Kapitel 14 - Teil 1 - Integration

Question 1

Um was geht es in der Integration im Wesentlichen?

Answer 1

Um die Umkehrung der Differenziation

Question 2

Was ist das unbestimmte Integral?

Answer 2

Das unbestimmte Integral einer Funktion f, dargestellt als ∫ f(x)dx, ist die Familie aller Stammfunktionen von f.

Question 3

Was ist das bestimmte Integral?

Answer 3

Die Definition der summe aller unendlichen Flächen unter der Kurve einer Funktion f, dargestellt als ∫ f(x)dx = lim n → ∞ Σ [f(xᵢ) * b-a/n].

Question 4

Was ist eine Stammfunktion?

Answer 4

Die ursprüngliche Funktion der Ableitung.

Question 5

Was ist die Stammfunktion von 4x² ?

Answer 5

4/3x³

Question 6

Was ist die Stammfunktion von -sin(x) ?

Answer 6

cos(x)

Question 7

Was ist ein anderes Wort für Stammfunktion bestimmen?

Answer 7

aufleiten

Question 8

Was ist bei der suche der einfachen Stammfunktion zu beachten? Finde die Stammfunktion von 3x² und erkläre dabei.

Answer 8

Die Stammfunktion könnte, x³ sein oder jede Funktion mit der Form f(x) = x³ + c. Wobei c eine Konstante ist.

Question 9

Was ist die Familie aller Stammfunktionen von f und wie lautet die Definition?

Answer 9

Das unbestimmte Integral einer Funktion f, dargestellt als ∫ f(x)dx.

Question 10

Wie nennt man die Zahlen oberhalb und unterhalb des Integralszeichens?

Answer 10

Integrationsgrenzen a ∫ b

Question 11

Was ist der Unterschied zwischen dem Symbol für das bestimmte und unbestimmte Integral?

Answer 11

Das unbestimmte Integral hat keine Integrationsgrenzen und das bestimmte schon. Unbestimmt = ∫ Bestimmt = a ∫ b

Question 12

Wieso ist das unbestimmte Integral “unbestimmt” ?

Answer 12

Da es keine bestimmte Stammfunktion gibt, sondern eine Menge.

Question 13

Was haben alle Stammfunktionen gemeinsam?

Answer 13

Die unbestimmte Konstante C und die Ableitung. Überall auf der Stammfunktion herrscht eine identische Steigung für x = a.

Question 14

Wieso ignorieren wir die Konstante C ?

Answer 14

Die Konstante C ist bei der Flächenberechnung nicht relevant, wird jedoch in andere Anwendungen benötigt.

Question 15

Was ist das unbestimmte Integral für 3x² und wie laute die allgemeine mathematische Schreibweise?

Answer 15

x³ + c ∫ 3x² dx = x³ + C ∫ f(x)dx = F(x) + C

Question 16

Was darf man nicht vergessen wenn man alle Stammfunktionen einer Funktion angeben muss?

Answer 16

Die Konstante C.

Question 17

Was ist eine Flächenfunktion?

Answer 17

Die Funktion zur Berechnung des Flächeninhaltes unter einer Kurve. Die Kurve könnte als f(t) definiert sein. Bsp.: Aₙ(x) = s ∫ x f(t)dt = F(x) + C F(x) ist die Stammfunktion.

Question 18

Wie stehen Aₙ(x) und f(t) zu einander in Verbindung?

Answer 18

Die Änderungsrate von Aₙ(x) wird von f(x) bestimmt. Das heißt wird f(t) um x Einheiten erhöht steigt der Wert von A(x) um t Einheiten.

Question 19

Was ist ein Integrand und eine Integrationsvariable?

Answer 19

Am Beispiel der unbestimmten Integrale ist f(x) welcher die Änderungsrate von A(x) bestimmt der Integrand und “ x “die Integrationsvariable.

Question 20

Wie lautet der Hauptsatz der Differenzial und Integralrechnung?

Answer 20

Gegeben ist die Funktion Aₙ(x) = s ∫ x f(t)dt d/dx A(x) = f(x) Analytisch: Die Änderungsrate der Flächenfunktion A,f an der Stelle x wird durch den Funktionswert der Kurve f bzw. des Integranden f an der Stelle x bestimmt. Geometrisch: Die Zuwachsrate der Fläche Aₙ an der Stelle x wird durch die Höhe der Kurve an der Stelle x bestimmt.

Question 21

Wieso ist das dx in der bestimmten bzw. unbestimmten Integrale wichtig?

Answer 21

In der bestimmten gibt es die infinitesimale Breite für das zu berechnende Rechteck an. In der unbestimmten gibt es die Variable an mit dessen Hilfe wir den Integrand bestimmen. - infinitesimale Breite

Question 22

Was bestimmt C in der unbestimmten Integrale?

Answer 22

C bestimmt wo wir den Startpunkt der Berechnung unserer Flächen ansetzen, jedoch nicht in Einheiten wie es der Index “s” macht sondern umgerechnet in die Menge der Fläche unter der Kurve. Es kann Minus oder Plus sein.

Question 23

Wovon ist der Wert von C abhängig?

Answer 23

Davon wo der Startwert ist.

Question 24

Was heißt Vigilanz?

Answer 24

Mit dem Begriff Vigilanz bezeichnet man in der Medizin die Wachheit bzw. Daueraufmerksamkeit eines Patienten.

Question 25

Wie lautet die Flächenfunktion für f(t) = t² + 1 und wie lautet die Stammfunktion?

Answer 25

A,t(x) = s ∫ x (t² + 1) dt = 1/3x³ + x + C

Question 26

Was ist der unterschied zwischen der unbestimmten Integrale und der Riemannsummen bzw. Bestimmten Integralen?

Answer 26

Weniger Aufwand. Beliebig ausdehnbar einfache handhabung.

Question 27

Wie findet man den Wert von C?

Answer 27

Indem man die Stammfunktion Null setzt, s für x einsetzt und nach C auflöst.

Question 28

Wie lautet die abgekürzte Version des Hauptsatzes der Differenzial und Integralrechnung?

Answer 28

Sei F(x) die Stammfunktion dann gilt: a ∫ b f(x)dx = F(b) - F(a)

Question 29

Was verfolgt man bei der Nutzung des abgekürzten Hauptsatzes ?

Answer 29

So berechnen wir die Fläche eines bestimmten Integrals und haben die Kontrolle darüber welcher Bereich subtrahiert wird.

Question 30

Wie nutzt man die kurze Version des Hauptsatzes?

Answer 30

Die Stammfunktion von f(x) bestimmen, setze die Werte für s und x in die Stammfunktion, Subtrahiert F(x) - F(s).

Question 31

Wieso berechnen wir bei der Nutzung der abgekürzten Differential und Integralsatzes die Konstante C nicht?

Answer 31

Weil die Konstante C von sich selbst subtrahiert wird.

Question 32

Was ist die Ableitung von eˣ ?

Answer 32

eˣ

Question 33

Wann ist das Flächeninhalt Null?

Answer 33

wenn wir die Fläche zwischen a und b berechnen müssen. a ∫ b f(x) dx = 0

Question 34

Was gilt wenn wir die Fläche von Rechts nach Links statt Links nach Rechts messen?

Answer 34

Das Vorzeichen Wechselt sich. a ∫ b f(x) dx = - b ∫ a f(x) dx

Question 35

Wie lautet die Definition für die abschnittsweise Berechnung von Flächen ?

Answer 35

a ∫ b f(x) dx = a ∫ c f(x) dx + c ∫ b f(x) dx

Question 36

Wie laute die Regel für die Konstante K für bestimmte Integrale?

Answer 36

Die Konstante K, kann durch die Rechnung gezogen werden. a ∫ b kf(x)dx = k a ∫ b f(x)dx