Campos vectoriales Flashcards

1
Q

¿Qué asociación hace un campo vectorial?

A

Asocia a cada punto (en el plano o el espacio) un vector:
Un ejemplo de ello es una mapa que muestra la dirección del viento en un instante a través de vectores.

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2
Q

Nota:

A

Dentro de los campos vectoriales podemos encontrar lo que se conoce como campo de fuerza, que, asocia un vector fuerza con cada punto de una región (por ej. fuerza gravitacional)

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3
Q

¿Cómo se define el campo vectorial para R2?

A

Un campo vectorial sobre R2 es una función F que asigna a cada punto (x, y) en D (conjunto de puntos en r2) un vector bidimensional F(x, y).

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4
Q

¿Qué son las funciones componente o campos ESCALARES?

A

Puesto que F(x, y) es un vector bidimensional, podemos expresarlo en términos de sus funciones componentes P y Q, también conocidas como campos escalares:

                                 F(x,y) = P(x,y)*𝐢 + Q(x,y)*𝐣
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5
Q

¿Y que pasa con la definición y los componentes si pasamos a R3?

A

La idea es la misma, únicamente que ahora a un punto x,y,z le asocia un vector ternario, y por tanto, posee una función componente mas, llamada R(x,y,z).

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6
Q

¿Cómo se define la continuidad para campos vectoriales?

A

Es posible demostrar que F es continua si y sólo si sus funciones constituyentes P, Q (y R) son continuas.

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7
Q

Nota:

A

Algunas veces identificamos un punto (x, y, z) con su vector de posición 𝐱 = <x, y, z> y escribimos 𝐅(x) en lugar de F(x,y,z). Entonces 𝐅 se convierte en una función que asigna un vector 𝐅(x) a un vector 𝐱.

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8
Q

Nota 2:

A

Ver inicio de la pagina 1058 (en relación a la figura 5)

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9
Q

¿Qué podemos decir sobre el vector gradiente en esta sección?

A

Como sabemos, el gradiente de una función f(x,y) es un vector que tiene por componentes a las derivadas de la función en un determinado punto, por lo tanto, es un campo vectorial, ya que a cada punto le asigna un vector.

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10
Q

Si trazamos un mapa de contorno, y sobre el, el campo vectorial, ¿Qué característica del vector gradiente vamos a notar?, ¿Cómo afecta al vector si las curvas de nivel están cerca o lejos

A

Como mencionamos en el tema de vector gradiente, este SIEMPRE ES PERPENDICULAR a las curvas (y superficies) de nivel.

Los vectores gradiente son largos donde las curvas de nivel están cercanas entre sí, y cortos donde las curvas se separan.
La razón es que la longitud del vector gradiente es el valor de la derivada direccional de f y las curvas de nivel cercanas indican una gráfica de fuerte pendiente.

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11
Q

¿Cuándo se dice que un campo vectorial es conservativo?, ¿Qué es la función potencial de 𝐅?

A

Un campo vectorial F se denomina campo vectorial conservativo si es el gradiente de alguna función escalar, es decir, si existe una función f tal que 𝐅 = ∇f.
En esta situación, f recibe el nombre de función de potencial para F.

Nota: No todos los campos vectoriales son conservativos.

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