Nombre dérivé. Fonction dérivée. Applications. Flashcards
Plan
- > Définition nombre dérivée et tangente
- > Définition dérivée d’une fonction
- > Dérivée de fonction usuelles
- > Dérivée d’opérations et composée de fonctions
- > Dérivée des fonctions trigonométrique
- > Dérivée de l’exponentielle et du logarithme
- > Application de la dérivation au sens de variation de la fonction
- > Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. Si f admet un extremum local en un point x0 intérieur à I alors f’(x0) = 0.
- > Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. Soit x0 un point intérieur à I. Si f’ s’annule en x0 en changeant de signe alors f a un extremum local en x0.
- > Complément Théorème de Rolle, Théorème des accroissement finis et inégalité des accroissement finis
- > Convexité
Démo : Dérivée de fonction usuelles
Démontrer les cas généraux en utilisant la limite du taux d’accroissement
Démo : Dérivée d’opérations et composée de fonctions
Nombre dérivée
Démo : Dérivée des fonctions trigonométrique
Nombre dérivée et limite de sinx/x=0 et limite de cos(x)-1/x =0
Démo : Dérivée de l’exponentielle et du logarithme
Nombre dérivée et taux d’accroissement usuel
Démo : Toute fonction dérivable est continue
Utiliser le développement limité de f
Poser x=x0+h
Démo : Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Soit x0 un élément de I. Les deux assertions suivantes sont équivalentes :
1. Il existe un réel ` tel que l’accroissement moyen ait pour limite ` :
lim f(x0 + h) − f(x0) / h = l
2. Il existe un réel l et une fonction E tels que pour tout h tel que x0 + h € I :
f(x0 + h) = f(x0) + lh + hE(h) où limE(h) = 0.
=> Poser E(h)= f(x0 + h) − f(x0) / h - l
<= Trivial
Démo : Application de la dérivation au sens de variation de la fonction
Inégalité des accroissement finis
Démo : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. Si f admet un extremum local en un point x0 intérieur à I alors f’(x0) = 0.
Taux d’accroissement à droite et à gauche permet de montrer que f’(x0)<0 et f’(x0)>0
Démo : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. Soit x0 un point intérieur à I. Si f’ s’annule en x0 en changeant de signe alors f a un extremum local en x0.
Repose sur le théorème des accroissement finis
Démo : Théorème de Rolle, TAF, IAF
A connaître par cœur
Démo : Si f est convexe et dérivable sur I et s’il existe c € I tel que f’(c)=0 alors f admet un minimum absolu. Idem lorsque f est concave et maximum
y=f(c) tangente en c
Démo : Convexité et opération
Linéarité ?
Démo : Signe de f” et convexité
Liens entre croissance de f’ et convexité de f
Démo : Si f” s’annule et change de signe en c alors (c;f(c)) est un point d’inflexion
Signe de f” et convexité
