Multiples et diviseurs dans N, nombres premiers. Flashcards
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Congruence dans Z
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Démo : Critère de divisibilité 2,3,5,7,9,11
2-> N=10B+A_0 3-> modulo 3 5-> N=10B+A_0 7-> -20A_0+21A_0 9-> modulo 9 11-> modulo 11
Démo : L’ensemble des nombres premiers est un ensemble infini.
n=p!+1
n admet un plus petit diviseur premier a
Montrer par l’absurde que a>p
Démo : Soit n un entier supérieur ou égal à 2 ; n est premier si, et seulement si, n n’a pas de diviseur premier inférieur ou égal à racine de n.
- > Ensemble des diviseurs
- > plus petit élément premier m
- > m divise n et m < racine de n
Démo : Lemme d’Euclide
Utiliser le lemme de Gauss
Démo : Lemme de Gauss
Utiliser le théorème de Bézout
Démo :
Soient n et p dans Z tels que n>2.
Les assertions suivantes sont équivalentes :
(1) La classe de p est inversible dans (Z/nZ;x).
(2) p et n sont premiers entre eux.
(3) La classe de p est d’ordre n dans (Z/nZ; +).
(1) <=>(2)
1) <=>(3
Démo : Soient b, q et r trois entiers relatifs tels que b et r soient non nuls. On a alors l’égalité pgcd(bq + r; b)=pgcd(b; r).
div(bq + r; b)=div(b; r).
Démo : Algorithme d’Euclide
2 Démonstrations
Démo : Théorème des restes chinois
Morphisme d’anneaux injective=>bijective
Démo : Décomposition en facteurs premiers
Existence : Récurrence
Unicité : Récurrence
