Géométrie vectorielle dans le plan et dans l’espace

Question 1

Plan

Answer 1

• > Définition d’un vecteur
• > Opérations sur les vecteurs
• > Coordonnées d’un vecteur
• > Colinéarité de deux vecteurs
• > Produit scalaire, orthogonalité
• > Géométrie dans l’espace
• > Barycentres de n points

Question 2

Définition d’un vecteur

Answer 2

• > Définition générale
• > Définition entre deux points
• > Propriété du parallélogramme (1)

Question 3

Opérations sur les vecteurs

Answer 3

• > Addition Chasles
• > Propriété du parallélogramme (2)
• > Soustraction (additionner l’opposé)
• > Multiplication par un scalaire

Question 4

Coordonnées d’un vecteur

Answer 4

• > Coordonnées dans le plan, dans l’espace

- > Propriété d’opération

Question 5

Colinéarité de deux vecteurs

Answer 5

• > Définition et propriétés (déterminant)
• > Vecteur directeur
• > Propriété colinéarité et droite

Question 6

Produit scalaire, orthogonalité

Answer 6

• > Définition dans le plan et propriété d’opérations
• > Autres expressions (avec le cos, sous condition de colinéarité, projection orthogonale)
• > Vecteur normal à une droite

Question 7

Géométrie dans l’espace

Answer 7

• > Vecteurs coplanaires
• > Représentation paramétrique de droites et de plans
• > Produit scalaire dans l’espace
• > Vecteur normal à un plan (orthogonalité dans le plan, parallélisme et perpendicularité de plan)
• > Équation cartésienne d’un plan

Question 8

Barycentres de n points

Answer 8

• > Définition et propriété
• > Utilisation du barycentre partiel
• > Coordonnées du barycentre

Question 9

Démo : Propriété du parallélogramme

Answer 9

Chasles

Question 10

Démo : Coordonnées d’un vecteur

Answer 10

Parallélogramme avec l’origine et un point M

Même milieu

Question 11

Démo : Dans un repère, on donne les vecteurs u(x; y) et v (x_0; y_0). Les vecteurs u et v sont colinéaires, si, et seulement si, xy_0 − yx_0 = 0.

Answer 11

Définition de la colinéarité

Question 12

Démo : u · v = xx’ + yy’ dans une base orthonormée

Answer 12

Calcul

Question 13

Démo : Propriété de calcul des produits scalaires

Answer 13

Calcul

Question 14

Démo : Représentation caractéristique d’un point sur une droite
AM=alphaAB+betaAC

Answer 14

=> Coplanaire

<= Poser un point R

Question 15

Démo : Représentation paramétrique d’une droite

Answer 15

Coordonnées

Question 16

Démo : Représentation paramétrique d’un plan

Answer 16

Coordonnées

Question 17

Démo : Si un vecteur est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires d’un plan alors c’est un vecteur normal à ce plan.

Answer 17

Écrire tout vecteur dans le plan

Produit scalaire

Question 18

Démo : Soit n un vecteur normal à un plan (P). Alors, tout vecteur non nul colinéaire à n est aussi un vecteur normal de (P).

Answer 18

Définition de la colinéarité

Question 19

Démo : Soit n un vecteur non nul, A un point et (P) le plan passant par A et de vecteur normal n. Alors un point M appartient à (P) si et seulement si n·AM = 0

Answer 19

=> Trivial

<= Chasles avec H le projeté orthogonal de M sur (P)

Question 20

Démo : Équation caractéristique d’un plan

Answer 20

=> Coordonnée et produit scalaire

<= Coordonnée non tous nuls

Question 21

Démo :

1. (d) : y=mx+p => u(1,m) est le vecteur directeur de la droite
2. (d) : x=k => u(0,1) est le vecteur directeur de la droite

Answer 21

Trouver des points A et B qui ont pour coordonnée vectorielles u(1,m) et u(0,1)

Question 22

Démo : Équation cartésienne d’une droite

Soit d une droite <=> ax+by+c=0

Answer 22

=> Trivial

<= Distinction de cas

Question 23

Démo :

1. Vecteur directeur d’une droite u(-b,a)
2. ax+by+c=0 et ax’+by’+c’=0 sont parallèles ssi u(-b,a) et u(-b’,a) sont proportionnels

Answer 23

1. Prendre un point A sur la droite et construire un autre point B tel que AB=u
2. Colinéarité

Question 24

Démo : u et v orthogonal <=> u.v=0

Answer 24

Pythagore ou tout simplement utiliser le produit scalaire avec le cos

Question 25

Démo : A, B,C, D des points C’ et D’ les projetés orthogonaux sur la droite (AB)
AB.CD=AB.C’D’

Answer 25

Calcul de produit scalaire

Question 26

Démo : u.v=||u||||v||cos(u,v)

Answer 26

Projeté orthogonal
Colinéarité
CAH SOH TOA

Question 27

Démo : AB et CD colinéaires non nuls
Même sens AB.CD=ABCD
Sens contraire AB.CD=-ABCD

Answer 27

Colinéarité

Question 28

Démo : Théorème de la médiane

Answer 28

Écrire sous forme de vecteur pour faire Chasles et calculer

Question 29

Démo : n(a,b) <=> ax+by+c=0

Answer 29

=> A(x_0;y_0) et M(x,y)
AM.n=0
<= M(x,y) Distinction de cas avec a!=0 et b!=0

Question 30

Démo (Hyperbole) : u, v, w non colinéaire. u, v, w sont coplanaire <=> au+bv+cw=0

Answer 30

Poser u=OA v=OB w=OC

Mq OC=aOA+bOB

Question 31

Démo (Hyperbole) : u, v, w non coplanaire. Pour tout vecteur t, ils existent un unique triplet (a,b,c) tels que :
t=au+bv+cw

Answer 31

Existence
t=OM
M' projeté orthogonal de M' sur le plan 
MM'=kw
Unicité
Non coplanaire <=> au+bv+cw= => a=b=c=0

Question 32

Démo :

1. Coordonnée d’un vecteur dans l’espace
2. Milieu d’un vecteur dans l’espace
3. AB=sqrt((x_A-x_B)²-(y_A-y_B)²-(z_A-z_B)²)

Answer 32

1. 2. Trivial

3. Pythagore

Question 33

Démo : Dans un repère orthonormé,

u.v=xx’+yy’+zz’

Answer 33

Calcul

Question 34

Démo : n(a,b,c) <=> ax+by+cz+d=0

Answer 34

=> A(x_0,y_0,z_0) M(x,y,z)
M€P <=> AM.n=0

<= Sq a!=0 et même raisonnement pour b et c