Integrales dobles en coordenadas polares Flashcards
¿Para que tipo de regiones se suele integrar con coordenadas polares?
¿Como se define el intervalo en el que se mueve una circunferencia completa de radio 2 centrada en el origen?
Se suele usar cuando tenemos una region circular (circunferencia por ejemplo): si nos piden la integral en una region z=0 y la funcion tiene traza circular en ese plano es un ejemplo (paraboloide por ej.)
La region para esa circunferencia se define como
{(R,θ) / 0<R<2 , 0<θ<2π}
Nota:
El caso anterior donde tanto R como θ varian entre dos constantes se conoce como RECTANGULO POLAR
¿Cuáles son las relaciones entre coordenadas polares y rectangulares?
1) (r)^2 = (x)^2 + (y)^2
2) x = rcos(θ)
3) y = rsen(θ)
Respecto a la definición formal (y deducción de la formula que se ve después), ¿Como se divide la region para utilizar en las sumas de Riemann?
Al igual que para las integrales en coordenadas rectangulares, se divide a r en m sub-intervalos de igual ancho [(b-a)/m] y a θ en n sub-intervalos de igual ancho [(β-α)/n], y luego se toman los puntos medios o extremos superiores según se prefiera
Nota: cada figura que se forma al dividir asi el intervalo NO NECESARIAMENTE tiene el mismo área que las demás como si lo era en un rectángulo
¿Cómo es la formula para calcular una integral en coordenadas polares y que condiciones se deben cumplir para que sea valida?
Si f es continua en un rectángulo polar R dado por 0<r<b , α<θ<β DONDE 0<β-α<2π entonces se define la integral como
∫∫f(x,y) da = ∫∫f(rcos[θ] , rsen[θ]) * r drdθ
R
(Donde las dos integrales se mueven entre α y β, y entre a y b respectivamente )
Nota:
La fórmula en indica que se convierte de coordenadas rectangulares a polares en una integral doble si se escribe x=rcos(θ) e y=rsen(θ), usando los límites de integración apropiados para r y θ, y remplazar dA por “rdrdθ”
NUNCA HAY QUE OLVIDARSE DE MULTIPLICAR POR r A LA FUNCION QUE INTEGRAMOS
Nota:
En resumen, lo único que cambia es que donde hay “x” debemos poner rcos(θ), donde hay “y” ponemos rsen(θ) y multiplicamos todo por r
Si mi funcion fuera por ejemplo 1-(x)^2-(y)^2, y están dadas las condiciones para integrar en polares, como podría simplificar el calculo?
Como sabemos (x)^2+(y)^2 = (r)^2, entonces
1-(x)^2+(y)^2 = 1-(r)^2 y podemos escribir ∫∫1-(r)^2 drdθ
Ahora, ¿Cómo calculamos la integral si la región no es un rectángulo polar, sino que es una región general donde r es función de θ y que condición se tiene que cumplir para que sea valida?
La formula es análoga a la usada en coordenadas rectangulares: se plantea la integral mas externa entre dos constantes (donde se mueve θ) y la integral interior entre dos funciones de θ
Es valida si f es CONTINUA sobre una región polar de la forma
D={(R,θ) / a<θ<b , h(θ)<r<g(θ)}
¿Qué pasa en el caso particular de que tomemos f(x,y)=1 e integremos entre alfa y beta (con r como función de θ)?
Llegamos a la formula de calculo de integrales polares en una variable: ∫∫1/2[h(θ)]^2 * dθ
Nota: demostración en pagina 1000
Si nos piden calcular el AREA de la región sobre la que integraríamos, que debemos hacer?
Debemos plantear la formula vista para regiones generales pero donde iría la función a integrar, sencillamente dejamos un 1, quedando ∫∫r drdθ entre los extremos correspondientes
NO OLVIDARSE LA R!!!
Nota:
OJO CON LA CIRCUNFERENCIA QUE NOS QUEDA EN EL PLANO XY AL HACER Z=0 EN LA ECUACION:
Si la región estuviera limitada, por ejemplo, por x^2+y^2=2x entonces al hacer z=0 nos queda lo mismo y debemos COMPLETAR CUADRADO para asi obtener la ecuación de la circunferencia correspondiente
Nota 2:
Recordar siempre, luego de haber encontrado la región circular sobre la que se encuentra el solido, reemplazar con la relaciones cartesiana-polar y despejar r en función de θ para armar “D”
(Ver ejemplo 4 pagina 1001)
Nota 3:
Ojo que si por ejemplo, una de las condiciones de la región es que x sea mayor que y, o algo similar, hay que tomar los valores hasta/después de la recta y=X
