quedando asi una funcion de una sola variable a la que le puedo calcular el limite
Luego si para dos caminos distintos obtuve dos limites distintos, EL LIMITE NO EXISTE
Cuantas posibles curvas existen para acercarme a ese punto?
Infinitas
Dar dos ejemplos de aproximacion a el punto (0,0) para f(x,y)
Las rectas x=0, y=0 y una parabola Y=X^2 o X=Y^2
Si dos, tres, o cuatro caminos me dan iguales, ya puedo indicar que el limite es ese numero L?
No, debo buscar algun otro camino que me parezca, pueda dar distinto
¿Que pasa con las leyes de los limites cuando pasamos a dos variables?, ¿Se agrega alguna nueva?
Las leyes de los límites que se aplican a una sola variable, se pueden generalizar a las funciones de dos variables
Como nuevas propiedades se agrega que el limite de Y es igual al valor b, y el limite de X es el valor a (valores a y b del punto al que buscamos la aproximacion)
Ver pagina 896
¿Cuando es continua una funcion de dos variables?
Es continua cuando el limite de f(x,y) cuando (x,y) tiende a (a,b) es igual a f(a,b).
Otra forma de decirlo es: es continua cuando el limite en ese punto es igual al valor de la funcion
Intuicion de esta definicion:
El significado intuitivo de continuidad es que si el punto (x, y) cambia una pequeña cantidad, entonces el valor de f (x, y) cambia una pequeña cantidad. Esto significa que una superficie que es la gráfica de una función continua no tiene agujeros ni grietas.
¿Que tres tipos de funciones podemos asegurar que son continuas en un intervalo D? y cual es ese intervalo D
-Los polinomios: continuos en R2
-Las funciones racionales: continuas en R2, menos en los puntos que hacen 0 el denominador
-La composicion de funciones continuas: continuas en un intervalo a analizar en cada caso
Si tengo una funcion definida por partes, y el punto (por ejemplo) (0,0) esta definido en una de las ramas, y en la otra estan definidos el resto de puntos de R2, ¿puedo decir que es continua?
No, debo analizar el limite de la funcion que no contiene a (0,0) y ver que sea igual (en esta materia nunca va a exisitir este limite si nos toca evaluarlo)
si f es una función continua de dos variables y t es una función continua de una variable que está definida en el rango de f, entonces que podemos decir de la función compuesta h =g* f definida por h(x,y) = t(f (x, y))
Que es tambien una funcion continua
¿EL concepto de limite se puede generalizar a R3?, ¿Hay algun cambio en la notacion?
Si, este concepto se puede generalizar a R3, usando la notacion Lim f(x,y,z) cuando (x,y,z) tiende a (a,b,c) = L
¿Y el concepto de continuidad?
Es igual al de R2 pero añadiendo Z y b
Si tengo una discontinuidad en una funcion de tres variables, que va a ser: ¿un punto, una curva, una superficie u otra?
Va a ser una superficie, un buen ejemplo es en 1/(x^2+y^2+z^2-1) que va a ser discontinua cuando (x^2+y^2+z^2-1)=0, lo cual es la ecuacion de una esfera
SI al analizar la no existencia de un limite de varias variables mediante la recta generica y=mx me queda una expresion con m adentro, puedo decir que no existe ya que depende de m?
NO!, debo analizar cuidadosamente la situacion, ya que en el numerador podria tener a m multiplicando a X o Y, y si estos tienden a (0,0), el limite va a ser igual para todas las inclinaciones (esto solo es un ejemplo)
En que consiste el metodo de sustitucion para la demostracion de no existencia de limites y cuando lo uso?
consiste en que si tengo que (x,y) tiende a (a,b), reemplazo en la funcion a x por (x-a) y a Y la reemplazo por (y-b), luego opero como habitualmente.
Este metodo se suele utilizar cuando (x,y) tiende a algo distinto de (0,0)
Ojo, tener en cuenta que si tengo que analizar el limite cuando tiende a (x,0) puedo sencillamente plantear la recta y-0=mx
Cuando para demostrar la no existencia de limites uso la familia de rectas y=mx, para parabolas como deberia plantear (que pasan por el origen)
Y=m(x)^2 o X=m(y)^2
Dato:
Luego de hallar el dominio de la funcion puedo decir que esta es continua en el mismo si y solo si es una de las 3 poisbles que mencione (flashcard 24)
