Dynamique Des Fluides Parfaits

Question 1

Qu’appelle-t-on «fluide parfait» ?

Answer 1

C’est un fluide dont on néglige toute création d’entropie (d(δS) = 0 pour toute particule) lors de l’écoulement, c’est-à-dire qu’on néglige tout phénomène diffusif :

• on néglige la viscosité (diffusion de la quantité de mouvement) : η ≈ 0
• on néglige la diffusion thermique

Question 2

D’où vient la création d’entropie ?

Answer 2

Des phénomènes diffusifs

Question 3

Montrer que ds = 0 pour un fluide parfait

Answer 3

Question 4

Exprimer du en fonction de P, ρ et dρ pour un fluide parfait, puis montrer que l’énergie interne de chaque particule se conserve dans le cas d’un fluide incompressible

Answer 4

Question 5

Si on fait un RFD à une particule de fluide, comment intervient la pression ?

Answer 5

Question 6

Qu’est-ce que l’équation d’Euler ?
Justif

Answer 6

C’est juste un RFD volumique

Question 7

Qu’est-ce que le théorème de Lagrange ?
Comment justif ?

Answer 7

Pour un fluide parfait de masse volumique constante, soumis uniquement à des forces conservatives, un écoulement irrotationnel reste irrotationnel

Cf. chapitre précédent pour la démonstration

Question 8

Exprimer P à l’intérieur du fluide

(Jet à l’air libre, pas dans un tuyau)

Answer 8

Question 9

Comment est modifiée l’équation d’Euler en référentiel non galiléen ?
Dans le cas d’une rotation uniforme ?

Answer 9

Question 10

Quelle est l’hypothèse nécessaire à tous les théorèmes de Bernoulli ?

Answer 10

Toutes les forces dérivent d’une énergie potentielle (+ fluide parfait)

Question 11

Qu’est-ce que Bernoulli généralisé ?
Justif

Answer 11

Attention : on n’a pas Δec + Δep + Δh = 0, alors qu’on a négligé la diffusion thermique donc Q = 0 et qu’on a pas de pièces mobiles, car on n’est pas en écoulement stationnaire, donc on ne peut pas écrire le premier principe industriel. Cependant, on voit qu’on retombe dessus en écoulement stationnaire.

(Car* pas par ailleurs…)
= cste* à la dernière ligne

• Euler
• Rassembler dans le grad#
• •dl# et ∫<M1→M2>
• dh

Question 12

Qu’est-ce que le Bernoulli au programme ?
Sous quelles hypothèses ?
Justif

Answer 12

Par la définition du grad# (et on est sur une ligne de courant car sinon ça n’a pas de sens de dire •dl#)

C’est la démo dynamique, on peut aussi la faire énergétique en passant par le premier principe industriel, car ∂./∂t = 0

Question 13

À quelle condition a-t-on ça en dynamique des fluides ?
Justif

Answer 13

Si on est en écoulement stationnaire :

Premier principe industriel :

• dq = 0 car on néglige tout phénomène diffusif
• wu = 0 car il n’y aura jamais de pièces mobiles

Question 14

Si on n’a que l’hypothèse stationnaire, sans celle ρ constant, que devient Bernoulli ?
Commenter

Answer 14

ep ⇔ g × z

Question 15

Que devient Bernoulli si on a ρ constant mais qu’on remplace permanent par rot#(v#) = 0# ?
Commenter lorsque en plus on a l’hypothèse stationnaire

Answer 15

ep ⇔ g × z

C’est beaucoup plus fort que le Bernoulli au programme : dans le cas irrotationnel, on peut l’appliquer au fluide tout entier, cas on n’a pas besoin de faire •dl# pour annuler le rot#(v#) ∧ v#, il est déjà nul tout seul

Question 16

Dans un référentiel non galiléen tournant à ω constant, que devient le Bernoulli au programme ?

Answer 16

Question 17

Quelles sont les deux interprétations énergétiques de Bernoulli ?

Answer 17

• lien avec le théorème de l’énergie mécanique
• lien avec le 1er principe industriel

Question 18

Quel est le lien entre Bernoulli et le théorème de l’énergie mécanique ?

Answer 18

Donc, en appliquant le théorème de l’énergie mécanique à la particule, on retombe sur Bernoulli

Question 19

Quel est le lien entre Bernoulli et le premier principe industriel ?

Answer 19

Question 20

On ouvre la valve, déterminer le temps de vidange

Answer 20

Question 21

En fonction de g, h, ω et R, sachant que ρ = cste, en se plaçant en régime quasi stationnaire (h• ≈ 0)

Answer 21

M1 «se comporte» comme M3 : l’égalité qu’on a déduite avec tout se passe comme si

(On peut aussi appliquer le crochet sur chaque ligne de courant et la valeur en sortie sera toujours la même ?)

Sinon plus simple : on applique juste à la ligne de champ qui part du centre et qui sort

Question 22

Qu’est-ce que l’effet Venturi ?
Justif

Answer 22

Question 23

Comparer P1 et P2

Answer 23

Question 24

Expliquer comment on mesure Dm

Answer 24

Question 25

Qu’est-ce que le détendeur de Joule-Kelvin ? Que peut-on dire de Δh et Δs ?

Answer 25

Question 26

Qu’est-ce que le tube de Pitot ? Quel est son intérêt ? Justif

Answer 26

Question 27

Calculer z(r) pour montrer que l’eau prends cette forme

Answer 27

Question 28

Qu’est-ce que la panacée ?

Answer 28

Ce n’est pas la formule de Bernoulli mais celle d’Euler

Question 29

Montrer qu’une perturbation dans un tube en U engendre des oscillations harmoniques, en utilisant Bernoulli

Answer 29

Bernoulli généralisé car il y a une dépendance du temps

Question 30

Comment trouver Ec dans un tube en U qu’on a perturbé ?

Answer 30

v est la même partout (pas v# attention), en particulier aux extrémités où v = z•, donc c’est bon

Question 31

Connaissant R0, comment faire ?

Answer 31

On cherche à déterminer R(t), sûrement par une équation différentielle sur R

Question 32

Qu’est-ce qu’un oscillateur harmonique ?

Answer 32

Je t’aime Ayoub ❤️❤️

Question 33

Trouver une équation différentielle sur R par Bernoulli

Answer 33

On utilise Bernoulli généralisé (à redémontrer en trois lignes en repartant de l’équation d’Euler) car il y a une dépendance temporelle Si on intègre de M1 à M∞ , il faut pouvoir exprimer toutes les vitesses en fonction de R entre ces deux points : c’est pour ça qu’on utilise la conservation du débit massique

Question 34

Quel est le Bernoulli au programme ? Sous quelles hypothèses ? Justif

Answer 34

Question 35

Comment résoudre ?

Answer 35

On sépare les variables (équation du premier ordre non linéaire)

Question 36

Justifier l’existence d’un potentiel des vitesses et sa caractéristique utile

Answer 36

Question 37

En cherchant le potentiel des vitesses sous la forme F(z).cos(ω.t - k.x), trouver une équation différentielle sur F

Answer 37

Question 38

Pour une profondeur infinie, trouver l’expression de v#, la relation de dispersion, la vitesse de phase et la vitesse de groupe

Answer 38

Question 39

Pour une profondeur finie, trouver l’expression de v# et la relation de dispersion, puis en supposant la profondeur faible, trouver la vitesse de phase et la vitesse de groupe (Sans déterminer la constante A de F(z), on mettra juste v0)

Answer 39

Question 40

Trouver l’emplacement d’une particule à l’instant t, en fonction de sa position initiale

Answer 40

Question 41

En appelant l la longueur du tube, exprimer la vitesse d’éjection. Comment trouver le temps de vidange ? En se plaçant en régime quasi-permanent (h• ≈ 0)

Answer 41

ω en dehors de la racine

Question 42

Comment appliquer les principes que l’on connaît mais qui sont spécifiques aux systèmes fermés (RFD, théorèmes énergétiques, TMC etc…) à un système ouvert lorsqu’on est en régime permanent ?

Answer 42

Refaire ça appliqué au théorème en question à chaque fois, méthode : - faire un schéma représentant (Σ), (Σ *)(t), et (Σ *)(t+dt) - appliquer le théorème à (Σ *) fermé - calculer G *(t+dt) et G *(t) séparément - en déduire une expression de dG*/dt

Question 43

Que donne un bilan de quantité de mouvement sur un système suivi dans le temps ?

Answer 43

Question 44

Que donne un bilan d’énergie cinétique sur un système suivi dans le temps ?

Answer 44

Question 45

Que donne un bilan d’énergie totale sur un système suivi dans le temps ?

Answer 45

Question 46

Déterminer la vitesse de la fusée lorsqu’elle n’est soumise qu’au champ de pesanteur terrestre uniforme vertical, en fonction de g, t, u, m0 et Dm, si v0 = 0

Answer 46

Car on veut faire un RFD mais on ne peut pas sur un système ouvert

Question 47

Si P est uniforme, que peut-on dire de son flux à travers une surface fermée ?

Answer 47

Sur une sphère par exemple c’est intuitif

Question 48

Si on cherche une relation de dispersion, que doit-on chercher ?

Answer 48

Une équation aux dérivées partielles faisant intervenir à la fois des dérivées par rapport à t et à l’espace

Question 49

Peut-on utiliser Bernoulli si le fluide est visqueux ? Comment faire alors dans un système ouvert ?

Answer 49

Non : on peut faire un bilan de quantité de mouvement, ce qui permet de ne faire intervenir que des forces extérieures et de ne pas avoir la viscosité

Question 50

Que se passe-t-il (qualitativement) ?

Answer 50

Question 51

Trouver deux équations liant ρ2, P2 et v2

Answer 51

ρ1.S.v1’.(v2 - v1)* Comme d’hab : conservation de la masse et bilan de p# (quand c’est pas visqueux c’est conservation de la masse et Bernoulli pcq Bernoulli c’est ce qu’on obtient en travaillant l’équation d’Euler, qui elle-même provient d’un RFD, donc d’un bilan de p#)

Question 52

Comment justifier la conservation du débit massique pour un système où ce n’est pas évident ?

Answer 52

On fait un bilan de masse dans un système ouvert en écoulement stationnaire

Question 53

Comment obtenir le bon nombre d’équation si on prend un modèle adiabatique ?

Answer 53

Question 54

Qu’est-ce qu’un jet homocinétique ?

Answer 54

Un jet homocinétique est un jet à l’air libre où tout va à la même vitesse

Question 55

Déterminer l’expression de v2, v1 et P1 en fonction de g, h, ρ, α et P0 (C’est un fluide parfait) 1 associé à S et 2 associé à s On néglige l’effet de la pesanteur dans toute la deuxième partie du tube

Answer 55

On utilise Bernoulli car le fluide est parfait, de masse volumique constante, en régime permanent

Question 56

Déterminer l’expression de la force qui s’exerce sur le tube, en fonction de α, ρ, g, h et S

Answer 56

Question 57

Montrer qu’on a une onde stationnaire dans le canal, calculer sa fréquence de résonance sur son mode fondamental et commenter pour la baie de Fundy où l = 250km et h = 50m. Sachant que la relation de dispersion est ω² = k × th(k.h)

Answer 57

_r_ = -1 car c’est de la matière, donc elle ne peut pas être absorbée ou transmise

Question 58

Sachant que la pression est une force surfacique, comment peut-on la définir dans un volume ?

Answer 58

Si on mettait une surface δS, c’est le quotient de la force de pression δF qui s’exercerait sur la surface δS et de la surface δS

Question 59

Comment raisonner dans ce chapitre ?

Answer 59

Conservation du Dm ssi dρ/dt = 0 (donc en particulier si ρ=cste)

Question 60

Quelles sont les deux principales choses à retenir et à savoir utiliser dans ce chapitre ? Comment ? En système fermé

Answer 60

- savoir redémontrer Bernoulli généralisé en s’adaptant en fonction des hypothèses (regarder si rot#(v#) = 0#, si ρ = cste et si on est en régime stationnaire) - utiliser la conservation du débit massique (si dρ=dt)

Question 61

Qu’appelle-t-on termes diffusif et convectif de l’équation d’Euler ?

Answer 61

Question 62

À quoi faut-il penser directement si rot#(v#) = 0# ?

Answer 62

- il existe Φ tel que v# = grad#(Φ) - on peut faire Bernoulli partout

Question 63

À quoi faut-il faire attention lorsqu’on se place dans un système ouvert en mouvement et qu’on écrit les différentes lois ?

Answer 63

Toutes les valeurs que l’on lie sont les valeurs dans le référentiel qui suit le mouvement : par exemple si on écrit la conservation du débit massique dans ce système, on l’écrit avec v1’ et v2’ qui sont les vitesses relatives de 1 et 2

Question 65

Si div(v#) = 0, le débit volumique se conserve d’après Green-Orstograski. Pourtant, si on fait le flux à travers une surface fermée (une sphère dans un cas sphérique par exemple), on obtient que le flux de v#, donc le débit volumique, est nul, ce qui est absurde. Où est le problème ?

Answer 65

Le problème vient du fait qu’on ne peut pas dire que le flux à travers toute surface fermée est nulle d’après Green-Ortsograski, car div(v#) est nul partout sauf au point émetteur, qu’on ne peut donc pas inclure dans le volume. C’est pour ça qu’on fait un flux à travers une surface fermée entre r et r+dr, qui ne contient pas la source… Faire sur le tout revient à dire que pour chaque surface on a la même contribution du point émetteur (puisque quel que soit le volume que l’on rajoute on y aura div(v#) = 0 donc il ne contribuera pas), donc on a bien que le débit est constant, mais pas nul ! Il n’est nul que si le point émetteur est tel que div(v#) = 0, donc s’il n’émet pas, c’est-à-dire s’il ne se passe rien, ce qui est logique

Question 66

Quelles sont les trois questions à se poser lorsqu’on applique un théorème à un système fluide ?

Answer 66

- est-ce que le référentiel est galiléen ? - est-ce que le système est ouvert ? - est-ce qu’il est visqueux ?

Question 67

En temps normal on utilise toujours la conservation du débit massique et l’équation de Bernoulli. Comment fait-on en système ouvert ?

Answer 67

- conservation du débit massique : bilan de masse - Bernoulli : bilan de p# (ou de σ#) (Bernoulli découle d’un RFD)

Question 68

Pourquoi a-t-on besoin d’avoir un fluide parfait pour faire Bernoulli ?

Answer 68

Car on part de l’équation d’Euler qui n’est vraie que pour un fluide dont on néglige la viscosité. Si le fluide n’était pas parfait, il faudrait alors partir de l’équation de Navier-Stokes et on n’obtiendrait pas Bernoulli.