Kapitel-13-Teil-1-Integration Flashcards
Was ist Integralrechnung?
Ein Teilgebiet der Analysis, das sich mit der Berechnung von Flächeninhalten, Volumen und anderen Größen beschäftigt, die sich durch Summation infinitesimaler Beiträge ergeben.
Was ist die Fibonacci-Folge?
Eine Zahlenfolge, bei der jede Zahl die Summe der beiden vorhergehenden Zahlen ist, beginnend mit 0 und 1. Also: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, …
Was ist der Unterschied zwischen Integral- und Differentialrechnung?
Differentialrechnung beschäftigt sich mit der Berechnung von Änderungsraten, also der Steigung von Funktionen, während Integralrechnung Flächen unter Kurven und andere akkumulierte Größen berechnet.
Was ist die Summe der ersten n natürlichen Zahlen?
Die Summe der ersten n natürlichen Zahlen ist n(n+1)/2.
Was bedeutet ‘abschreiben’ in der Wirtschaft?
In der Wirtschaft bezeichnet Abschreiben die buchhalterische Erfassung der Wertminderung von Anlagegütern über die Zeit.
Was ist Integration in der Mathematik?
Der Prozess der Berechnung der Fläche unter einer Kurve, der durch das Aufsummieren unendlich vieler infinitesimal kleiner Flächenstücke erfolgt.
Was schlussfolgert man aus der These, dass Eifersucht eine emotionale Schwäche sein kann?
-Minderwertigkeitsgefühl
-Unsicherheiten
-Bedürfnis nach Bestätigung
-Vertrauensprobleme
Was ist Trägheit in der Physik?
Die Eigenschaft von Körpern, ihren Bewegungszustand (Ruhe oder gleichförmige Bewegung) beizubehalten, bis eine äußere Kraft auf sie einwirkt.
Was ist der Sinn an Integration?
Damit kann man unbestimmbare Flächen und Volumen bestimmen.
Was bedeutet Trägheit?
Ein Gefühl des Mangels an Energie oder Motivation, etwas zu tun.
Was ist das Symbol für das Integral?
Das Integralzeichen ∫.
Was bedeutet Ehrfurcht?
Ein tiefes Gefühl von Respekt, Bewunderung und manchmal Angst, das durch etwas Großartiges oder Überwältigendes hervorgerufen wird.
Wie erklärt Integration das Verhältnis zwischen y und x?
Integration untersucht, wie die y-Werte akkumulieren, wenn sich x verändert, und bildet so die Gesamtänderung entlang der Kurve.
Was bedeutet Überheblichkeit?
Eine übertriebene Selbstsicherheit und Arroganz, die oft dazu führt, andere herabzusetzen.
Was bedeutet die Ausdrucksweise ‘t = 0 ∫ t = 20’?
Dass das Integral der Funktion über das Intervall von t = 0 bis t = 20 berechnet wird.
Was bedeutet ‘obtained’?
Erhalten’ oder ‘bekommen’.
Was bedeutet der Ausdruck ‘a ∫ b f(x) dx’?
Dass das Integral der Funktion f(x) vom Punkt a bis zum Punkt b berechnet wird.
Was bedeutet ‘approximation’?
Eine Näherung oder Annäherung, oft verwendet in der Mathematik, um komplexe Berechnungen zu vereinfachen.
Was passiert, wenn man sich ein kleines Teil unter einer Kurve als ein kleines Rechteck vorstellt?
Dann stellt f(x) die Höhe und dx die Breite dieses Rechtecks dar.
Wie kann man die Höhe und Breite eines Rechtecks unter einer Kurve darstellen?
f(x) ist die Höhe
x ist di Breite
Wie werden die Flächeninhalte oberhalb und unterhalb der X-Achse gezählt?
Flächen oberhalb der X-Achse werden positiv und Flächen unterhalb der X-Achse negativ gezählt.
Was ist eine Nettofläche?
Die algebraische Summe der Flächen oberhalb und unterhalb der X-Achse, wobei negative Flächen von den positiven subtrahiert werden.
Was ist das orientierte Flächeninhalt?
Die Nettofläche.
Was versteht unter eine Näherungsmethode?
Eine Methode zur Berechnung der annähernden Fläche unter einer Kurve.
Wieso nutzt man die Näherungsmethode?
Da es eine gute Basis zur Berechnung der Fläche liefert und die exakte Berechnung vieler Flächen unter einer Kurve nicht möglich ist.
Was bedeutet der Term “linke Summen” beim berechnen der Flächeninhalt?
Darunter versteht man, Rechtecke dessen linker Ecke auf der Kurve liegen.
Wie lautet die Formel zur Berechnung der Summe linker Rechtecke?
n = Anzahl der Rechtecke
b - a = Die Länge des zu bemessenden Bereichs. Lₙ = b - a / n [ f(x₀) + f(x₁) + f(x₂) + … + f(xₙ-₁) ]
Was ist das besondere an der Formel zur Berechnung der Summe linker Rechtecke?
Dass die Funktionswerte nur bis zum vorletzten Rechteck berechnet werden. also f(x - 1)
Wie bestimmt man die Höhen der Ecken die man bei den Linken bzw. rechten Summen berechnen möchte?
Indem man die Position der Bereiten einsetzt.
Bsp.: Breite eines Rechtecks als 0.5
0, 0.5, 1, 1.5, 2, 2.5 usw.
Was bedeutet der Term “ rechte Summen “ beim Berechnen der Flächeninhalte unter einer Kurve?
Es bedeutet dass beim Berechnen der Rechtecke die obere rechte Ecke als Definitionspunkt der Breite und Höhe betrachtet wird.
Woran erinnert die Bemessung der Flächeninhalte mit Hilfe von linker und rechter Summen und was ist der signifikante Unterschied?
Die Nutzung dieser Methoden erinnert an die Berechnung der Grenzwerte.
Bei der Berechnung linker Summen nähert man sich dem Flächeninhalt von unten und bei rechter Summen von Oben.
Linker Summen = unterschätzen
Rechter Summen = überschätzen
Wie laute die Formel für rechte Rechtecke?
Rₙ = b - a / n [ f(x₁) + f(x₂) + f(x₃) + … + f(xₙ) ]
Was bedeutet der Term Mittelpunktsummen bei der Berechnung von Flächeninhalten unterhalb einer Kurve?
Es bedeutet, dass die Höhe der Dreiecke welche unter der Kurve gezeichnet werden, durch den Schnittpunkt der Mitte der Breite des Rechtecks und die Kurve selbst definiert sind.
Was ist der Vorteil der Berechnung der Flächeninhalte unterhalb einer Kurve mittels Mittlepunktsummen?
Man erzielt eine bessere Annäherung.
Wie lautet die Formel der Mittelpunktrechtecke?
Mₙ = b - a / n [ f( x₀ + x₁ / 2) + f( x₁ + x₂ / 2) + f( x₂ + x₃ / 2) + … + f( xₙ-₁ + xₙ / 2)
Wie nennt man die drei Summen : linke, rechte und Mittelpunkt noch?
Als die Riemann-Summen.
Deutscher Mathematiker
Was ist Sigma?
Σ = Sigma ist der 18te Buchstabe im Griechischem Alphabet und ist ein Symbol für die Notation.
Stelle die Summe der ersten 10 vielfachen von 6 in der Summennotation dar.
i = 1 Σ 10 → 6i
Wie sieht die Formel der rechten Summen zur Berechnung der Flächeninhalte unter einer Kurve, geschrieben in der Sigma Notation aus?
Rₙ = i = 1 Σ n [f(xᵢ) * (b - a / n)]
Wie kann ich die Sigma-Notation für die Bestimmung einer beliebigen Anzahl rechter Dreiecke unter einer Strecke von 0 bis 3 für die Funktion f(x) = x² + 1 bestimmen?
1- Ausdruck für die Breite bestimmen.
3 - 0 / n = 3 / n
2- Ausdruck für die rechten Ecken erzeugen.
f(x₀) usw.. → (3 / n x i )
3- einsetzen.
Rₙ = i = 1 Σ n [ f(3/n x i) + 3 / n ]
Wie lautet die Formel für die Summe der ersten n Quadratzahlen? 1² + 2² + 3² …
(n( n + 1 ) ( 2n + 1 )) / 6
Wie kann ich die Formeln der Riemann-Summen anwenden um das Ergebnis für ein Intervall zu berechnen, ohne die Formel für jede Zahl wiederholt aufzuschreiben?
Indem man eine Formel für den Intervall und dem Zahlenbereich aufschreibt und sie mit der angepasste Summenformel kombiniert.
Was ist das Ergebnis für Σₙ 5 ?
5n
