Ondes Mécaniques Flashcards
Quel est le cadre d’étude des ondes transverses sur une corde ?
Montrer que l’onde transverse qui se propage dans une corde vérifie une équation de D’Alembert
Car α et α’ sont très petits devant 1
Exprimer c dans une corde
Donner un ordre de grandeur de c dans une corde
≈ 50 m.s-1
Rappeler les fréquences propres pour une corde fixée aux deux extrémités, justifier qu’au cours d’un orchestre la fréquence des instruments à corde varie
Rappeler les fréquences propres pour les instruments à vent, justifier qu’au cours d’un orchestre la fréquence des instruments à corde varie
Définir l’impédance d’une corde et l’exprimer en fonction de T0
Qu’appelle-t-on l’impédance caractéristique de manière générale ?
C’est l’impédance pour une OPPH, qui ne dépend alors pas du point considéré
Exprimer l’impédance caractéristique d’une corde
Cf. Acoustique
Si on passe d’une corde à une autre, sans masse entre les deux, comment déterminer le coefficient de réflexion associé ?
- y(x) toujours continu, c’est logique
- ∂y/∂x continu car il n’y a pas de masse
Dans quel cas n’a-t-on pas la continuité de ∂y/∂x lors d’un changement de corde ?
Comment faire alors ?
Justif
Sans masse, la continuité de ∂y/∂x vient d’un RFD, donc on fait un RFD (cf. la cloison en acoustique)
Comment utiliser r pour exprimer l’onde transverse dans un corde ?
Qu’en déduit-on si la corde est fixée au deux extrémités ?
Représenter le mode fondamental de vibration de l’onde transverse d’une corde, ainsi que l’harmonique 2.
Comment exprimer de manière générale l’onde transverse, quelle que soit la déformation initiale ?
Définir le module d’Young
Pour un barreau solide parcouru par une faible onde de déformation, on observe que Δl/l est proportionnel à F/S, on appelle alors E = F.l/S.Δl, de sorte que Δl/l = F/E.S (et que Δl/F = 1/E × l/S).
Qu’est-ce que la loi de Hooke ?
Comment est lié E à la rigidité ?
Justif
Si E augmente, la rigidité augmente (k augmente)
Donner l’ordre de grandeur du module d’Young d’un métal
Emétal ≈ 1011 Pa
Exprimer c dans un solide de manière générale
(E/ρ est bien de même homogénéité que 1/ρ0.χS0)
Montrer par la méthode discrète l’expression de c dans un solide
Montrer par la méthode continue l’expression de c dans un solide
Donner un ordre de grandeur de la célérité du son dans un métal
≈ 10 000 m.s-1
Montrer qu’on a une équation de dispersion non linéaire dans le cas discret d’une onde longitunidale se propageant le long d’une série de ressort reliés par des masses m et séparés d’une distance a (on cherche ξn = ξ(n.a))
Dans le cas de l’approximation des milieux continus, exprimer c et donner l’equation de dispersion
Car on obtient une équation de D’Alembert, donc on peut dire que k = ω/c et on peut exprimer c
Pour une chaine de N ressorts fixée au deux extrémités, chercher ξn sous forme d’OPPH discrétisée, comment en déduire les fréquences propres ?
Dans l’approximation des milieux continus, c = a × √(K/m), en déduire l’expression de c en fonction de Kressort, μ la masse linéique du ressort et l0 sa longueur à vide, pour un ressort quelconque
Montrer que, en régime libre, il existe un mode symétrique et un mode antisymétrique, et que, en RSF sur la première masse, il existe deux modes symétriques et un antisymétrique. Tracer |ξ1|(ω) dans ce second cas.
Qu’appelle-t-on «pendule de torsion» ? Exprimer ω0 en justifiant dans ce cas
Pour un pendule de torsion 2 tiges/3 fils, montrer qu’on a un mode symétrique et un mode antisymétrique
Par la méthode discrète, déterminer c la vitesse de propagation d’une onde de torsion le long d’un fil, sachant que le moment d’un cylindre par rapport à la son axe est JΔ = 1/2 × m.R², sachant que C = π/2 × E × R4/a
a la distance entre les tiges
Montrer que, si θ est la superposition de deux OPPH (une croissante et une décroissante), on a : Cotan(ω.l/c) = α × ω.l/c, exprimer α en fonction de J, l, ρ et R. Que donne cette relation ?
Sachant que le couple du volant sur la poutre est -E.π.R4.(∂θ/∂z)z=l/2
Donne les ωp (xp × c/l)
On prend le couple de la poutre sur le volant pour ne pas avoir le couple du reste de la poutre.
Déterminer l’équation du mouvement en θ (Joz = m.l²)
+ tension de la tige mais son moment est nul
Pas de racine, c’est ω0²…
Déterminer l’équation du mouvement
+ tension de la tige mais son moment est nul
Déterminer l’équation discrète du mouvement, mettre en évidence deux pulsations propres
Déterminer l’équation de dispersion en cherchant une solution OPPH discrétisée, tracer ω(x) et commenter
Déterminer l’équation aux dérivées partielle passant à la limite continue, puis montrer qu’on a une relation de type Klein-Gordon pour une OPPH
Montrer qu’on a une équation de D’Alembert à laquelle s’ajoute un terme correctif
Logique : on raisonne de la même manière que pour montrer la relation de D’Alembert normalement mais on s’adapte
Montrer qu’on peut négliger la raideur à «basse fréquence» (préciser)
Dans le cas d’une OPPH, déterminer et commenter la relation de dispersion à basses puis hautes fréquences
Sans raideur, voici l’expression de l’onde stationnaire, et voici l’équation aux dérivées partielles lorsqu’on ajoute la raideur. Montrer qu’il existe alors un décalage des pulsations propres avec et sans raideur, déterminer l’expression de ce décalage
Illustrer sur un axe en fréquence et commenter
Dans le cas d’une corde lestée d’une masse m, déterminer l’expression des coefficients de réflexion et de transmission en amplitude
Cf. la paroi en accoustique
Commenter
On a, pour une corde lestée d’une masse m :
Déterminer les coefficients de réflexion et de transmission en énergie
Il y a du ω, on considère donc forcement une onde sinusoïdale
Déterminer l’équation aux dérivées partielles vérifiée par y(x,t)
Comment est modifiée l’équation de D’Alembert ?
Expliquer la nécessité de la décomposition en série de Fourrier
Comment en déduire l’expression de y pour tout x et tout t ?
On trouve ainsi les Ap et Bp, donc l’expression de y(x,t) comme une série
Pour un signal initial carré (y0(x) = A pour tout x dans ]0,l[ et 0 en 0 et en l, et v0(x) = 0 en tout x), déterminer l’expression de y(x,t)
Les coefficient Ap et Bp sont indépendants de t, on les détermine donc en se plaçant à t = 0, lorsque le cos(ωp.t) vaut 1 et le sin(ωp.t) vaut 0
Pour une corde de piano, le marteau tape sur une largeur de a à a + e, avec e«l, de telle sorte qu’en dehors de cet intervalle v0 = 0 et qu’en tout point (cet intervalle compris) y0 = 0.
Déterminer l’expression de y(x,t)
Exprimer c dans un cable électrique
Remontrer l’expression de c dans un cable électrique sans perte, par la méthode discrète
Remontrer l’expression de c dans un cable électrique sans perte, par la méthode continue
Montrer l’expression de l’impédance caractéristique d’un cable électrique
Merci Nathan ❤️
Déterminer l’expression de c et Zc dans un cable coaxial
Cf. l’électrostatique et la magnétostatique pour les expressions de L et C
Exprimer, de générale générale, i(x,t) en fonction de ω, l, c, Zu, Zc, x et t
Qu’est-ce que le taux d’onde stationnaire ?
Quel est son intérêt ?
Justif
Déterminer l’expression des coefficients de réflexion et de transmission en amplitude
Déterminer l’expression des coefficients de réflexion et de transmission en énergie
Quel est le principe d’un câble électrique avec pertes ?
Quelle est son schéma électrique équivalent ?
Déterminer l’expression de la résistance linéique dissipative qui s’ajoute au coeur et à la gaine et l’expression de la conductance linéique dissipative qui s’ajoute à l’isolant
Les courants dans l’isolant (qui existent car γ’ ≠ 0), pénètrent sur une épaisseur de l’ordre de l’épaisseur de peau en a et en b
Déterminer la nouvelle équation aux dérivées partielles, comment l’appelle-t-on ?
Chercher une solution particulière harmonique
Dans un câble électrique avec pertes (isolant non parfait et métal non parfait), on obtient en cherchant une solution harmonique à l’equation des télégraphistes :
En déduire l’expression de Zc pour un cable électrique avec pertes
Dans un câble électrique avec pertes :
Commenter la dépendance en ω
Dans un cable électrique avec pertes, on obtient :
Qu’est-ce que la condition de Heaviside ?
Rappeler l’expression de l’impédance caractéristique d’un câble électrique.
Comment la démontrer ?
Qu’appelle-t-on un cable coaxial ?
Définir son schéma électrique équivalent.
En déduire l’expression de c, la vitesse de l’onde électrique qui s’y propage.
Qu’appelle-t-on les grandeurs couplées d’une onde ?
C’est pour ça que tout se ressemble
Qu’appelle-t-on «relation de structure», de manière plus générale qu’en électromagnétisme ?
Quelle est la relation de structure pour une onde électrique (u#,i) plane progressive selon les x croissants ?
Justif
Comment décrire le couplage des deux champs d’une onde ?
Quelle est la célérité, la relation de structure et l’impédance associée aux ondes acoustiques dans un fluide ?
Quelle est la relation de structure et l’impédance d’une onde électromagnétique dans le vide illimité ?
Quel sens physique accorder à l’impédance ?
Définir la relation de dispersion d’une OPPH. En quoi diffère-t-elle de la relation de structure ?
À quoi faut-il faire attention ?
La relation de structure lie un champ à l’autre, indépendamment de la propagation. La relation de dispersion décrit la propagation, indépendamment du couplage.
Définir la vitesse de phase. Qu’appelle-t-on une propagation dispersive ?
Pourquoi l’OPPH n’a-t-elle pas de réalité physique ? Pourquoi est-il tout de même pertinent de l’étudier ?
Pourquoi est-il nécessaire, lors de l’étude d’un paquet d’onde, de le considérer comme une intégrale sur une plage de fréquence et pas comme une somme ?
Que peut-on dire de la forme générale de l’expression d’un paquet d’onde ?
Ça donne le sens physique de vφ et vg
Illustrer à deux instants distincts un paquet d’onde tel que vg = vφ
À quoi faut-il faire attention lorsqu’on parle du k d’une onde stationnaire ?
C’est un «nombre d’onde» mais on ne peut pas en faire un «vecteur d’onde» car une onde stationnaire n’a pas de direction de propagation
Pourquoi peut-on dire que toute onde s’écrit comme la somme d’ondes stationnaires ?
Qu’appelle-t-on une corde de Melde ?
C’est une corde vibrante dont les deux extrémités sont fixes
Quelle est l’onde qu’on étudie pour une corde de Melde ?
Quelles sont les grandeurs couplées et quelle est alors l’expression de la célérité c ?
Qu’appelle-t-on un «mode» d’un système physique ?
C’est une solution des équations du mouvement, compatible avec les conditions aux limites, et dont la dépendance en temps est harmonique
Qu’appelle-t-on un «mode propre» ?
C’est un mode correspondant à une onde stationnaire
Comment peut-on généraliser le nombre de modes propres d’un système ?
Combien en possède donc une corde de Melde ?
D’où vient la discrétisation des modes ?
Déterminer l’expression du mode propre n d’une corde de Melde de longueur L.
Montrer que k, ω et λ sont quantifiés et donner leurs quantifications.
En déduire l’expression générale de l’onde.
On trouve dans une corde de Melde que :
Comment détermine-t-on les An et Bn ?
Rappeler la densité linéique d’énergie d’une corde vibrante
Montrer que l’énergie du mode propre n de vibration d’une corde de Melde de longueur L ne varie pas au cours du temps, et déterminer son expression.
Qu’en déduit-on ?
Déterminer l’expression du mode de vibration d’une corde fixée en x=L et à laquelle on impose une vibration sinusoïdale de pulsation ω0 et d’amplitude A en x=0.
Pour une corde excité sinusoïdalement en x=0 et fixée en x=l, on a :
Commenter
Quel est le lien entre résonance et mode propre ?
En quoi n’est-ce pas évident a priori ?
Quelle est l’analyse énergétique du fait qu’un système entre en résonance sur ses modes propres de vibration ?
Quelle en est la limite ?
En quoi l’étude de la corde de Melde en régime libre et en régime forcé est différente ?
Pourquoi l’étude de la vibration selon différents modes n’a pas de sens dans le cas de l’étude d’une corde excitée sinusoïdalement ?
Quelles peuvent être les deux causes de la dispersion ?
À quoi faut-il faire attention avec atténuation et absorption ?
Donner un exemple d’onde atténuée sans être absorbée
Montrer qu’on retombe sur l’équation habituelle d’un plasma. En quoi cette approche est-elle plus adaptée ?
Quel est le cadre d’étude de l’équation des télégraphistes ?
Expliquer
Pourquoi met-on une résistance et une conductance et pas juste deux résistances ?
Comment est modifié la célérité lorsqu’on considère un cable non parfait, avec l’équation des télégraphistes ?
Elle n’est pas modifiée
Qu’appelle-t-on une onde plane pseudo progressive ?
Car c’est quasi comme progressive mais ça dépend pas vraiment que de t-x/c
Rappeler la signification d’un nombre d’onde complexe
Analyser les deux cas associés à l’équation de Klein-Gordon. Déterminer vφ, lorsque ω ≥ ωc, commenter et déterminer vg.
Tracer k/ωc en fonction de ω/ωc pour une équation de Klein-Gordon et pour une équation de D’Alembert
Donner un exemple de :
- ni dispersion ni absorption
- dispersion et atténuation
- dispersion mais pas d’atténuation
- pas de dispersion mais atténuation
Qu’appelle-t-on une onde évanescente, comment la reconnaître avec son k ?
Déterminer en justifiant l’expression du vecteur de Poynting moyen pour une OPPH de pulsation ω ≤ ωc arrivant sur un plasma de pulsation plasma ωc
Que peut-on dire de manière générale d’une onde stationnaire ?
Donner un exemple d’onde absorbée que l’on a étudiée, expliquer en quoi cette situation est différente d’une onde évanescente
Quel est le lien entre onde évanescente et réflexion totale ?
Comment écrire la relation de dispersion ω(k) par un DL au deuxième ordre autour de k0 ?
Que traduit la dispersion au premier ordre lorsqu’on fait un DL de ω(k) autour de k0 ?
Rappeler la signification d’un nombre d’onde complexe
Qu’est-ce que la formule de Rayleigh ?
Comment la retrouver facilement ?
Qu’appelle-t-on une dispersion normale et une dispersion anormale ?
Que donne la formule de Rayleigh dans le cas de l’électromagnétisme dans les milieux diélectriques ?
Commenter le cas d’une dispersion anormale
Quelle condition peut-on donner sur les matériaux et sur l’angle d’entrée pour un guidage efficace ?
Faire un schéma de ce qu’il se passe
Quelle est l’équation de propagation ?
Commenter
Quelles sont les conditions aux limites ?
Déterminer l’expression d’un mode de propagation TE et commenter
Déterminer l’expression du champ B# dans un mode TEp
Montrer que c’est la superposition de deux OPPH.
Comment aurait-on alors pu calculer plus simplement le champ magnétique du mode Bp# ?
On peut alors appliquer la relation de structure à chaque des OPPH pour trouver B1# et B2#
Représenter en coupe un cable coaxial
Comment se propage une onde (u,i) dans un cable coaxial ?
- le conducteur intérieur du cable est parcouru par une OPPH de courant
- une OPPH de tension entre l’âme et la gaine de propage le long du cable
Quelles sont la «cause» et l’ «effet» pour les ondes mécaniques ?
- Cause : la composante de tension selon y : Ty (= T0.sin(α))
- Effet : la vitesse selon y : ∂y/∂t
Quelles sont la «cause» et l’effet en ondes mécaniques ?
- Cause : la tension T0
- Effet : le mouvement ∂y/∂t
Rappeler l’unité du module d’Young
Des Pascals (Pa)
Quelle est de manière générale la condition pour pouvoir se placer dans l’approximation des milieux continus ?
Si on cherche à faire cela c’est qu’on considère un milieu en réalité discontinu. Si on appelle a l’ordre de grandeur de la discontinuités, il faut :
a «_space;λ
Qu’appelle-t-on des modes d’oscillations symétrique/anti-symétriques ?
Pas que pour les ressorts
Comment déterminer mathématiquement si un mode de vibration propre est un mode symétrique ou anti-symétrique ?
On réinjecte la pulsation ωp dans l’équation qui lie les positions des trucs qui oscillent, dans le cas de deux masses et trois ressorts par exemple on injecte dans la relation qui lie ξ1 et ξ2, et on regarde si ξ1 = ξ2 ou ξ1 = -ξ2.
De manière générale, on compare pour tout i, ξi à ξ(N-i)
