Integrales iteradas Flashcards
¿Como se integra iteradamente?
Una integral iterada es similar a una derivada parcial:
Se plantea la integral de la forma ∫ ∫f(x,y)*dydx y se integra dejando a una de las variables como una constante:
en el ejemplo, dejamos fija a “x” que es la variable “mas externa” e integramos respecto de “y”
Luego a esa funcion integrada la evaluamos entre los valores que corresponda,
y al resultado lo integramos luego respecto a “x” y evaluamos entre los valores dados
¿Que pasa si rotamos el orden de integracion?
(es decir, cambiamos el orden de dydx a dxdy)
En general, el resultado deberia ser el mismo, por lo menos para el caso de acotadas en regiones rectangulares:
hay un teorema que nos habla sobre ello
¿Que dice el teorema de Fubini y que condiciones se deben cumplir?
El teorema nos dice que si f es una funcion de dos variables continua en un rectangulo R (y sus integrales iteradas existen), entonces sus integrales iteradas primero respecto de “x”, y primero respecto de “y” son iguales.
En términos generales, esto es cierto si se supone que f está acotada sobre R, f es discontinua sólo en un número finito de curvas suaves y las integrales iteradas existen.
Pero entonces, ¿Puedo elegir el orden de integracion que yo quiera?, en caso de ser asi, ¿que orden me conviene elegir?
Si, siempre que se cumpla la condicion de continuidad en el rectangulo, se puede elegir el orden de integracion segun la necesidad
Siempre antes de elegir el orden, conviene ver con que letra (x o y) es mas facil integrar la funcion inicial, por ejemplo, si tengo una funcion x*cos(xy), conviene integrar respecto de “y” ya que sino, tendriamos que integrar un producto de “x”
¿Que pasa si a la funcion que debemos integrar la podemos expresar como un producto de funcion de x por funcion de “y”, es decir f(x,y)=g(x)*h(y)?
Entonces, hay un teorema que nos dice que si la funcion cumple con esa caractersitica, y esta definida sobre un rectangulo R, entonces la integral doble se puede expresar como el producto de dos integrales simples:
∫ ∫f(x,y)*dydx = ∫g(x) * ∫h(y)
Nota:
Entonces, una especie de paso a paso para resolver una integral iterada seria:
1-Analizo si la funcion se puede escribir como producto de dos funciones (una de “x” y la otra de “y”)
2-Luego, si el paso anterior no es posbile, veo si alguna de las variables no aparece, y en caso de ser asi, integro primero respecto a esa variable faltante
3-Si ambas variables aparecen, entonces utilizando Fubini, busco el orden de integracion que mas me convenga: tegno en cuenta lo que dice la flaschard 4
4-Finalmente, cuando logre eliminar uno de los simbolos de integral y me quede una integral simple, LA PUEDO HACER CON CALCULADORA
