Kapitel 15 - Integrationstechniken für Profis

Question 1

Was sind die drei grundlegenden Integrationstechniken?

Answer 1

Umkehrregeln, Raten und Prüfen, Substitutionsmethode.

Question 2

Was ist die partielle Integration?

Answer 2

Die Umkehrung der Produktregel.

Question 3

Wie lautet die Formel für die partielle Integration?

Answer 3

∫ u(x)v’(x) dx = u(x)v(x) - ∫ u’(x)v(x)dx.

Question 4

Wann nutzt man die partielle Integration?

Answer 4

Wenn der Integrand als Produkt zweier Funktionen vorliegt, wobei eine Funktion sich durch Ableiten vereinfacht, während die andere Funktion relativ einfach integrierbar ist.

Question 5

Wie nutzt man die partielle Integration?

Answer 5

Werte für u(x) und v’(x) zuordnen, gemäß der Formel umformen und Integrale berechnen.

Question 6

Wann nutzt man die Direkte Umkehrregel?

Answer 6

Wenn der Integrand einem bekannten Basisregel entspricht.

Question 7

Wann nutzt man die Substitutionsmethode?

Answer 7

Wenn der Integrand als zusammengesetzte Funktion vorliegt.
f(g(x))⋅g’(x)

Question 8

Wann nutzt man die Trigonometrische Substitution?

Answer 8

Wann man Wurzelausdrücke unter einem Bruch vereinfachen möchte.

Question 9

Gebe einen typischen Erkennungsmerkmal für die Nutzung der Substitutionsmethode.

Answer 9

Wenn im Integrand ein Teil existiert dessen Ableitung auch im Integrand geschrieben ist.

Question 10

Wie entscheidet man, was das u in der Formel der partiellen Integration sein soll?

Answer 10

Mit Hilfe des Akronyms LIATE.

Question 11

Beschreibe die Liste, die LIATE darstellen soll.

Answer 11

L = Logarithmisch, I = Invers trigonometrisch, A = Algebraisch, T = Trigonometrisch, E = Exponentiell.

Question 12

Wie kann man bei der partiellen Integration die Intervallgrenzen einsetzen?

Answer 12

Man berechnet entweder für jeden Teil die Intervallgrenzen einzeln oder wendet die obere und die untere jeweils einzeln auf das gesamte Integral an und subtrahiert dann.

Question 13

Was ist bei der Anwendung der Formel der partiellen Integration in Bezug auf die Reihenfolge der Elemente zu achten?

Answer 13

Man sollte die Position der Werte einer Gleichung nicht vertauschen.

Question 14

Was muss man darstellen, wenn der Integrand zwei trigonometrische Funktionen enthält?

Answer 14

Man muss eines der drei Paarungen darstellen: Sinus und Kosinus, Sekans und Tangens, Kosekans und Kotangens.

Question 15

Was kann man machen, wenn der Integrand nicht die gewünschte Paarung enthält?

Answer 15

Mit Hilfe der trigonometrischen Identitäten umformen.

Question 16

Was ist die grundlegende Idee bei den meisten trigonometrischen Integralen?

Answer 16

Ein trigonometrisches Paar zu formen, die Substitutionsmethode vorzunehmen und mit der umgekehrten Potenzregel zu integrieren.

Question 17

Wie bildet man das Integral des Paares Sin(x)Cos(x) für den Fall, dass der Potenz von Sinus ungerade und positiv ist?

Answer 17

Einen Faktor von Sinus abspalten, trigonometrische Identität nutzen, umformen, Substitutionsmethode anwenden und Integrale bilden.

Question 18

Wie bildet man das Integral des Paares Sin(x)Cos(x) für den Fall, dass der Potenz von Cosinus ungerade und positiv ist?

Answer 18

Einen Faktor von Kosinus abspalten, trigonometrische Identität nutzen, umformen, Substitutionsmethode anwenden und Integrale bilden.

Question 19

Was ist die trigonometrische Substitution?

Answer 19

Eine Methode der Integration, um bestimmte Arten von Wurzelausdrücken zu vereinfachen, indem man einen Ausdruck oder eine Variable durch eine trigonometrische Funktion ersetzt.

Question 20

Welche Wurzel-Formen kann man mit der trigonometrischen Substitution lösen?

Answer 20

√u² + a², √a² - u², √u² - a² und Potenzen dieser Wurzeln.

Question 21

Welcher Wurzel-Ausdruck wird der trigonometrischen Funktion tan(ϑ) zugeordnet?

Answer 21

tan(ϑ) → √u² + a².

Question 22

Welcher Wurzel-Ausdruck wird der trigonometrischen Funktion sin(ϑ) zugeordnet?

Answer 22

sin(ϑ) → √a² - u².

Question 23

Welcher Wurzel-Ausdruck wird der trigonometrischen Funktion sec(ϑ) zugeordnet?

Answer 23

sec(ϑ) → √u² - a².

Question 24

Wie integriert man mit Hilfe der trigonometrischen Substitution?

Answer 24

Trigonometrische Funktion bestimmen, Dreieck zeichnen, Funktion nach x auflösen, differenzieren, substituieren und umformen.

Question 25

Woher wissen wir, welchen Wert, u oder a, wir welcher Kante eines Dreiecks für die trigonometrische Substitution zuweisen?

Answer 25

U gehört immer im Zähler und die Seitenverhältnisse der Funktionen beachten.

Question 26

Was ist die Umkehrregel für sec(ϑ)?

Answer 26

ln |sec(ϑ) + tan(ϑ)|.

Question 27

Leite die Integrale für sec(ϑ) her.

Answer 27

Die Ableitung von sec ist sec(x)tan(x), sec(x) mit dem Bruch sec(x) + tan(x) multiplizieren, Zähler ist die Ableitung von Nenner, Substitutionsmethode anwenden.

Question 28

Was sind Partialbrüche?

Answer 28

Eine Methode, um gebrochen-rationale Funktionen in einfachere, summierte Brüche zu zerlegen.

Question 29

Was muss getan werden, um die Technik der Partialbrüche anzuwenden?

Answer 29

Überprüfen, ob der Bruch ein echter Bruch ist oder nicht.

Question 30

Wie kann man eine unechte gebrochen rationale Funktion zu einem echten Bruch umwandeln?

Answer 30

Indem man eine Polynomdivision durchführt.

Question 31

Wie führt man eine Polynomdivision durch?

Answer 31

Mittels Mitternachtsformel oder Standardmethode.

Question 32

Welche Form hat das Ergebnis der Polynomdivision?

Answer 32

f(x) = g(x) q(x) + r(x).

Question 33

Wie funktioniert der erste Fall, wenn der Nenner nur lineare Faktoren enthält?

Answer 33

Nenner faktorisieren, Bruch in einzelne Brüche aufteilen, Gleichung multiplizieren und Nullstellen bestimmen.

Question 34

Was ist eine Diskriminante?

Answer 34

Eine Zahl, die besondere Eigenschaften einer quadratischen Gleichung bestimmt.

Question 35

Welche Form hat eine Diskriminante?

Answer 35

b² - 4ac.

Question 36

Was bedeutet die Diskriminante, wenn sie größer Null ist?

Answer 36

Die Gleichung hat zwei reelle Lösungen.

Question 37

Was bedeutet die Diskriminante, wenn sie gleich Null ist?

Answer 37

Die Gleichung hat eine doppelte Lösung.

Question 38

Was bedeutet die Diskriminante, wenn sie kleiner Null ist?

Answer 38

Die Gleichung hat keine reelle Lösung.

Question 39

Wie geht man bei partiellen Brüchen mit einem nicht reduzierbaren Faktor um?

Answer 39

Beim Spalten schreibt man über diesen Teil Cx + D.

Question 40

Wie geht man mit dem Fall der partiellen Brüche vor, wenn mehrere Potenzen gleicher Zahl vorkommen?

Answer 40

Man spaltet mehrere Brüche für die Potenzen auf. A/x + B/x² + C/(x+5) + D/(x+5)² + …

Question 41

Was bedeutet deceiving?

Answer 41

Täuschen, täuschend
Looks can be deceiving.

Question 42

Wann wird ein Drehmoment ausgeübt?

Answer 42

Wenn eine Kraft ausgeübt wird, die dazu neigt, eine Drehung zu verursachen.