Kapitel 10 - Differenziationsregeln Flashcards
Was sagen Mathematiker zum Ableiten? Statt die Ableitung von f(x).
Eine Funktion differenzieren.
Wie lautet die Konstantenregel?
Für jede konstante Funktion ist die Ableitung gleich 0.
Wie lautet die Potenzregel?
-Exponent mit dem Koeffizient multiplizieren.
-Exponent um 1 verringern.
Bsp: f(x) = x³ f’(x) = 3x²
Was ist bei der Potenzregel zu beachten?
Man kann jede Art von Potenzen damit berechnen. Negative und Brüche (Wurzeln) auch.
Wie lautet die Faktorregel?
Man zieht den Faktor zur Seite und leitet wie gewöhnlich ab. Anschließend multipliziert man.
Wie lautet die Summenformel für die Differenziation?
Kommt in einer Funktion eine Summe von Termen vor, so bildet man für jedes einzelne Term eine Ableitung. (f(x) + g(x))’ = f(x)’ + g(x)’
Wie lautet die Differenzenregel?
Genau wie die Summenregel.
Wie lauten die Ableitungen für die sechs trigonometrischen Funktionen?
d/dx sin x = cos x
d/dx csc x = -csc x cot x
d/dx cos x = -sinx
d/dx sec x = sec x tan x
d/dx tan x = 1/cos² x
d/dx cot x = - csc² x
Wie lautet die Ableitung für sin (x) ?
cos (x)
Wie laute die Ableitung für csc (x) ?
-csc (x) cot (x)
Wie lautet die Ableitung für cos (x) ?
-sin (x)
Wie lautet die Ableitung für sec(x) ?
sec (x) tan (x)
Wie lautet die Ableitung für tan(x) ?
1 / cos² (x)
Wie lautet die Ableitung für cot (x)?
-csc² x
Wie kann man eine Exponentialfunktion mit basis e differenzieren?
Die Ableitung von f(x) = eˣ → f’(x) = eˣ
Wie kann man eine Exponentialfunktion mit einer anderen Basis als e differenzieren? Bsp.: 2ˣ
Indem man den Wert mit dem natürlichen logarithmus der Basis multipliziert. Bsp.: f(x) = 2ˣ = e^ln(2ˣ) = eˣ^ln(2) f’(x) = 2ˣ x ln(2)
Wie lautet die Regel Exponentialfunktionen aus der Aglebra?
aˣ = e^ln(aˣ) = eˣ^ln(a) - x wird hinter ln() verschoben, Exponentenregel Logarithmen
Was ist ein ln bzw. natürlicher logarithmus?
Es ist der Exponent von e, x welcher zur y führt. eˣ = y x = ln(y) oder logₑ y = x
Wie lautet die Ableitungsregel für ln( ) bzw. natürlicher Logarithmus? Basis e. → logₑ y = x → ln(y) = x
Hier greift die Kettenregel. Innere Ableitung mal der äußeren Ableitung.
- d / dx ln x = (1 / x) * 1
1- Innen → x → 1
2- Außen → ln(x) → 1 / x
Wie laute die Ableitungsregel für Logarithmus-Funktionen? Eine andere Basis als e. → log₃ y = x
Wenn die Basis eine andere Zahl ist als e dann teilt man 1/x durch den natürlichen Logarithmus dieser Zahl.
Wie lautet die Produkt-Regel?
Wenn f(x) = g(x) * c(x), dann f’(x) = g’(x) * c(x) + g(x) * c’(x).
Wie stehen die Faktor- und Produktregel in Verbindung zu einander?
Die Faktorregel ist ein Sonderfall der Produktregel.
Wie lautet die Quotientenregel?
f(x)= sin (X) / X⁴
f’(x) = (cos (X) x X⁴ - sin (X) x 4X³) / X⁸
Wie lauten die pythagorischen Identitäten für die trigonometrischen Funktionen?
sin² + cos² = 1
1 + cot² = csc²
tan² + 1 = sec²
Wie lauten die Doppelwinkel-Identitäten ?
sin ( 2x ) = 2 sin (x) cos (x)
cos( 2x ) = cos² - sin² = 2 cos² - 1 = 1 - 2 sin²
tan ( 2 a ) = 2 tan a / 1 - tan ² a
Wie lautet die Kettenregel?
f(x) = g(h(x))
f‘(x) = g’(h(x)) x h’(x)
Was ist das Argument einer Funktion?
Die Variable, die man in die Funktion einsetzt. f(x) → x ist das Argument.
Wie lautet die Kettenregel angewendet auf den natürlichen Logarithmus?
Die Ableitung des inneren mal der Ableitung des äußeren. ln x² = 1 / x² * 2x
Wann ist f(x) oder y explizit als Funktion von x dargestellt?
Wenn f(x) oder y auf einer Seite allein stehen.
Wann ist f(x) oder y implizit als Funktion von x dargestellt?
Wenn es sich innerhalb der Funktion befindet und wir sie nicht umformen können.
Was ist die implizierte Differenziation und wie funktioniert es?
Eine Technik zur Differenziation
-Hilft die Ableitung einer Funktion mit y zu berechnet (Man kann die Funktion nicht nach y auflösen. Verfahren:
-Man nutzt die Kettenregel um y
-Funktionen zu lösen und bildet die normale Ableitung für x nach Substitutionsverfahren.
-Anschließend löst man nach der Ableitung von y’.
Was ist die Ableitung von arctan(x)?
1 / 1 + x²
Was ist die logarithmische Differenziation ?
Es ist eine Methode um die Ableitung einer sehr großen und bereits faktorisierten Funktion zu berechnen.
Wie funktioniert die logarithmische Differenziation für bereits faktorisierte Funktionen?
-Die Regel für die Ableitung einer natürlichen Logarithmus (ln) vergegenwärtigen . f’(x) = 1 /x. -Die Kettenregel in Erinnerung rufen. f(x) = f’(x) * x’ -Diese Regeln kombinieren. 1-Auf beiden Seiten die ln() Funktion anwenden. ln(f(x)) = ln((irgendwas)(irgendwas)) 2-Die Produkt-Regel der Logarithmen anwenden. ln(f(x)) = ln(irgendwas) + ln(irgendwas) 3-ln(f(x)) ableiten bzw. beide Seiten ableiten. 1/f(x) x f’(x) = 1…
Wie geht man vor wenn mehrere Regeln angewendet werden müssen?
Wenn für x ein Wert eingesetzt wird und man diesen Wert ausrechnet, beginnt man bei der Anwendung der Regeln mit der letzten Operation die man durch führt.
Was ist die inverse Differenzitation und wie funktioniert es?
-Inverse = Spiegelung -f(x) = g⁻¹(x) und g(x) = f⁻¹(x) -(10,4) in f Graph -(4 , 10) in g Grafph -f(x) => (10 , f(10) ) -g(x) => ( f(10), g(f(10)) ) –Verfahren– f’(10) = 1 / g’(f(x))
Was sind höhere Ableitungen?
Sie zeigen immer die Änderungsrate an und eine 2, 3 oder 4te Ableitung zeigt an wie schnell die Änderungsrate der oberen Funktion ist.
Was ist die Ableitung von e^irgendwas?
e^irgendwas * irgendwas’
was ist die Ableitung von arcsin?
1 / √ 1 - x²
Was ist die Ableitung von arccos?
-1 / √ x² - 1
Was ist die Ableitung von arctan?
1 / √ 1 + x²
