Forme trigonométrique d’un nombre complexe. Applications. Flashcards
Plan
- > Petit rappel sur les nombres complexes
- > Forme trigonométrique d’un nombre complexe
- > Autres formes d’écritures pour un nombre complexe
- > Applications
Petit rappel sur les nombres complexes
- > Définitions
- > Propriétés conjugués PR PI
Forme trigonométrique d’un nombre complexe
- > Définitions (Module, arguments, forme trigo)
- > Propriétés (Module, arguments, forme trigo)
Autres formes d’écritures pour un nombre complexe
- > Forme algébrique
- > Forme exponentielle
Applications
- > Théorème colinéarité/orthogonalité
- > Théorème cocyclique/aligné
- > Théorème triangle équilatéral
Démo : Propriété des modules : Multiplication, division, inégalité triangulaire
IT : séparer le calcul en deux
Démo : Théorème : Si z = r(cos(a) + i sin(a)) avec r > 0 alors r = |z| et a = arg(z) (mod 2pi).
Calcul
Démo : Propriété sur les arguments (comme ln)
Calcul
Démo : Démonstration du théorème vecteurs colinéaires ou orthogonaux
Utiliser propriété sur l’argument
Démo : Un triangle est équilatéral si et seulement si les affixes a, b et c de ses sommets vérifient :
a² + b² + c² = ab + bc + ca.
1+j+j²=0
Démo : cos² x + sin² x = 1 et tan x = sin x/cos x
.
Pythagore
CAH SOH TOA
Démo : Calcul de valeurs remarquables.
Carré et triangle
Démo :
- cos(−x) = cos x,
- sin(−x) = sin x,
- cos(pi− x) = −cos x,
- sin(pi− x) = sin x,
- cos(pi + x) = −cos x,
- sin(pi+ x) = −sin x
- cos(pi/2 + x) = −sin x,
- sin(pi/2 + x) = cos x,
- cos(pi/2 − x) = sin x,
- sin(pi/2 − x) = cos x.
Poser des points sur un quart de cercle et montrer les égalités
Démo :
- cos(a − b) = cos a cos b +sin a sin b,
- cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b,
- sin(a − b) = sin a cos b − cos a sin b,
Cosx=Re(exp(ix)
Sinx=Im(exp(ix)
Démo :
- cos(2a) = cos2a−sin2a,
- sin(2a) = 2 sina cosa.
Formule d’addition
