Integrales de linea Flashcards
¿Cómo se define una integral de linea?
Partimos de una curva C, a la que dividimos en n sub-intervalos de igual ancho, de los cuales tomamos un punto (x,y) cualquiera.
Luego, si esta curva pertenece al dominio de una funcion de dos variables, procedemos a multiplicar la funcion evaluada en el punto, con la longitud del segmento, y sumamos todos los resultados.
Así finalmente, obtenemos una suma, que al hacerla tender a infinito, se convierte en Riemann, y por lo tanto, en una integral sobre C de la función f (si el limite existe).
Nota:
Si f es continua, podemos asegurar que el limite (y por tanto la integral) existen.
Si sabemos que f es una función continua, ¿Cómo podemos reexpresar la integral en términos de t?
∫f(x[t],y[t]) * √[(dx/dt)^2+(dy/dt)^2] * dt
Esta ecuación se obtiene reemplazando la función f por sus componentes en función de t, y reemplazando el diferencial de superficie s con la longitud de la curva por dt.
¿Por qué en el diferencial de s aparece la expresión de longitud de la curva?
Porque ds, justamente, es √(x^2+y^2), entonces, lo que hacemos es derivar esta expresión respecto de t, quedando asi las derivadas parciales de x e y respecto de t, y pasamos multiplicando el dt que esta debajo de ds.
¿Qué pasa con la integral si una de las variables (ya sea x o y) es constante a lo largo de toda la curva?
Se convertiría entonces en una integral simple, ya que f seria función de una variable y una constante.
Los limites de integración serian los valores sobre los que se mueve la variable.
Gráficamente, ¿Qué representa la integral de linea?, ¿Qué condición se debe cumplir para ello?
Si f (x, y)>0, entonces la integral representa el área de un lado de la “cerca” o de la “cortina” de la figura cuya base es C y altura por arriba del punto (x, y) es f(x, y).
¿Qué es una curva suave por tramos y como definimos la integral en este caso?
Una curva suave por tramos, es la que se obtiene al sumar infinitas curvas suaves, coincidiendo el final de una con el inicio de la otra.
En este caso definimos la integral de f a lo largo de
C como la suma de las integrales de f a lo largo de cada una de las partes suaves de C
¿Cómo se puede interpretar el resultado de una integral de linea además de el área de la cortina?
Si por ejemplo f, es la función de densidad p, entonces al integrarla (sumar la densidad de los infinitos sub-segmentos) obtenemos la masa del alambre.
También podríamos calcular el centro de masa usando la formula dada en el resumen.
Entonces, cualquier interpretación física de una integral de línea depende de la interpretación física de la función f.
