PGCD et PPCM dans Z. Applications.

Question 1

Plan

Answer 1

• > PGCD
• > PPCM
• > PGCD et PPCM
• > Application

Question 2

PGCD

Answer 2

• > Définition et propriétés

- > Algorithme d’Euclide

Question 3

PPCM

Answer 3

-> Définition et propriétés

Question 4

PGCD et PPCM

Answer 4

-> Proposition

Question 5

Application

Answer 5

• > Nombres premiers entre eux
• > Égalité de Bézout
• > Décomposition en facteurs premiers

Question 6

Démo :

1. PGCD(a, b) = PGCD(b, a) ;
2. PGCD(ka, kb) = k PGCD(a, b) avec k € Z.
3. Si a | c et b | d alors PGCD(a, b) | PGCD(c, d).

Answer 6

1. Triviale
2. Algorithme d’Euclide
3. Traduire

Question 7

Démo :

1. PPCM(a, b) = PPCM(b, a).
2. Soit k€Z, PPCM(ka, kb) = k PPCM(a, b).
3. Si a | c et b | d alors PPCM(a, b) | PPCM(c, d).

Answer 7

1. Triviale

2. 3. Traduire

Question 8

Démo : Soient a, b et c trois entiers relatifs. Si a | c, b | c, a et b sont premiers entre eux alors ab | c.

Answer 8

Utiliser le théorème de Gauss

Question 9

Démo : Égalité de Bézout

Answer 9

• > Soit E l’ensemble des entiers naturels non nuls de la forme ax+by
• > petit élément n
• > d n | a et n | b donc n | d donc n

Question 10

Démo : Théorème de Bézout

Answer 10

=> Égalité de Bézout

<= PGCD divise a et b donc divise toutes ces combinaisons linéaires

Question 11

Démo : Théorème fondamentale de l’arithmétique

Answer 11

Récurrence

Question 12

Démo :

1. L’ensemble des diviseurs communs à a et b est l’ensemble des diviseurs du pgcd(a,b)
2. Si d | a et d | b alors d | pgcd(a,b)
3. Si pgcd(a,b)=d alors il existe a’ et b’ tels que a=da’ et b=db’ et pgcd(a’,b’)=1

Answer 12

1. 2. Bézout

3. Si a’ et b’ ne sont pas premiers entre eux pgcd(a,b)=a ou b

Question 13

Démo : D(a,b)=D(b,r)

Answer 13

Double inclusion

Question 14

Démo : Théorème de Gauss

1. a | bc et a^b=1 donc a | c
2. a | c et b | c et a^b=1 donc ab | c

Answer 14

1. 2. Conséquence de Bézout