Kapitel 14 - Teil 1 - Integration Flashcards
Um was geht es in der Integration im Wesentlichen?
Um die Umkehrung der Differenziation
Was ist das unbestimmte Integral?
Das unbestimmte Integral einer Funktion f, dargestellt als ∫ f(x)dx, ist die Familie aller Stammfunktionen von f.
Was ist das bestimmte Integral?
Die Definition der summe aller unendlichen Flächen unter der Kurve einer Funktion f, dargestellt als ∫ f(x)dx = lim n → ∞ Σ [f(xᵢ) * b-a/n].
Was ist eine Stammfunktion?
Die ursprüngliche Funktion der Ableitung.
Was ist die Stammfunktion von 4x² ?
4/3x³
Was ist die Stammfunktion von -sin(x) ?
cos(x)
Was ist ein anderes Wort für Stammfunktion bestimmen?
aufleiten
Was ist bei der suche der einfachen Stammfunktion zu beachten? Finde die Stammfunktion von 3x² und erkläre dabei.
Die Stammfunktion könnte, x³ sein oder jede Funktion mit der Form f(x) = x³ + c. Wobei c eine Konstante ist.
Was ist die Familie aller Stammfunktionen von f und wie lautet die Definition?
Das unbestimmte Integral einer Funktion f, dargestellt als ∫ f(x)dx.
Wie nennt man die Zahlen oberhalb und unterhalb des Integralszeichens?
Integrationsgrenzen a ∫ b
Was ist der Unterschied zwischen dem Symbol für das bestimmte und unbestimmte Integral?
Das unbestimmte Integral hat keine Integrationsgrenzen und das bestimmte schon. Unbestimmt = ∫ Bestimmt = a ∫ b
Wieso ist das unbestimmte Integral “unbestimmt” ?
Da es keine bestimmte Stammfunktion gibt, sondern eine Menge.
Was haben alle Stammfunktionen gemeinsam?
Die unbestimmte Konstante C und die Ableitung. Überall auf der Stammfunktion herrscht eine identische Steigung für x = a.
Wieso ignorieren wir die Konstante C ?
Die Konstante C ist bei der Flächenberechnung nicht relevant, wird jedoch in andere Anwendungen benötigt.
Was ist das unbestimmte Integral für 3x² und wie laute die allgemeine mathematische Schreibweise?
x³ + c ∫ 3x² dx = x³ + C ∫ f(x)dx = F(x) + C
Was darf man nicht vergessen wenn man alle Stammfunktionen einer Funktion angeben muss?
Die Konstante C.
Was ist eine Flächenfunktion?
Die Funktion zur Berechnung des Flächeninhaltes unter einer Kurve. Die Kurve könnte als f(t) definiert sein. Bsp.: Aₙ(x) = s ∫ x f(t)dt = F(x) + C F(x) ist die Stammfunktion.
Wie stehen Aₙ(x) und f(t) zu einander in Verbindung?
Die Änderungsrate von Aₙ(x) wird von f(x) bestimmt. Das heißt wird f(t) um x Einheiten erhöht steigt der Wert von A(x) um t Einheiten.
Was ist ein Integrand und eine Integrationsvariable?
Am Beispiel der unbestimmten Integrale ist f(x) welcher die Änderungsrate von A(x) bestimmt der Integrand und “ x “die Integrationsvariable.
Wie lautet der Hauptsatz der Differenzial und Integralrechnung?
Gegeben ist die Funktion Aₙ(x) = s ∫ x f(t)dt d/dx A(x) = f(x) Analytisch: Die Änderungsrate der Flächenfunktion A,f an der Stelle x wird durch den Funktionswert der Kurve f bzw. des Integranden f an der Stelle x bestimmt. Geometrisch: Die Zuwachsrate der Fläche Aₙ an der Stelle x wird durch die Höhe der Kurve an der Stelle x bestimmt.
Wieso ist das dx in der bestimmten bzw. unbestimmten Integrale wichtig?
In der bestimmten gibt es die infinitesimale Breite für das zu berechnende Rechteck an. In der unbestimmten gibt es die Variable an mit dessen Hilfe wir den Integrand bestimmen. - infinitesimale Breite
Was bestimmt C in der unbestimmten Integrale?
C bestimmt wo wir den Startpunkt der Berechnung unserer Flächen ansetzen, jedoch nicht in Einheiten wie es der Index “s” macht sondern umgerechnet in die Menge der Fläche unter der Kurve. Es kann Minus oder Plus sein.
Wovon ist der Wert von C abhängig?
Davon wo der Startwert ist.
Was heißt Vigilanz?
Mit dem Begriff Vigilanz bezeichnet man in der Medizin die Wachheit bzw. Daueraufmerksamkeit eines Patienten.
