Integrales triples Flashcards
En el caso mas sencillo, donde f(x,y,z) se define sobre una caja rectangular: ¿Cómo se vería esto en notación de intervalos y como debemos dividir el rectángulo?
Indicar que sub-superficies quedan
La caja rectangular se define como
B={(x,y,z) | a<x<b, c<y<d, r<z<s} (es menor o igual)
Luego, dividimos a todos los intervalos en sub intervalos que tengan ancho Δx, Δy, Δz respectivamente: al tratarse de tres dimensiones, vamos a obtener sub-rectángulos cuyo volumen es ΔxΔyΔz
Para ser mas específicos, los planos que pasan por los puntos finales de estos subintervalos paralelos a los planos coordenados dividen a la caja B en lmn subcajas (siendo l, m, n la cantidad en la que se divide cada intervalo)
Entonces, a partir de lo anterior, ¿Cómo se define la integral de una función de tres variables?
Ayuda: análoga con la de dos variables
Nuevamente, definimos las sumas de riemmann, pero esta vez, con tres variables, y siendo el diferencial igual a ΔxΔyΔz
ΣΣΣ f(x°,y°,z°)*ΔV
Luego, por analogía con la definición de una integral doble, se define la integral triple como el límite de las triples sumas de Riemann:
∫∫∫ f(x,y,z) = lim ΣΣΣ f(x°,y°,z°)*ΔV
B l,m,n -> ∞
Pero, ¿Qué condiciones se deben cumplir para que lo anterior sea valido?
En primer lugar, el limite indicado DEBE EXISTIR!
Luego, la función debe ser continua
Pero, ¿con que teorema (y que dice este) podemos calcular esa integral triple?
Indicar que condiciones se deben cumplir para su validez
Nuevamente recurrimos al teorema de Fubini: si f es continua sobre la caja rectangular B = [a,b]x[c,d]x[r,s]
entonces expresamos la integral como una integral iterada, es decir, la primer integral entre a y b, la segunda entre c y d, y la tercera entre r y s (además dividimos el diferencial en tres diferenciales)
¿Cuántos ordenes posibles de integración hay?, ¿El resultado puede variar según el orden?
Son 6 los ordenes de integración posibles (x va primera en 2, segunda en 2, y tercera en 2) y el resultado de la integración ES INDEPENDIENTE DEL ORDEN CON EL QUE SE INTEGRE!!
Ahora, saliendo del caso mas sencillo, como definimos la integral triple de f sobre una región general?, ¿Qué es esa región general?
Al ser una región acotada en el espacio tridimensional, esta es un solido.
Para el planteo sobre una región general en 3 variables, se usa un principio análogo al de 2 variables: se encierra E en una caja B del tipo mencionado al principio.
Después se define una función F de modo que concuerda con f sobre E, pero es cero para puntos en B que están fuera de E:
∫∫∫ f(x,y,z)dV = ∫∫∫ F(x,y,z)dV
E B
Esta integral existe si f es continua y la frontera de E es “razonablemente suave”.
En integrales de 3 variables, ¿Qué significa que una región sea tipo 1?
Se dice que una región sólida E es tipo 1 si está entre las gráficas de dos funciones continuas de x y y, es decir:
E = {(x,y,z) | (x,y) ∈ D, g(x,y)<z<h(x,y)}
Donde D es la proyección de E sobre el plano xy
Entonces, si tenemos que integrar sobre una región de tipo 1, ¿Cómo podemos expresar las integrales?
Si E es una región tipo 1 dada por la ecuación anterior, entonces la integración queda:
∫∫ ( ∫ f(x,y,z)*dz ) *dA
Donde las primeras dos integrales se mueven entre el área proyectada en x e y, y la integral interior se mueve entre las dos funciones continuas g(x,y), h(x,y)
Ver pagina 1018 al final
Nota: MUY IMPORTANTE
El significado de la integral interior en el lado derecho de la ecuación anterior es que x y y se mantienen fijas y, por tanto, g(x, y) y h(x, y) son consideradas como constantes, mientras que f(x, y, z) se integra respecto a z.
Pero, desarrollando aun mas la integral, esa doble integral que se mueve en la región proyectada, ¿Cómo puede ser y como se vería esto reflejado en la integral?
Al ser una doble integral que se mueve en una región proyectada sobre el xy, sabemos que D puede ser tipo 1 (y es una función de x) o de tipo 2 (x es una función de y)
Entonces la integral quedaría internamente, z variando entre dos funciones de dos variables, y las dos integrales exteriores manejarían x e y como vimos en el capitulo anterior (ver pagina 1019)
En integrales de 3 variables, ¿Qué significa que una región sea tipo 2?
Se dice que una región sólida E es tipo 2 si está entre las gráficas de dos funciones continuas de z e y, es decir:
E = {(x,y,z) | (y,z) ∈ D, g(y,z)<x<h(y,z)}
Donde D es la proyección de E sobre el plano yz (ver figura 7 pagina 1020)
Con este tipo de región, ¿Cómo quedaría la integración?
Ahora la integral “mas interna” seria respecto de x, entre dos funciones de z e y, mientras que las dos integrales exteriores manejan el área que se obtiene al proyectar el solido sobre el plano yz
En integrales de 3 variables, ¿Qué significa que una región sea tipo 3?
Se dice que una región sólida E es tipo 3 si está entre las gráficas de dos funciones continuas de “x” y “z”, es decir:
E = {(x,y,z) | (x,z) ∈ D, g(x,z)<y<h(x,z)}
Donde D es la proyección de E sobre el plano xz (ver figura 8 pagina 1020)
Con este tipo de región, ¿Cómo quedaría la integración?
Ahora la integral “mas interna” seria respecto de “y”, entre dos funciones de “x” y “z”, mientras que las dos integrales exteriores manejan el área que se obtiene al proyectar el solido sobre el plano xz
Nota:
Recordar que en cada una de las ecuaciones para “E” tipo y tipo 2, puede haber dos expresiones posibles para la integral, dependiendo de si D es una región plana tipo I o tipo II.
