Campos vectoriales Flashcards
¿Qué asociación hace un campo vectorial?
Asocia a cada punto (en el plano o el espacio) un vector:
Un ejemplo de ello es una mapa que muestra la dirección del viento en un instante a través de vectores.
Nota:
Dentro de los campos vectoriales podemos encontrar lo que se conoce como campo de fuerza, que, asocia un vector fuerza con cada punto de una región (por ej. fuerza gravitacional)
¿Cómo se define el campo vectorial para R2?
Un campo vectorial sobre R2 es una función F que asigna a cada punto (x, y) en D (conjunto de puntos en r2) un vector bidimensional F(x, y).
¿Qué son las funciones componente o campos ESCALARES?
Puesto que F(x, y) es un vector bidimensional, podemos expresarlo en términos de sus funciones componentes P y Q, también conocidas como campos escalares:
F(x,y) = P(x,y)*𝐢 + Q(x,y)*𝐣
¿Y que pasa con la definición y los componentes si pasamos a R3?
La idea es la misma, únicamente que ahora a un punto x,y,z le asocia un vector ternario, y por tanto, posee una función componente mas, llamada R(x,y,z).
¿Cómo se define la continuidad para campos vectoriales?
Es posible demostrar que F es continua si y sólo si sus funciones constituyentes P, Q (y R) son continuas.
Nota:
Algunas veces identificamos un punto (x, y, z) con su vector de posición 𝐱 = <x, y, z> y escribimos 𝐅(x) en lugar de F(x,y,z). Entonces 𝐅 se convierte en una función que asigna un vector 𝐅(x) a un vector 𝐱.
Nota 2:
Ver inicio de la pagina 1058 (en relación a la figura 5)
¿Qué podemos decir sobre el vector gradiente en esta sección?
Como sabemos, el gradiente de una función f(x,y) es un vector que tiene por componentes a las derivadas de la función en un determinado punto, por lo tanto, es un campo vectorial, ya que a cada punto le asigna un vector.
Si trazamos un mapa de contorno, y sobre el, el campo vectorial, ¿Qué característica del vector gradiente vamos a notar?, ¿Cómo afecta al vector si las curvas de nivel están cerca o lejos
Como mencionamos en el tema de vector gradiente, este SIEMPRE ES PERPENDICULAR a las curvas (y superficies) de nivel.
Los vectores gradiente son largos donde las curvas de nivel están cercanas entre sí, y cortos donde las curvas se separan.
La razón es que la longitud del vector gradiente es el valor de la derivada direccional de f y las curvas de nivel cercanas indican una gráfica de fuerte pendiente.
¿Cuándo se dice que un campo vectorial es conservativo?, ¿Qué es la función potencial de 𝐅?
Un campo vectorial F se denomina campo vectorial conservativo si es el gradiente de alguna función escalar, es decir, si existe una función f tal que 𝐅 = ∇f.
En esta situación, f recibe el nombre de función de potencial para F.
Nota: No todos los campos vectoriales son conservativos.