Analyse Vectorielle

Question 1

Définir la circulation d’un champ de vecteur, à quoi faut-il faire attention ?

Answer 1

Il faut faire attention car la circulation dépend généralement du chemin suivi

Question 2

Que vaut la circulation d’une force ?

Answer 2

C’est son travail

Question 3

Déterminer la circulation de A# sur (C)

Answer 3

Question 4

Déterminer la circulation de A# sur (C)

Answer 4

Question 5

Déterminer la circulation de A# sur (C)

Answer 5

Question 6

Définir le flux

Answer 6

Question 7

Définir une surface fermée

Answer 7

C’est une surface qui délimite un volume

Question 8

Un plan est-il une surface fermée ?

Answer 8

Non ! Un plan ne renferme aucun volume, il est en revanche délimité par un contour fermé

Question 9

Calculer le flux de A# à travers (S)

Answer 9

Question 10

Calculer le flux de A# à travers (S) de hauteur h

Answer 10

Question 11

Déterminer le flux de A# à travers (S)

Answer 11

Question 12

Calculer le flux de A# à travers le parallélépipède

Answer 12

Question 13

Définir le gradient, quelle information donnent sa direction et son sens ?

Answer 13

Question 14

Définir la divergence

Answer 14

Question 15

Quelle est la dimension de grad#(V) ? De div(A#) ? De rot#(A#) ?

Answer 15

grad#(V) en V.m-1

div(A#) en A.m-1

rot#(A#) en A.m-1

Question 16

Donner la divergence en cartésiennes

Answer 16

On s’en fou de la justification

Question 17

Donner la divergence de A# dans les deux cas suivants :

• A# = A(x).ex#
• A# = A(y).ex#

Answer 17

Question 18

Démontrer l’expression de la divergence en sphériques, dans le cas où A# = A(r).er#

Answer 18

Question 19

Pourquoi la divergence porte-t-elle ce nom ?

Answer 19

Les lignes de champ divergent lorsque la divergence est positive et convergent lorsque la divergence est négative.

Question 20

Définir le rotationnel

Answer 20

Question 21

Donner l’expression du rotationnel en cartésiennes

Answer 21

Question 22

Comment voir la circulation d’un vecteur A# sur un circuit (C) ?

Answer 22

C’est en quelque sorte la «quantité» de A# qui est effectivement «prise» sur le circuit

Question 23

Comment voir le flux de A# sur (S) ?

Answer 23

C’est la «quantité» de A# qui est effectivement «prise» sur la surface (S)

Question 24

Donner les rotationnels

Answer 24

Question 25

Exprimer en électrostatique les rotationnels de E# et B#

Answer 25

Question 26

Qu’appelle-t-on « champ tourbillonaire » ?

Answer 26

C’est un champ dont le rotationnel est non nul

Question 27

Qu’appelle-t-on « champ irrotationnel » ?

Answer 27

C’est un champ dont le rotationnel est nul

Question 28

Définir le Laplacien scalaire

Answer 28

Question 29

Donner l’expression du Laplacien scalaire en cartésiennes

Answer 29

Question 30

Définir le Laplacien vectoriel

Answer 30

Question 31

Donner l’expression du Laplacien vectoriel en cartésiennes

Answer 31

Question 32

Qu’est-ce que l’équation de d’Alembert ? Que traduit-elle ?

Answer 32

Question 33

Qu’est-ce que l’équation de diffusion ? Que traduit-elle ?

Answer 33

Question 34

Que peut-on dire de la linéarité des différents opérateurs ?

Answer 34

Ils sont tous linéaires

Question 35

Exprimer le gradient du produit

Answer 35

Question 36

Quel est le lien fondamental entre le gradient et le rotationnel ?

Answer 36

Question 37

Donner l’expression de l’opérateur symbolique A# • grad# en cartésiennes, à quoi faut-il faire attention ?

Answer 37

Il faut bien placer les parenthèses car grad#(B#) n’a pas de sens

Question 38

Peut-on généraliser l’expression cartésienne de (A# • grad#) en cylindriques et sphériques ?

Answer 38

Oui, c’est toujours A# • ∇#

Question 39

Définir une ligne de champ

Answer 39

C’est une courbe tangente en tout point au champ

Question 40

Démontrer l’équation des lignes de champ en coordonnées cartésiennes

Answer 40

Question 41

Donner l’équation des lignes de champ en coordonnées cylindriques et sphériques

Answer 41

Question 42

Définir un « tube de champ »

Answer 42

C’est la surface constitué par l’ensemble des lignes de champ s’appuyant sur un contour fermé

Question 43

Donner les quatre équivalences à « A# est à circulation conservative »

Answer 43

Question 44

Donner deux exemples de champs à circulations conservatives

Answer 44

- Le champ E# (rot#(E#) = 0) - Un champ de force conservative (F# = -grad(Ep) et le travail ne depend pas du chemin suivi)

Question 45

Donner les trois équivalences à « A# est à flux conservatif »

Answer 45

Question 46

Donner un exemple de champ à flux conservatif

Answer 46

Le champ B# : div(B#) = 0

Question 47

Donner une précision sur A#, de deux manières différentes (une mathématique et une physique)

Answer 47

Question 48

Apporter une précision sur A# dans chacun des cas

Answer 48

Question 49

Définir le vecteur transport d’une grandeur G, et exprimer son unité

Answer 49

Question 50

Quelle est l’unité du flux du vecteur transport de G ?

Answer 50

Question 51

Qu’appelle-t-on taux de création de G ? Donner son unité

Answer 51

Question 52

Qu’est-ce que l’équation locale de conservation d’une grandeur G ?

Answer 52

Question 53

Faire la démonstration générale de l’équation de conservation d’une grandeur G ?

Answer 53

Question 54

Que peut-on dire en régime permanent, s’il n’y a pas de création/absorption ?

Answer 54

Question 55

Faire la démonstration de l’équation de conservation d’une grandeur G dans le cas d’une symétrie cylindrique ou sphérique

Answer 55

Question 56

Quelles sont les compositions d’opérateurs vectoriels qui sont nulles ?

Answer 56

- rot#(grad#(.)) = 0# - div(rot#(.)) = 0#