Kapitel 10 - Differenziationsregeln

Question 1

Was sagen Mathematiker zum Ableiten? Statt die Ableitung von f(x).

Answer 1

Eine Funktion differenzieren.

Question 2

Wie lautet die Konstantenregel?

Answer 2

Für jede konstante Funktion ist die Ableitung gleich 0.

Question 3

Wie lautet die Potenzregel?

Answer 3

-Exponent mit dem Koeffizient multiplizieren. -Exponent um 1 verringern. Bsp: f(x) = x³ f’(x) = 3x²

Question 4

Was ist bei der Potenzregel zu beachten?

Answer 4

Man kann jede Art von Potenzen damit berechnen. Negative und Brüche (Wurzeln) auch.

Question 5

Wie lautet die Faktorregel?

Answer 5

Man zieht den Faktor zur Seite und leitet wie gewöhnlich ab. Anschließend multipliziert man.

Question 6

Wie lautet die Summenformel für die Differenziation?

Answer 6

Kommt in einer Funktion eine Summe von Termen vor, so bildet man für jedes einzelne Term eine Ableitung. (f(x) + g(x))’ = f(x)’ + g(x)’

Question 7

Wie lautet die Differenzenregel?

Answer 7

Genau wie die Summenregel.

Question 8

Wie lauten die Ableitungen für die sechs trigonometrischen Funktionen?

Answer 8

d/dx sin x = cos x
d/dx csc x = -csc x cot x
d/dx cos x = -sinx
d/dx sec x = sec x tan x
d/dx tan x = 1/cos² x
d/dx cot x = - csc² x

Question 9

Wie lautet die Ableitung für sin (x) ?

Answer 9

cos (x)

Question 10

Wie laute die Ableitung für csc (x) ?

Answer 10

-csc (x) cot (x)

Question 11

Wie lautet die Ableitung für cos (x) ?

Answer 11

-sin (x)

Question 12

Wie lautet die Ableitung für sec(x) ?

Answer 12

sec (x) tan (x)

Question 13

Wie lautet die Ableitung für tan(x) ?

Answer 13

1 / cos² (x)

Question 14

Wie lautet die Ableitung für cot (x)?

Answer 14

-csc² x

Question 15

Wie kann man eine Exponentialfunktion mit basis e differenzieren?

Answer 15

Die Ableitung von f(x) = eˣ → f’(x) = eˣ

Question 16

Wie kann man eine Exponentialfunktion mit einer anderen Basis als e differenzieren? Bsp.: 2ˣ

Answer 16

Indem man den Wert mit dem natürlichen logarithmus der Basis multipliziert. Bsp.: f(x) = 2ˣ = e^ln(2ˣ) = eˣ^ln(2) f’(x) = 2ˣ x ln(2)

Question 17

Wie lautet die Regel Exponentialfunktionen aus der Aglebra?

Answer 17

aˣ = e^ln(aˣ) = eˣ^ln(a) - x wird hinter ln() verschoben, Exponentenregel Logarithmen

Question 18

Was ist ein ln bzw. natürlicher logarithmus?

Answer 18

Es ist der Exponent von e, x welcher zur y führt. eˣ = y x = ln(y) oder logₑ y = x

Question 19

Wie lautet die Ableitungsregel für ln( ) bzw. natürlicher Logarithmus? Basis e. → logₑ y = x → ln(y) = x

Answer 19

Hier greift die Kettenregel. Innere Ableitung mal der äußeren Ableitung. - d / dx ln x = (1 / x) * 1 1- Innen → x → 1 2- Außen → ln(x) → 1 / x

Question 20

Wie laute die Ableitungsregel für Logarithmus-Funktionen? Eine andere Basis als e. → log₃ y = x

Answer 20

Wenn die Basis eine andere Zahl ist als e dann teilt man 1/x durch den natürlichen Logarithmus dieser Zahl.

Question 21

Wie lautet die Produkt-Regel?

Answer 21

Wenn f(x) = g(x) * c(x), dann f’(x) = g’(x) * c(x) + g(x) * c’(x).

Question 22

Wie stehen die Faktor- und Produktregel in Verbindung zu einander?

Answer 22

Die Faktorregel ist ein Sonderfall der Produktregel.

Question 23

Wie lautet die Quotientenregel?

Answer 23

f(x)= sin (X) / X⁴
f’(x) = (cos (X) x X⁴ - sin (X) x 4X³) / X⁸

Question 24

Wie lauten die pythagorischen Identitäten für die trigonometrischen Funktionen?

Answer 24

sin² + cos² = 1
1 + cot² = csc²
tan² + 1 = sec²

Question 25

Wie lauten die Doppelwinkel-Identitäten ?

Answer 25

sin ( 2x ) = 2 sin (x) cos (x)
cos( 2x ) = cos² - sin² = 2 cos² - 1 = 1 - 2 sin²
tan ( 2 a ) = 2 tan a / 1 - tan ² a

Question 26

Wie lautet die Kettenregel?

Answer 26

f(x) = g(h(x))
f‘(x) = g’(h(x)) x h’(x)

Question 27

Was ist das Argument einer Funktion?

Answer 27

Die Variable, die man in die Funktion einsetzt. f(x) → x ist das Argument.

Question 28

Wie lautet die Kettenregel angewendet auf den natürlichen Logarithmus?

Answer 28

Die Ableitung des inneren mal der Ableitung des äußeren. ln x² = 1 / x² * 2x

Question 29

Wann ist f(x) oder y explizit als Funktion von x dargestellt?

Answer 29

Wenn f(x) oder y auf einer Seite allein stehen.

Question 30

Wann ist f(x) oder y implizit als Funktion von x dargestellt?

Answer 30

Wenn es sich innerhalb der Funktion befindet und wir sie nicht umformen können.

Question 31

Was ist die implizierte Differenziation und wie funktioniert es?

Answer 31

Eine Technik zur Differenziation -Hilft die Ableitung einer Funktion mit y zu berechnet (Man kann die Funktion nicht nach y auflösen. Verfahren: -Man nutzt die Kettenregel um y -Funktionen zu lösen und bildet die normale Ableitung für x nach Substitutionsverfahren. -Anschließend löst man nach der Ableitung von y’.

Question 32

Was ist die Ableitung von arctan(x)?

Answer 32

1 / 1 + x²

Question 33

Was ist die logarithmische Differenziation ?

Answer 33

Es ist eine Methode um die Ableitung einer sehr großen und bereits faktorisierten Funktion zu berechnen.

Question 34

Wie funktioniert die logarithmische Differenziation für bereits faktorisierte Funktionen?

Answer 34

-Die Regel für die Ableitung einer natürlichen Logarithmus (ln) vergegenwärtigen . f’(x) = 1 /x. -Die Kettenregel in Erinnerung rufen. f(x) = f’(x) * x’ -Diese Regeln kombinieren. 1-Auf beiden Seiten die ln() Funktion anwenden. ln(f(x)) = ln((irgendwas)(irgendwas)) 2-Die Produkt-Regel der Logarithmen anwenden. ln(f(x)) = ln(irgendwas) + ln(irgendwas) 3-ln(f(x)) ableiten bzw. beide Seiten ableiten. 1/f(x) x f’(x) = 1…

Question 35

Wie geht man vor wenn mehrere Regeln angewendet werden müssen?

Answer 35

Wenn für x ein Wert eingesetzt wird und man diesen Wert ausrechnet, beginnt man bei der Anwendung der Regeln mit der letzten Operation die man durch führt.

Question 36

Was ist die inverse Differenzitation und wie funktioniert es?

Answer 36

-Inverse = Spiegelung -f(x) = g⁻¹(x) und g(x) = f⁻¹(x) -(10,4) in f Graph -(4 , 10) in g Grafph -f(x) => (10 , f(10) ) -g(x) => ( f(10), g(f(10)) ) –Verfahren– f’(10) = 1 / g’(f(x))

Question 37

Was sind höhere Ableitungen?

Answer 37

Sie zeigen immer die Änderungsrate an und eine 2, 3 oder 4te Ableitung zeigt an wie schnell die Änderungsrate der oberen Funktion ist.

Question 38

Was ist die Ableitung von e^irgendwas?

Answer 38

e^irgendwas * irgendwas’

Question 39

was ist die Ableitung von arcsin?

Answer 39

1 / √ 1 - x²

Question 40

Was ist die Ableitung von arccos?

Answer 40

-1 / √ x² - 1

Question 41

Was ist die Ableitung von arctan?

Answer 41

1 / √ 1 + x²