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Analysis 1 > Kapitel 15 - Integrationstechniken für Profis > Flashcards

Kapitel 15 - Integrationstechniken für Profis Flashcards

1
Q

Was sind die drei grundlegenden Integrationstechniken?

A

Umkehrregeln,
Raten und Prüfen,
Substitutionsmethode.

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Q

Was ist die partielle Integration?

A

Die Umkehrung der Produktregel.

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3
Q

Wie lautet die Formel für die partielle Integration?

A

∫ u(x)v’(x) dx = u(x)v(x) - ∫ u’(x)v(x)dx.

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4
Q

Wann nutzt man die partielle Integration?

A

Wenn der Integrand als Produkt zweier Funktionen vorliegt, wobei eine Funktion sich durch Ableiten vereinfacht, während die andere Funktion relativ einfach integrierbar ist.

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5
Q

Wie nutzt man die partielle Integration?

A

Werte für u(x) und v’(x) zuordnen, gemäß der Formel umformen und Integrale berechnen.

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6
Q

Wann nutzt man die Direkte Umkehrregel?

A

Wenn der Integrand einem bekannten Basisregel entspricht.

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7
Q

Wann nutzt man die Substitutionsmethode?

A

Wenn der Integrand als zusammengesetzte Funktion vorliegt.
f(g(x))⋅g’(x)

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8
Q

Wann nutzt man die Trigonometrische Substitution?

A

Wenn man Wurzelausdrücke unter einem Bruch vereinfachen möchte.

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9
Q

Gebe einen typischen Erkennungsmerkmal für die Nutzung der Substitutionsmethode.

A

Wenn im Integrand ein Teil existiert dessen Ableitung auch im Integrand geschrieben ist.

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10
Q

Wie entscheidet man, was das u in der Formel der partiellen Integration sein soll?

A

Mit Hilfe des Akronyms LIATE.

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11
Q

Beschreibe die Liste, die LIATE darstellen soll.

A

L = Logarithmisch, I = Invers trigonometrisch, A = Algebraisch, T = Trigonometrisch, E = Exponentiell.

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12
Q

Wie kann man bei der partiellen Integration die Intervallgrenzen einsetzen?

A

Man berechnet entweder für jeden Teil die Intervallgrenzen einzeln oder wendet die obere und die untere jeweils einzeln auf das gesamte Integral an und subtrahiert dann.

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13
Q

Was ist bei der Anwendung der Formel der partiellen Integration in Bezug auf die Reihenfolge der Elemente zu achten?

A

Man sollte die Position der Werte einer Gleichung nicht vertauschen.

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14
Q

Was muss man darstellen, wenn der Integrand zwei trigonometrische Funktionen enthält?

A

Man muss eines der drei Paarungen darstellen: Sinus und Kosinus, Sekans und Tangens, Kosekans und Kotangens.

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15
Q

Was kann man machen, wenn der Integrand nicht die gewünschte Paarung enthält?

A

Mit Hilfe der trigonometrischen Identitäten umformen.

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16
Q

Was ist die grundlegende Idee bei den meisten trigonometrischen Integralen?

A

Ein trigonometrisches Paar zu formen, die Substitutionsmethode vorzunehmen und mit der umgekehrten Potenzregel zu integrieren.

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17
Q

Wie bildet man das Integral des Paares Sin(x)Cos(x) für den Fall, dass der Potenz von Sinus ungerade und positiv ist?

A

Einen Faktor von Sinus abspalten, trigonometrische Identität nutzen, umformen, Substitutionsmethode anwenden und Integrale bilden.

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18
Q

Wie bildet man das Integral des Paares Sin(x)Cos(x) für den Fall, dass der Potenz von Cosinus ungerade und positiv ist?

A

Einen Faktor von Kosinus abspalten, trigonometrische Identität nutzen, umformen, Substitutionsmethode anwenden und Integrale bilden.

19
Q

Was ist die trigonometrische Substitution?

A

Eine Methode der Integration, um bestimmte Arten von Wurzelausdrücken zu vereinfachen, indem man einen Ausdruck oder eine Variable durch eine trigonometrische Funktion ersetzt.

20
Q

Welche Wurzel-Formen kann man mit der trigonometrischen Substitution lösen?

A

√u² + a²,
√a² - u²,
√u² - a²
und
Potenzen dieser Wurzeln.

21
Q

Welcher Wurzel-Ausdruck wird der trigonometrischen Funktion tan(ϑ) zugeordnet?

A

tan(ϑ) → √u² + a².

22
Q

Welcher Wurzel-Ausdruck wird der trigonometrischen Funktion sin(ϑ) zugeordnet?

A

sin(ϑ) → √a² - u².

23
Q

Welcher Wurzel-Ausdruck wird der trigonometrischen Funktion sec(ϑ) zugeordnet?

A

sec(ϑ) → √u² - a².

24
Q

Wie integriert man mit Hilfe der trigonometrischen Substitution?

A

Trigonometrische Funktion bestimmen, Dreieck zeichnen, Funktion nach x auflösen, differenzieren, substituieren und umformen.

25
Q

Woher wissen wir, welchen Wert, u oder a, wir welcher Kante eines Dreiecks für die trigonometrische Substitution zuweisen?

A

U gehört immer im Zähler und die Seitenverhältnisse der Funktionen beachten.

26
Q

Was ist die Umkehrregel für sec(ϑ)?

A

ln |sec(ϑ) + tan(ϑ)|.

27
Q

Leite die Integrale für sec(ϑ) her.

A

Die Ableitung von sec ist sec(x)tan(x), sec(x) mit dem Bruch sec(x) + tan(x) multiplizieren, Zähler ist die Ableitung von Nenner, Substitutionsmethode anwenden.

28
Q

Was sind Partialbrüche?

A

Eine Methode, um gebrochen-rationale Funktionen in einfachere, summierte Brüche zu zerlegen.

29
Q

Was muss getan werden, um die Technik der Partialbrüche anzuwenden?

A

Überprüfen, ob der Bruch ein echter Bruch ist oder nicht.

30
Q

Wie kann man eine unechte gebrochen rationale Funktion zu einem echten Bruch umwandeln?

A

Indem man eine Polynomdivision durchführt.

31
Q

Wie führt man eine Polynomdivision durch?

A

Mittels Mitternachtsformel oder Standardmethode.

32
Q

Welche Form hat das Ergebnis der Polynomdivision?

A

f(x) = g(x) q(x) + r(x).

33
Q

Wie funktioniert der erste Fall, wenn der Nenner nur lineare Faktoren enthält?

A

Nenner faktorisieren, Bruch in einzelne Brüche aufteilen, Gleichung multiplizieren und Nullstellen bestimmen.

34
Q

Was ist eine Diskriminante?

A

Eine Zahl, die besondere Eigenschaften einer quadratischen Gleichung bestimmt.

35
Q

Welche Form hat eine Diskriminante?

A

b² - 4ac.

36
Q

Was bedeutet die Diskriminante, wenn sie größer Null ist?

A

Die Gleichung hat zwei reelle Lösungen.

37
Q

Was bedeutet die Diskriminante, wenn sie gleich Null ist?

A

Die Gleichung hat eine doppelte Lösung.

38
Q

Was bedeutet die Diskriminante, wenn sie kleiner Null ist?

A

Die Gleichung hat keine reelle Lösung.

39
Q

Wie geht man bei partiellen Brüchen mit einem nicht reduzierbaren Faktor um?

A

Beim Spalten schreibt man über diesen Teil Cx + D.

40
Q

Wie geht man mit dem Fall der partiellen Brüche vor, wenn mehrere Potenzen gleicher Zahl vorkommen?

A

Man spaltet mehrere Brüche für die Potenzen auf. A/x + B/x² + C/(x+5) + D/(x+5)² + …

41
Q

Was bedeutet deceiving?

A

Täuschen, täuschend
Looks can be deceiving.

42
Q

Wann wird ein Drehmoment ausgeübt?

A

Wenn eine Kraft ausgeübt wird, die dazu neigt, eine Drehung zu verursachen.

43
Q
A
44
Q

Was bedeutet Trottoir?

A

Schweizerisch für Bürgersteig
Aussprache Französisch

Analysis 1 (16 decks)

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