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Oral de CAPES > Géométrie vectorielle dans le plan et dans l’espace > Flashcards

Géométrie vectorielle dans le plan et dans l’espace Flashcards

1
Q

Plan

A
  • > Définition d’un vecteur
  • > Opérations sur les vecteurs
  • > Coordonnées d’un vecteur
  • > Colinéarité de deux vecteurs
  • > Produit scalaire, orthogonalité
  • > Géométrie dans l’espace
  • > Barycentres de n points
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Q

Définition d’un vecteur

A
  • > Définition générale
  • > Définition entre deux points
  • > Propriété du parallélogramme (1)
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3
Q

Opérations sur les vecteurs

A
  • > Addition Chasles
  • > Propriété du parallélogramme (2)
  • > Soustraction (additionner l’opposé)
  • > Multiplication par un scalaire
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Q

Coordonnées d’un vecteur

A
  • > Coordonnées dans le plan, dans l’espace

- > Propriété d’opération

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Q

Colinéarité de deux vecteurs

A
  • > Définition et propriétés (déterminant)
  • > Vecteur directeur
  • > Propriété colinéarité et droite
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6
Q

Produit scalaire, orthogonalité

A
  • > Définition dans le plan et propriété d’opérations
  • > Autres expressions (avec le cos, sous condition de colinéarité, projection orthogonale)
  • > Vecteur normal à une droite
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7
Q

Géométrie dans l’espace

A
  • > Vecteurs coplanaires
  • > Représentation paramétrique de droites et de plans
  • > Produit scalaire dans l’espace
  • > Vecteur normal à un plan (orthogonalité dans le plan, parallélisme et perpendicularité de plan)
  • > Équation cartésienne d’un plan
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8
Q

Barycentres de n points

A
  • > Définition et propriété
  • > Utilisation du barycentre partiel
  • > Coordonnées du barycentre
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9
Q

Démo : Propriété du parallélogramme

A

Chasles

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10
Q

Démo : Coordonnées d’un vecteur

A

Parallélogramme avec l’origine et un point M

Même milieu

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11
Q

Démo : Dans un repère, on donne les vecteurs u(x; y) et v (x_0; y_0). Les vecteurs u et v sont colinéaires, si, et seulement si, xy_0 − yx_0 = 0.

A

Définition de la colinéarité

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12
Q

Démo : u · v = xx’ + yy’ dans une base orthonormée

A

Calcul

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13
Q

Démo : Propriété de calcul des produits scalaires

A

Calcul

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14
Q

Démo : Représentation caractéristique d’un point sur une droite
AM=alphaAB+betaAC

A

=> Coplanaire

<= Poser un point R

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15
Q

Démo : Représentation paramétrique d’une droite

A

Coordonnées

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16
Q

Démo : Représentation paramétrique d’un plan

A

Coordonnées

17
Q

Démo : Si un vecteur est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires d’un plan alors c’est un vecteur normal à ce plan.

A

Écrire tout vecteur dans le plan

Produit scalaire

18
Q

Démo : Soit n un vecteur normal à un plan (P). Alors, tout vecteur non nul colinéaire à n est aussi un vecteur normal de (P).

A

Définition de la colinéarité

19
Q

Démo : Soit n un vecteur non nul, A un point et (P) le plan passant par A et de vecteur normal n. Alors un point M appartient à (P) si et seulement si n·AM = 0

A

=> Trivial

<= Chasles avec H le projeté orthogonal de M sur (P)

20
Q

Démo : Équation caractéristique d’un plan

A

=> Coordonnée et produit scalaire

<= Coordonnée non tous nuls

21
Q

Démo :

  1. (d) : y=mx+p => u(1,m) est le vecteur directeur de la droite
  2. (d) : x=k => u(0,1) est le vecteur directeur de la droite
A

Trouver des points A et B qui ont pour coordonnée vectorielles u(1,m) et u(0,1)

22
Q

Démo : Équation cartésienne d’une droite

Soit d une droite <=> ax+by+c=0

A

=> Trivial

<= Distinction de cas

23
Q

Démo :

  1. Vecteur directeur d’une droite u(-b,a)
  2. ax+by+c=0 et ax’+by’+c’=0 sont parallèles ssi u(-b,a) et u(-b’,a) sont proportionnels
A
  1. Prendre un point A sur la droite et construire un autre point B tel que AB=u
  2. Colinéarité
24
Q

Démo : u et v orthogonal <=> u.v=0

A

Pythagore ou tout simplement utiliser le produit scalaire avec le cos

25
Q

Démo : A, B,C, D des points C’ et D’ les projetés orthogonaux sur la droite (AB)
AB.CD=AB.C’D’

A

Calcul de produit scalaire

26
Q

Démo : u.v=||u||||v||cos(u,v)

A

Projeté orthogonal
Colinéarité
CAH SOH TOA

27
Q

Démo : AB et CD colinéaires non nuls
Même sens AB.CD=ABCD
Sens contraire AB.CD=-ABCD

A

Colinéarité

28
Q

Démo : Théorème de la médiane

A

Écrire sous forme de vecteur pour faire Chasles et calculer

29
Q

Démo : n(a,b) <=> ax+by+c=0

A

=> A(x_0;y_0) et M(x,y)
AM.n=0
<= M(x,y) Distinction de cas avec a!=0 et b!=0

30
Q

Démo (Hyperbole) : u, v, w non colinéaire. u, v, w sont coplanaire <=> au+bv+cw=0

A

Poser u=OA v=OB w=OC

Mq OC=aOA+bOB

31
Q

Démo (Hyperbole) : u, v, w non coplanaire. Pour tout vecteur t, ils existent un unique triplet (a,b,c) tels que :
t=au+bv+cw

A 
Existence
t=OM
M' projeté orthogonal de M' sur le plan 
MM'=kw
Unicité
Non coplanaire <=> au+bv+cw= => a=b=c=0
32
Q

Démo :

  1. Coordonnée d’un vecteur dans l’espace
  2. Milieu d’un vecteur dans l’espace
  3. AB=sqrt((x_A-x_B)²-(y_A-y_B)²-(z_A-z_B)²)
A
    1. Trivial

3. Pythagore

33
Q

Démo : Dans un repère orthonormé,

u.v=xx’+yy’+zz’

A

Calcul

34
Q

Démo : n(a,b,c) <=> ax+by+cz+d=0

A

=> A(x_0,y_0,z_0) M(x,y,z)
M€P <=> AM.n=0

<= Sq a!=0 et même raisonnement pour b et c

Oral de CAPES (37 decks)

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