Cinématique Des Fluides

Question 1

Comment lie-t-on la dérivée particulaire et la dérivée locale ?

Answer 1

Question 2

Quelle est la différence entre le dérivée particulaire et la dérivée locale ?

Answer 2

• Particulaire : on suit une particule dans son mouvement
• Locale : on reste en M fixé

Question 3

Définir la dérivée particulaire et la dérivée locale

Answer 3

Question 4

Montrer la relation liant la dérivée particulaire et la dérivée locale en coordonnées cartésiennes

Answer 4

Question 5

Donner un ordre de grandeur du rapport des deux termes de dA#/dt. À quelle condition peut-on considérer que dA#/dt ≈ ∂A#/∂t ?

Answer 5

On peut donc considérer que dA#/dt ≈ ∂A#/∂t si v# &laquo_space;L/τ

Question 6

Quelles sont les deux descriptions du champ des vitesses d’un fluide en mouvement ?

Answer 6

• description d’Euler
• description de Lagrange

Question 7

Définir un écoulement stationnaire

Answer 7

∂v#/∂t = 0#

Question 8

Définir la description d’Euler d’un champ de vitesses d’un fluide en mouvement

Answer 8

On fixe l’espace et on regarde à différents instants t

Question 9

Définir la description Lagrange d’un champ de vitesses d’un fluide en mouvement

Answer 9

On fixe une particule dont on regarde la trajectoire

Question 10

Dans quel cas la trajectoire particulaire est-elle différente des lignes de courant ?

Answer 10

Dans le cas d’un écoulement non stationnaire

Question 11

Quel est le lien entre a# et ∂v#/∂t ?

Answer 11

Question 12

Montrer que a# ≈ ∂v#/∂t ssi v/vφ &laquo_space;1

Answer 12

Question 13

Et superposer

Answer 13

Question 14

Définir le vecteur transport de masse et son flux

Answer 14

Question 15

Comment déterminer les lignes de champ du vecteur transport de masse ? Quelle information donnent-elles ?

Answer 15

Ce sont les mêmes que celles de v# puisque j# est colinéaire à v#.

Elles indiquent le sens de déplacement de la masse

Question 16

Exprimer Dm dans le cas unidimensionnel

Answer 16

(Flux de ρ.v#)

Question 17

Exprimer Dm dans le cas quasi-unidimensionnel

Answer 17

(Flux de ρ.v#)

Question 18

Exprimer Dm dans les cas cylindrique et sphérique

Answer 18

(Flux de ρ.v#)

Question 19

Définir le vecteur transport de volume et son flux

Answer 19

Question 20

Qu’est-ce que l’équation locale de conservation de la masse ?

Answer 20

Attention : elle n’est pas valable dans le cas quasi-unidimensionnel et il vaut mieux la remontrer à chaque fois

Question 21

À quoi faut-il faire attention avec le cas quasi-unidimensionnel ?

Answer 21

On n’a pas l’équation de conservation de la masse

Question 22

Sans terme de création, exprimer dρ/dt et ∂ρ/∂t en fonction de ρ et v#

Answer 22

Question 23

Que peut-on dire pour un écoulement stationnaire sans terme de création ?

Answer 23

Question 24

Que peut-on dire dans le cas d’un écoulement stationnaire sans terme de création si on est dans le cas :

• unidimensionnel ?
• quasi-unidimensionnel ?
• d’une symétrie cylindrique / sphérique ?

Answer 24

Question 25

Caractériser un fluide de masse volumique constante

Answer 25

Question 26

Que peut-on dire dans le cas de l’écoulement stationnaire d’un fluide de masse volumique constante, sans terme de création ?

Answer 26

On a conservation du débit (⇔ div(ρ.v#) = 0 et on peut sortir le ρ puisqu’il est constant

Question 27

Définir un écoulement incompressible

Answer 27

Ça revient à dire que chaque δm garde le même volume au cours du temps : incompressible

Question 28

Expliquer pourquoi on n’a pas forcément besoin de ρ=cste pour avoir div(v#) = 0

Answer 28

Il suffit que dρ/dt = 0, donc qu’une δm suivie dans le temps garde la même masse volumique

Question 29

Définir le vecteur tourbillon. Comment l’appelle-t-on également ?

Answer 29

Question 30

Définir un écoulement tourbillonaire / non-tourbillonaire

Answer 30

Question 31

Justifier le facteur 1/2 dans la définition du vecteur tourbillon

Answer 31

Le vecteur tourbillon est le vecteur de rotation qu’aurait un fluide tournant en bloc à la même vitesse

Question 32

Comment déterminer les équations de ligne de champ d’un vecteur A# ?

Answer 32

A# colinéaire à dl# ⇔ A# = C × dl# ⇔ Ax × dx = C et Ay × dy = C et Az × dz = C ⇔ Ax/dx = Ay/dy = Az/dz On met dy/dx = Ay/Ax par exemple (si on veut y(x)) et on intègre

Question 33

Comment caractérise-t-on un écoulement tel que : - ∂v#/∂t = 0# - div(v#) = 0 - rot#(v#) = 0# ?

Answer 33

- ∂v#/∂t = 0# : écoulement stationnaire - div(v#) = 0 : écoulement incompressible (car ⇔ dρ/dt = 0) - rot#(v#) = 0# : écoulement non tourbillonnaire

Question 34

Quel est le lien entre les lignes de courant et le vecteur tourbillon ?

Answer 34

Il n’y en a pas : un écoulement à lignes parallèles peut être tourbillonnaire et réciproquement un écoulement à lignes circulaires peut être non tourbillonnaire. Le vecteur tourbillon (/vorticité) ne décrit pas la rotation des lignes de courant mais la rotation au cours de son mouvement d’un objet placé dans le fluide.

Question 35

Caractériser l’écoulement et représenter

Answer 35

Question 36

L’écoulement est-il tourbillonnaire ? Représenter

Answer 36

Question 37

À quelle condition : dρ/dt = 0 ⇔ div(v#) = 0 ?

Answer 37

S’il n’y a pas de sources (Car on a ∂ρ/∂t = 0 et on peut sortir le ρ du div)

Question 38

Définir un écoulement potentiel

Answer 38

Question 39

Définir le potentiel des vitesses

Answer 39

Question 40

Quel est le sens physique du potentiel des vitesses ?

Answer 40

Il n’en a pas : c’est un outil mathématique

Question 41

Quel est l’intérêt du potentiel des vitesses ?

Answer 41

Question 42

Justifier que l’écoulement reste irrotationnel

Answer 42

Question 43

Sur une carte des vitesses, comment repérer les vitesses maximales si l’écoulement est incompressible ?

Answer 43

La norme de la vitesse est maximale lorsque les lignes de courant de resserrent si div(v#) = 0 (cf. champ B#)

Question 44

Chercher une solution pour v#(M) en admettant la forme Φ(r,θ) = f(r) × cos(θ) Sachant qu’en cylindriques : ΔF = 1/r × ∂F/∂r + ∂²F/∂r² + 1/r² × ∂²F/∂θ² + ∂²F/∂z²

Answer 44

Question 45

Calculer la force linéique exercée par le fluide sur le cylindre pour une hauteur h, en négligeant les effets de la pesanteur

Answer 45

Question 46

On fait tourner le cylindre à pulsation constante autour de Oz. Il entraine les couches de fluide selon eθ# (si on prend en compte la viscosité). On modélise cette rotation par la superposition d’un champ v’# = C/2.π.r × eθ# Calculer la force qui s’exerce alors sur le cylindre, en fonction de ρ, C, v∞ et h, en régime permanent, en négligeant l’influence de la pesanteur.

Answer 46

Question 47

Quelle est l’analogie entre l’électrostatique et la cinématique des fluides ?

Answer 47

Question 48

Quel est l’analogue de la charge ponctuelle en statique des fluides ? Justif

Answer 48

Question 49

Quel est l’analogue du dipôle en statique des fluides ?

Answer 49

Question 50

Quel est l’analogue du fil infini en statique des fluides ? Justif

Answer 50

Question 51

Quelle est l’analogie entre la magnétostatique et la cinématique des fluides ?

Answer 51

Question 52

Quel est l’analogue du fil infini parcouru par un courant ?

Answer 52

Question 53

Quel est l’analogue du cylindre infini en cinématique des fluides ?

Answer 53

Question 54

Exprimer le rotationnel et la divergence de OM#

Answer 54

Question 55

Quelle est la description d’un fluide instant par instant ?

Answer 55

Description d’Euler

Question 56

Quelle est la description d’un fluide particule par particule ?

Answer 56

La description de Lagrange

Question 57

Comment montrer le théorème de Lagrange ?

Answer 57

- équation d’Euler - transformer habituellement v#•grad#(v#) - appliquer le rot#(.), tous les grad# partent - de proche en proche, si rot#(v#) est nul initialement il l’est aussi à tout instant

Question 58

À quoi faut-il être particulièrement attentif lorsqu’on intègre en physique ?

Answer 58

- Il faut se demande **terme par terme** s’il dépend de la variable par rapport à laquelle on intègre - Si une grandeur ne dépend pas de la variable par rapport à laquelle on intègre mais qu’elle pourrait en dépendre dans un cas général, il faut **préciser qu’elle n’en dépend pas** - Il ne faut pas aller trop vite et bien intégrer de chaque côté (par exemple mettre P(r) - P(R) = … à et pas directement mettre P(r) = P(R) + …))

Question 59

D’où vient l’expression du débit massique comme ρ.S.v ?

Answer 59

C’est parce qu’il est définit comme le flux du vecteur transport de masse ρ.v

Question 60

Définir le débit massique et le débit volumique

Answer 60

- débit massique : flux du vecteur transport de masse j# = ρ.v# - débit volumique : flux du vecteur transport de volume j# = v#

Question 61

En mécanique des fluides, quelles peuvent être les conséquences directes d’un écoulement stationnaire ? Dans quels cas ?

Answer 61

**Conservation des débits, sans termes de création** (et v# à flux conservatif si dρ/dt = 0) Sans termes de création, les vecteurs de transport sont à flux conservatifs, comme dans tous les chapitres, sauf qu’ici c’est leurs flux qui sont intéressants (et qui se conservent donc), donc : - sans terme de création de masse, le débit massique se conserve (cad div(ρ.v#) = 0 et j# = ρ.v# est à flux conservatif) - sans terme de création de volume, le débit volumique se conserve (cad div(v#) = 0 et j# = v# est à flux conservatif) Si de plus ρ ne dépend pas des variables d’espace ( cad ρ=cste ou dρ/dt = 0) : - div(v#) = 0 et v# est à flux conservatif, car on peut sortir le ρ du div

Question 62

Comment montrer que le débit massique (/débit volumique) se conserve ?

Answer 62

- dire que l’écoulement est stationnaire, donc ∂ρ/∂t = 0 - rappeler ou montrer l’équation de conservation de la masse, en précisant qu’il n’y a pas de terme de création - en déduire que ρ.v# est à flux conservatif, c’est-à-dire que le débit massique se conserve par définition du débit massique