Kapitel 8 - Grenzwerte Auswerten Flashcards
Was ist der Grenzwert einer horizontalen Gerade?
Die Gerade selbst. lim x → a c = c y = c.
Welchen Grenzwert hat ( lim x → 0⁺ 1/x ) ?
+∞
Welchen Grenzwert hat ( lim x → 0⁻ 1/x ) ?
-∞
Welchen Grenzwert hat ( lim x → ∞ 1/x ) ?
0
Wenn lim x → -∞ und ich möchte √ 16x² ziehen. Was ist das Ergebnis?
-4x da wir x auf der Minusseite betrachten. von minus unendlich bis 0 oder andersherum.
Welchen Grenzwert hat ( lim x → -∞ 1/x ) ?
0
Welchen Grenzwert hat ( lim x→0 sin (x) / x )
1
Welchen Grenzwert hat ( lim x → 0 cos x - 1 / x )
0
Welchen Grenzwert hat ( lim x → ∞ ( 1 + 1 / x ) ˣ )
e = 2,718281828459
Was ist der Grenzwert an einem Sprung?
Dort existiert kein Grenzwert.
Wie kann man Grenzwerte geometrisch bestimmen?
Indem man den dazu gehörigen Graph in der Nähe des Wertes zeichnet.
Was ist das besondere bei Grenzwerte die man Anhand von Substituieren bestimmen kann?
Diese Werte kann man ermitteln wenn Funktion bzw. der Wert für die Funktion stetig ist.
Was sind echte Grenzwertprobleme ?
Grenzwerte die nicht definierte sind. 0/0
Wie kann man eine Bruchgleichung mit Hilfe des kleinsten gemeinsamen vielfachen vereinfachen?
Indem man entweder für den Nenner oder Zähler, je nach dem wo die Brüche stehen, einen gemeinsamen Nenner findet und als Bruch Multipliziert.
Wie verhält sich der Grenzwert gegen → ∞ wenn einer dieser Funktionen über der anderen geschrieben ist: x¹⁰, 5x, x!, xˣ Werte sind von klein nach groß geschrieben.
Befindet sich der kleinere im Zähler und größere im Nenner, dann ist der Grenzwert = 0.
Ist der größere im Zähler und kleinere im Nenner, dann Grenzwert = unendlich
Bsp.: lim x→ ∞ x³/5x = 0
lim x→ ∞ 5x/x³ = ∞
Wie heißen die vier Methoden zum lösen von echten Grenzwertproblemen?
-Funktionskurve zeichnen
-Algebra
-Grenzwert Sandwich
-Die Regel von L Hopital
Wie kann man Grenzwerte algebraisch lösen?
Mit -Faktorisieren -Konjugierte Multiplikation
Finde den Grenzwert x → 5 für die Gleichung ( x² - 25 / x - 5 ) durch faktorisieren.
x² - 25 = ( x + 5 )( x - 5 ) = ( x + 5 )( x - 5 ) / x - 5 = x + 5 f( 5 ) = 5 + 5 = 10
Was heißt es zu konjugieren?
Den Ausdruck mit sich selbst nur umgekehrter Operation multiplizieren.
Finde den Grenzwert x → 4 für die Gleichung √ x - 2 / x - 4 durch Konjugieren.
(√x - 2 ) * ( √x + 2 )
Was ist beim Lösen von Grenzwert Problemen zu beachten?
Man kann im Grunde alle Techniken aus der Algebra nutzen um die Funktion zu vereinfachen um so den undefinierten Bruch 0 / 0 loszuwerden.
Wie kann man Grenzwertprobleme für Funktionen dessen Grenzwert nicht präzise genug bestimmt werden kann, Lösen?
Indem man die Sandwich Methode nutzt. Zwei umhüllende Funktionen angeben, die an der selben Stellen ihren Grenzwert haben.
Gebe eine allgemeine Anleitung wie man die Sandwich Methode nutzen kann.
-Wir betrachten die ursprüngliche Funktion und orientieren uns an der Form. -Schauen uns den Grenzwert und den Ort an. -Suchen eine Funktion für den Oberen Teil, welcher leicht größer ist als die Ursprungsfunktion -Suchen eine Funktion für den unteren Teil, welcher leicht Kleiner ist als die Ursprungsfunktion.
Gebe ein Beispiel für die Sandwich Methode mit Erklärung.
lim x → ∞ f(x) = e⁻ˣ sin (10x) Da die Funktion sin ( 10 x ) nicht größere Werte als 1 liefert. kann man die Funktionen f(x) = e⁻ˣ und g (x) = -e⁻ˣ
Was sind rationale Funktionen?
Es sind Funktionen welche ein Quotient bestehen aus Funktionen im Zähler und Nenner sind. y = f( x ) / g( x )
Welche drei Fälle entscheiden über die horizontale Asymptote einer Funktion?
-Ist der Zählergrad größer als Nennergrad = keine Horizontale
-Ist der Zählergrad kleiner als Nennergrad = 0 -
Ist der Zählergrad gleich Nennergrad = Zählerkoeffizient / Nennerkoeffizient. Bsp.: (3 x² + 5x + 6) / (4 x² + 5x +7) = 3 / 4
Wie ist die allgemeine Vorgehensweise um Grenzwertprobleme zu lösen?
1-Substituieren 2-Zeichnerische ( Grafik Taschenrechner ) 3-Algebraische Methode 4-Sandwich Methode
Wie kann man (1 / ∞) = 0 herleiten?
lim x → ∞ 1 / x = 0
Was heißt apathisch?
Teilnahmslosigkeit, Unempfindsamkeit gegenüber äußere Reize.
