Kapitel-13-Teil-1-Integration

Question 1

Was ist Integralrechnung?

Answer 1

Ein Teilgebiet der Analysis, das sich mit der Berechnung von Flächeninhalten, Volumen und anderen Größen beschäftigt, die sich durch Summation infinitesimaler Beiträge ergeben.

Question 2

Was ist die Fibonacci-Folge?

Answer 2

Eine Zahlenfolge, bei der jede Zahl die Summe der beiden vorhergehenden Zahlen ist, beginnend mit 0 und 1. Also: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, …

Question 3

Was ist der Unterschied zwischen Integral- und Differentialrechnung?

Answer 3

Differentialrechnung beschäftigt sich mit der Berechnung von Änderungsraten, also der Steigung von Funktionen, während Integralrechnung Flächen unter Kurven und andere akkumulierte Größen berechnet.

Question 4

Was ist die Summe der ersten n natürlichen Zahlen?

Answer 4

Die Summe der ersten n natürlichen Zahlen ist n(n+1)/2.

Question 5

Was bedeutet ‘abschreiben’ in der Wirtschaft?

Answer 5

In der Wirtschaft bezeichnet Abschreiben die buchhalterische Erfassung der Wertminderung von Anlagegütern über die Zeit.

Question 6

Was ist Integration in der Mathematik?

Answer 6

Der Prozess der Berechnung der Fläche unter einer Kurve, der durch das Aufsummieren unendlich vieler infinitesimal kleiner Flächenstücke erfolgt.

Question 7

Was schlussfolgert man aus der These, dass Eifersucht eine emotionale Schwäche sein kann?

Answer 7

-Minderwertigkeitsgefühl
-Unsicherheiten
-Bedürfnis nach Bestätigung
-Vertrauensprobleme

Question 8

Was ist Trägheit in der Physik?

Answer 8

Die Eigenschaft von Körpern, ihren Bewegungszustand (Ruhe oder gleichförmige Bewegung) beizubehalten, bis eine äußere Kraft auf sie einwirkt.

Question 9

Was ist der Sinn an Integration?

Answer 9

Damit kann man unbestimmbare Flächen und Volumen bestimmen.

Question 10

Was bedeutet Trägheit?

Answer 10

Ein Gefühl des Mangels an Energie oder Motivation, etwas zu tun.

Question 11

Was ist das Symbol für das Integral?

Answer 11

Das Integralzeichen ∫.

Question 12

Was bedeutet Ehrfurcht?

Answer 12

Ein tiefes Gefühl von Respekt, Bewunderung und manchmal Angst, das durch etwas Großartiges oder Überwältigendes hervorgerufen wird.

Question 13

Wie erklärt Integration das Verhältnis zwischen y und x?

Answer 13

Integration untersucht, wie die y-Werte akkumulieren, wenn sich x verändert, und bildet so die Gesamtänderung entlang der Kurve.

Question 14

Was bedeutet Überheblichkeit?

Answer 14

Eine übertriebene Selbstsicherheit und Arroganz, die oft dazu führt, andere herabzusetzen.

Question 15

Was bedeutet die Ausdrucksweise ‘t = 0 ∫ t = 20’?

Answer 15

Dass das Integral der Funktion über das Intervall von t = 0 bis t = 20 berechnet wird.

Question 16

Was bedeutet ‘obtained’?

Answer 16

Erhalten’ oder ‘bekommen’.

Question 17

Was bedeutet der Ausdruck ‘a ∫ b f(x) dx’?

Answer 17

Dass das Integral der Funktion f(x) vom Punkt a bis zum Punkt b berechnet wird.

Question 18

Was bedeutet ‘approximation’?

Answer 18

Eine Näherung oder Annäherung, oft verwendet in der Mathematik, um komplexe Berechnungen zu vereinfachen.

Question 19

Was passiert, wenn man sich ein kleines Teil unter einer Kurve als ein kleines Rechteck vorstellt?

Answer 19

Dann stellt f(x) die Höhe und dx die Breite dieses Rechtecks dar.

Question 20

Wie kann man die Höhe und Breite eines Rechtecks unter einer Kurve darstellen?

Answer 20

f(x) ist die Höhe
x ist di Breite

Question 21

Wie werden die Flächeninhalte oberhalb und unterhalb der X-Achse gezählt?

Answer 21

Flächen oberhalb der X-Achse werden positiv und Flächen unterhalb der X-Achse negativ gezählt.

Question 22

Was ist eine Nettofläche?

Answer 22

Die algebraische Summe der Flächen oberhalb und unterhalb der X-Achse, wobei negative Flächen von den positiven subtrahiert werden.

Question 23

Was ist das orientierte Flächeninhalt?

Answer 23

Die Nettofläche.

Question 24

Was versteht unter eine Näherungsmethode?

Answer 24

Eine Methode zur Berechnung der annähernden Fläche unter einer Kurve.

Question 25

Wieso nutzt man die Näherungsmethode?

Answer 25

Da es eine gute Basis zur Berechnung der Fläche liefert und die exakte Berechnung vieler Flächen unter einer Kurve nicht möglich ist.

Question 26

Was bedeutet der Term “linke Summen” beim berechnen der Flächeninhalt?

Answer 26

Darunter versteht man, Rechtecke dessen linker Ecke auf der Kurve liegen.

Question 27

Wie lautet die Formel zur Berechnung der Summe linker Rechtecke?

Answer 27

n = Anzahl der Rechtecke
b - a = Die Länge des zu bemessenden Bereichs. Lₙ = b - a / n [ f(x₀) + f(x₁) + f(x₂) + … + f(xₙ-₁) ]

Question 28

Was ist das besondere an der Formel zur Berechnung der Summe linker Rechtecke?

Answer 28

Dass die Funktionswerte nur bis zum vorletzten Rechteck berechnet werden. also f(x - 1)

Question 29

Wie bestimmt man die Höhen der Ecken die man bei den Linken bzw. rechten Summen berechnen möchte?

Answer 29

Indem man die Position der Bereiten einsetzt.
Bsp.: Breite eines Rechtecks als 0.5
0, 0.5, 1, 1.5, 2, 2.5 usw.

Question 30

Was bedeutet der Term “ rechte Summen “ beim Berechnen der Flächeninhalte unter einer Kurve?

Answer 30

Es bedeutet dass beim Berechnen der Rechtecke die obere rechte Ecke als Definitionspunkt der Breite und Höhe betrachtet wird.

Question 31

Woran erinnert die Bemessung der Flächeninhalte mit Hilfe von linker und rechter Summen und was ist der signifikante Unterschied?

Answer 31

Die Nutzung dieser Methoden erinnert an die Berechnung der Grenzwerte.
Bei der Berechnung linker Summen nähert man sich dem Flächeninhalt von unten und bei rechter Summen von Oben.
Linker Summen = unterschätzen
Rechter Summen = überschätzen

Question 32

Wie laute die Formel für rechte Rechtecke?

Answer 32

Rₙ = b - a / n [ f(x₁) + f(x₂) + f(x₃) + … + f(xₙ) ]

Question 33

Was bedeutet der Term Mittelpunktsummen bei der Berechnung von Flächeninhalten unterhalb einer Kurve?

Answer 33

Es bedeutet, dass die Höhe der Dreiecke welche unter der Kurve gezeichnet werden, durch den Schnittpunkt der Mitte der Breite des Rechtecks und die Kurve selbst definiert sind.

Question 34

Was ist der Vorteil der Berechnung der Flächeninhalte unterhalb einer Kurve mittels Mittlepunktsummen?

Answer 34

Man erzielt eine bessere Annäherung.

Question 35

Wie lautet die Formel der Mittelpunktrechtecke?

Answer 35

Mₙ = b - a / n [ f( x₀ + x₁ / 2) + f( x₁ + x₂ / 2) + f( x₂ + x₃ / 2) + … + f( xₙ-₁ + xₙ / 2)

Question 36

Wie nennt man die drei Summen : linke, rechte und Mittelpunkt noch?

Answer 36

Als die Riemann-Summen.
Deutscher Mathematiker

Question 37

Was ist Sigma?

Answer 37

Σ = Sigma ist der 18te Buchstabe im Griechischem Alphabet und ist ein Symbol für die Notation.

Question 38

Stelle die Summe der ersten 10 vielfachen von 6 in der Summennotation dar.

Answer 38

i = 1 Σ 10 → 6i

Question 39

Wie sieht die Formel der rechten Summen zur Berechnung der Flächeninhalte unter einer Kurve, geschrieben in der Sigma Notation aus?

Answer 39

Rₙ = i = 1 Σ n [f(xᵢ) * (b - a / n)]

Question 40

Wie kann ich die Sigma-Notation für die Bestimmung einer beliebigen Anzahl rechter Dreiecke unter einer Strecke von 0 bis 3 für die Funktion f(x) = x² + 1 bestimmen?

Answer 40

1- Ausdruck für die Breite bestimmen.
3 - 0 / n = 3 / n
2- Ausdruck für die rechten Ecken erzeugen.
f(x₀) usw.. → (3 / n x i )
3- einsetzen.
Rₙ = i = 1 Σ n [ f(3/n x i) + 3 / n ]

Question 41

Wie lautet die Formel für die Summe der ersten n Quadratzahlen? 1² + 2² + 3² …

Answer 41

(n( n + 1 ) ( 2n + 1 )) / 6

Question 42

Wie kann ich die Formeln der Riemann-Summen anwenden um das Ergebnis für ein Intervall zu berechnen, ohne die Formel für jede Zahl wiederholt aufzuschreiben?

Answer 42

Indem man eine Formel für den Intervall und dem Zahlenbereich aufschreibt und sie mit der angepasste Summenformel kombiniert.

Question 43

Was ist das Ergebnis für Σₙ 5 ?

Answer 43

5n