Kapitel 11 - Differenziation und Kurven Flashcards
Wieso sind die Ableitungen bzw. Differenziationen einer Funktion so wichtig?
Sie geben die Steigungen an und helfen dabei die Form des Graphs besser zu verstehen.
Was bedeutet Euphemisum?
beschönigende, verhüllende, mildernde Umschreibung für ein anstößiges oder unangenehmes Wort.
Was ist ein stationärer Punkt?
Ein Punkt dessen Steigung Null ist.
Was bedeutet Euphorie?
Ein Gefühlszustand, der mit allgemeiner Freude und Glücklichkeit verbunden ist, Hochgefühl
Was ist ein lokaler Maximum bzw. Minimum?
Es ist der Punkt höchste bzw. niedrigste Punkt in seiner unmittelbarer Umgebung.
Was ist ein Wendepunkt?
Das ist der steilste Punkt auf dem Graph ab hier nimmt die Steigung ab.
Erkläre die Begriffe konvex und Konkav-
Beides Begriffe aus der Geometrie. Konkav: Wenn der Graph einer Funktion nach rechts abbiegt. Konvex: Wenn der Graph einer Funktion nach links abbiegt.
Was ist ein globaler/absoluter Maximum bzw. Minimum?
Das ist der höchste/tiefste Punkt auf dem gesamten Graph.
Was ist der Knickpunkt und welche Eigenschaft hat er?
An dieser Stelle besitzt der Graph einen Knick und hat keine eindeutige Steigung. Die Steigung ist nicht definiert.
Was ist ein Sattelpunkt ?
Ein stationärer Punkt, welcher als Wendepunkt gilt.
Was ist ein Randminimum/-maximum?
Ein Punkt auf dem Graph welcher als Startwert oder Endwert betrachtet wird und dabei der tiefste bzw. höchste Punkt ist, lokal oder global.
Was sind kritische Punkte?
Punkte an denen die Ableitung entweder Null oder undefiniert ist.
Was sind Extrempunkte?
Punkte an denen die Ableitung -gleich null -der kleinste oder -der größte ist. Minimum / Maximum / Wendepunkte.
Wie berechnet man die kritischen Stellen eines Graphs?
-Erste Ableitung bilden -Die Nullstellen der ersten Ableitung ermitteln. -Tests durchführen -Die X-Werte in die erste Funktion einsetzen und die Y-Koordinaten berechnen.
Welche Test Möglichkeiten gibt es um sicher zu gehen, dass es sich bei den Werten um Extremwerte handelt?
Test der ersten Ableitung Test der zweiten Ableitung
Wie funktioniert der Teste der ersten Ableitung?
-die Werte auf dem Zahlenstahl setzen -unmittelbare Werte vor und nach diesen in die erste Ableitung einsetzen -Die ermittelten Werte auf Vorzeichenänderungen prüfen.
Wie funktioniert der Test mit der zweiten Ableitung?
-Die zweite Ableitung bilden -Werte einsetzen. -Ist das Ergebnis: Negativ ( Konkav = Hochpunkt ) Positiv ( Konvex = Tiefpunkt ) Null ( Nicht eindeutig )
Wie findet man die undefinierten kritischen Werte?
Indem man die Funktion auf Werte untersucht für die sie undefinierte ist.
Wie ermittelt man die Extremstellen für ein abgeschlossenes Intervall?
-Indem man zurerst die Ableitung bildet und die extremstellen ermittelt. -Die Funktionswerte alle x Werte ermitteln, einschließlich randwerte.
Für welche Zahlen sind Logarithmusfunktionen definiert?
Nur für alle positiven Zahlen. (0, ∞)
Wie ermittelt man die Wendepunkte eines Graphes?
- zweite Ableitung bilden. - Nullstellen der zweiten Ableitung berechnen. - Werte auf Zahlenstrahl eintragen, - Unmittelbar in der nähe liegende werte in die Ableitung einsetzen. - Vorzeichen überprüfen.
Was haben die Vorzeichen der unmittelbar in der nähe einer Funktion liegenden Werte zu bedeuten? Wendepunkt bestimmen.
-negativer Wert = der Graph vor dem Wendepunkt Konkav, Hochpunkt. -positiver Wert = Graph kurz nach dem Wendepunkt Konvex, Tiefpunkt.
Was verrät uns die Y-Achse der ersten Ableitung?
Die Steigung
Wie sind die X-Achsenschnittpunkte der ersten Ableitung zu verstehen?
Sie zeigen an wo der Ursprungsgraph seine Extremstellen besitzt. ( Hoch / Tief / Sattelpunkt )
Wie verhält sich die Ableitung eines Graphs in dem Intervall in dem der Graph konkav ist?
Die Ableitung ist fallend.
Wie verhält sich die Ableitung eines Graphs in dem Intervall in dem der Graph konvex ist?
Dort steigt der Ableitungsgraph.
Wie spiegelt sich die Wendestelle eines Graphs in seiner Ableitung wieder?
Eine lokale minimum Wendestelle ist ein lokales Tiefpunkt der Ableitung und genauso verhält es sich auch mit den anderen Teilen.
Was besagt der Mittelwertsatz?
Es besagt, dass wenn wir einen Punkt a und einen Punkt b haben und zwischen diesen Punkten eine Stetigkeit herrscht dann muss es auch einen Punkt c geben so dass es gilt: f’(c) = f(b) - f(a) / b - a
Erkläre den Mittelwertsatz in einfachen Worten.
Wenn wir eine Durchschnittsgeschwindigkeit haben dann müssen wir irgendwann genau in dieser Geschwindigkeit bewegt haben, selbst wenn nicht konstant. Keine sprunghaften Stellen, da Stetigkeit.
Wie kann ich alle Werte finden, die die selbe Steigung, einer Durchschnittssteigung über einen bestimmten Intervall haben? Bsp.: funktion f(x) und alle Punkte finden, die selbe Steigung wie die Durchschnittsteigung im Intervall 2 bis 4 haben.
1- Y-Werte für die Intervalgrenzen finden. 2- Mittelwertsatz nutzen die Durchschnittssteigung zu berechnen. 3- Die D-Steigung der ersten Ableitung gleich setzen. 2- Die Nullstellen der ersten Ableitung berechnen.
Was heißt pedant?
exakt, genau, peniebel
abwertend gemeint:
Was besagt die Regel von L Hopital?
Es besagt, dass wenn man den Grenzwert einer Funktion wie in Form von y = f(x) / g(x) hat und das Ergebnis für x = c, 0/0 oder ∞/ ∞ ist, dann kann man die Ableitung von f und g bilden.
