Integrales dobles sobre regiones generales Flashcards
¿Que significa que una region general sea acotada?
Signfica que esta region puede ser encerrada en un rectangulo R
¿Como podemos aprovechar la idea de region acotada para definir nuestra funcion a integrar, F(xy)?
Se define a la funcion, como si misma dentro de la region D, y 0 por fuera de ella, pero dentro del rectangulo:
{ f(x,y) si (x,y) esta en D
{ 0 si (x,y) esta en R pero no en D
Dada la definición anterior, y nombrando a esa función compuesta como F(x,y), ¿Cómo podemos calcular la integral doble sobre la región D para la superficie f(x,y)?
Definimos a la integral ∫∫f(x,y)dA, como ∫∫F(x,y)dA
D R
Donde R es el recatngulo que contiene a la region general D
(Hay que recordar que z vale 0 por fuera de D)
¿Puede haber discontinuidades en la region D?
Si, si f es continua sobre D y la curva frontera de D tiene un
“buen comportamiento” (es decir, tiene contados puntos de su frontera no definidos) entonces se puede demostrar que la integral (en ambas formas planteadas) EXISTE
¿Que es una region plana de tipo 1 en integrales dobles?
Se dice que D es una region de tipo 1 cuando esta acotada entre dos funciones de x y dos rectas x=a e x=b
D={(x,y) | a<x<b, g(x)<y<h(x)}
Donde g(x) y h(x) deben ser continuas sobre [a,b]
Ahora, dada la formula de calculo para integrales sobre regiones generales, y utilizando teorema de Fubini, ¿Como calculo la integral doble sobre una region de tipo 1?
Para ello, sencillamente debo plantear la doble integral de la funcion original f(x,y) ya que como sabemos, F(x,y)=f(x,y) dentro de D
Luego, los extremos de integracion son: para x, los dos valores entre los que se mueve, para “y”, las dos FUNCIONES entre las que se mueve
Nota: la demostracion y explicacion de esto estan en la pagina 989
¿Que es una region plana de tipo 2 en integrales dobles?
Se dice que D es una region de tipo 2 cuando esta acotada entre dos funciones de “y” y dos rectas y=c e y=d
D={(x,y) | c<y<d, l(y)<x<m(y)}
Donde l(y) y m(y) deben ser continuas sobre [a,b]
Ahora, dada la formula de calculo para integrales sobre regiones generales, y utilizando teorema de Fubini, ¿Como calculo la integral doble sobre una region de tipo 2?
De la misma forma que para la region tipo 1 se llega a la una formula practicamente igual, pero ahora, son los extremos de integracion de “x” los que llevan funciones (l y m), mientras que los extremos de “y” son los valores entre los que esta se mueve
Una vez que identifique que tipo de region es la que tenemos e hice un boceto de la misma, ¿como determino que funcion va a ser el limite inferior y cual el superior?
¿Y los puntos entre los que va a variar la variable?
Para determinar extremo inferior y superior, si es tipo 1, trazo en la grafica una flecha que vaya desde abajo hacia arriba: la primer funcion que toca es el limite inferior
Luego, si es una region tipo 2, la flecha la trazo de izquierda a derecha: la primer funcion que toca es el limite inferior.
Luego la interseccion se encuentra igualando las ecuaciones
Ahora, como sabemos una región según desde donde se la mire puede ser considerada tipo 1 o tipo 2:
¿Cuál mirada es la que debo utilizar?
La elección del tipo de región que constituye D va a depender de nosotros, es decir, debemos elegir en base a un criterio de cual nos parece que va a ser la forma que nos de una integración mas sencilla:
Por ejemplo si las funciones son y=x^2 e x=y+1, entonces conviene despejar “y” en ambas ecuaciones, y entonces usar una región tipo 1, ya que sino nos quedarían raíces en los limites de integración
¿Que pasaria (o que tendriamos que hacer) si apareciera una raiz para uno de los intervalos de integracion?
Deberiamos plantear dos integrales dobles, donde cada una tenga (en el limite superior o inferior segun corresponda) la mitad de la funcion para la raiz positiva y la mitad para la raiz negativa
En un problema del tipo:
Encuentre el volumen del tetraedro acotado por los planos x+2y+z=2, x=2y, x=0 y z=0…. ¿Cómo debería proceder?
En este tipo de ejercicios, lo primordial es graficar en 3 dimensiones al solido, para asi, poder visualizar cuales de estos planos cortan al xy y que figura forman: en base a ello encuentro algebraicamente las intersecciones entre los planos necesarios con el xy y continuo como siempre
Nota: en este problema es importante recordar que el plano xy tiene ecuacion z=0, y por lo tanto, la interseccion con el mismo la obtenemos sencillamente reemplazando z=0 EN LOS PLANOS QUE CORRESPONDEN
Ahora que ya no tenemos rectangulos sino que regiones generales, ¿podemos cambiar el orden de integracion?
De ser asi, ¿Como debemos hacerlo?, y sino
¿Que hacemos para tratar las funciones no elementales?
Si, gracias al teorema de Fubini, sabemos que podemos cambiar el orden de integracion, pero no tan sencillo como poner una integral en el lugar de la otra:
Primero debemos ver que tipo de region tenemos para las integrales ya dadas, y de alli, sacar las funciones y valores extremos de integracion para graficarlos.
Una vez graficados, sencillamente cambiamos nuestra vision de la region, es decir, cambiamos la flecha vertical por la horizontal (o viceversa) y obtenemos los nuevos limites
¿Cuales son las propiedades de las integrales dobles en regiones generales?
1- La integral de una suma de funciones, es la suma de las integrales para cada funcion individual
2-La integral de una constante por una funcion, es la constante por la integral de la funcion
3-Si una funcion f es siempre mayor o igual que otra funcion g, entonces la integral de f es siempre mayor que la integral de g PARA UNA MISMA REGION
4- Si la region sobre la que evaluamos la integral esta compuesta por dos trozos D1 y D2 (que no se traslapan) entonces podemos dividir la integral en dos: una para cada pedazo del intervalo: SE USA CUANDO TENEMOS UNA REGION QUE NO ES NI 1 NI 2, ENTONCES LA DIVIDIMOS EN DOS O MAS REGIONES QUE SI SEAN 1 O 2
5- Si se integra la funcion constante f(x,y)=1, se obtiene el area de la region que acota el solido
6- Si f(x,y) es una funcion acotada entre dos valores m y M, entonces su integral doble tambien va a estar acotada: lo esta entre mA(D) y MA(D)
Nota:
Ver ejemplo 6 pagina 995 para entender como usar la ultima propiedad (6)
