Kapitel 9 - Differenziation Flashcards
Was ist die Differenzielrechnung?
Die Rechnung der sich ändernde Werte.
Was heißt infinitesimale?
unendliche von etwas. Bsp.: Eine infinitesimale kleine positive Größe ist die kleinste positive Zahl die es gibt.
Was geschieht im Verfahren der Differenziation ?
Man sucht nach der Ableitung einer Funktion f(x).
Was ist die Ableitung?
Ein einfaches Konzept für die Steigung.
Was ist die Steigung?
Wie Steil die Kurve an einem bestimmten Punkt ist.
Um was geht es in der Differenzialrechnung?
Es geht um die Berechnung der Ableitung.
Was ist der Unterschied zwischen der Steigung einer horizontalen Gerade und einer vertikalen Gerade?
Die Steigung der Horizontale ist Null, den es gibt keine Höhen. Die Steigung einer vertikale ist undefiniert bzw. existiert nicht.
Gebe 6 Ausdrucksmöglichkeiten für die Ableitung.
-Höhe / Weite -y / x -dy / dx -dy / dy -df / dx -df(x) / dx -d / dx f(x) -f’(x)
Wie lautet die Steigungsformel für eine Gerade, welche man anhand zweier Punkte auf der Gerade berechnet?
Steigung = ( y₁ - y₂ / x₁ - x₂ )
Wie liest man folgende Ausdrucksweise: dy / dx = 2?
d-y nach d-x ist gleich 2.
Wie liest man folgende Ausdrucksweise: y’ = 2 ?
y-Strich ist gleich 2 oder die Ableitung der Funktion f(x) = … ist gleich 2.
Was ist die Differenziation außer nur eine Steigung?
Die Änderungsrate.
Was ist eine Änderungsrate?
Das Verhältnis zwischen zwei Werte.
Wie lautet der Ausdruck wenn ich die Änderungsrate von Objekt A im Verhältnis zu zweifachen von Objekt B angeben möchte?
Da: Objekt A = 2 Objekt B Objekt A/B = 2 oder dA/dB = 2^ Bsp: dy/dx = 2x
Was ist der Unterschied zwischen Ableitung und Ableitungsfunktion?
Die Ableitung gibt den Wert an einer bestimmten stelle an. P(X | Y) und die Ableitungsfunktion gibt eine Funktion an mit dessen Hilfe man alle möglichen Ableitungen bzw. Steigung auf der Funktion errechnen kann. dy / dx = 1/2 x
Wie rechnet man die Ableitung einer Parabel aus?
1- Den Exponenten nehmen und vor den Koeffizienten setzen.
2- Ausdruck vereinfachen. Bsp.: f(x) = 3x² 2 * 3x = 6x f’(x) = 6x
Was ist eine Tangente?
Aus dem lateinischen Tangere und bedeutet berühren. Mathematisch: Eine Gerade die einen Punkt berührt.
Was ist eine Sekante?
Aus dem lateinischen secare und bedeutet schneiden. Mathematisch: Eine Gerade die zwei Punkte innerhalb eines Kreises verbindet.
Wieso spricht man nicht von der Steigung einer Funktion sondern von der Änderungsrate?
Da die Steigung eine geometrische Vorstellung ist, hingegen stellt die Änderungsrate das Verhältnis zwischen Eingabe und Funktionswerte dar.
Wie lautet die formale Umschreibung von Ableitungen?
Die Ableitung einer Funktion f an der Stelle x = c, geschrieben als f’(c), ist die Änderungsrate der Funktion an der Stelle c.
Was ist ein Differenzenquotient ?
Eine Ableitungsform die das Verhältnis zwischen der Differenz von Y Werten und der Differenz von X-Werten angibt.
Wie ist die allgemeine Schreibweise der Differenzenquotient?
y = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) y = f(x + h) - f(x₂) / h -man setzt für x₂ - x₁, h -für y₂, setzt man f(x₁ + h) -für y₁, setzt man f(x₂)
Welche Rolle spielen Grenzwerte beim Berechnen der Ableitung?
Grenzwert → Technik zur Punkt/Richtung-Untersuchung
Ableitung → Untersuchung eines Punktes. Da der Grenzwert uns Hilft das Verhalten der Kurve an einem bestimmten Punkt oder eine Richtung zu betrachten können wir es auch bei der Berechnung von Steigung an bestimmten Punkten nutzen.
Was ist die durchschnittliche und momentane Änderungsrate?
-Der Durchschnitt ist die Steigung der Sekante, welches die durchschnittliche Änderungsrate zwischen dem Intervall von x₁ bis x₂ angibt.
-Die momentane ist die Steigung der Tangente an dem gefragten Punkt, welches durch den Grenzwert an diesem Punkt gebildet wird. ( Man lässt die Sekante gegen diesen Punkt laufen, bis Null. )
Was heißt notwendig und was hinreichned?
Notwendig → ohne gehts nicht Hinreichend → Muss passieren / es geben.
Drei Fälle an denen es keine Ableitung gibt:
1- Es existiert eine unstätigkeit (Notwenig = Stetigkeit) 2- In einem Knickpunkt ( Ein Knickpunkt hat unendlich viele Tangenten ) 3- Wenn eine vertikale Tangente existiert. (Steigung einer Ableitung ist undefiniert.
Was gilt für die meisten Funktionen im Hinblick auf Ableitungen?
Sie haben bis auf die einige Ausnahmestellen immer eine Ableitung. ( Siehe die Regeln. )
