Kapitel 12 - Differenziation Optimieren / Anwendungen Flashcards
Welche Eigenschaften der Kurven kann man mit Hilfe der Analysis zur Bewältigung von alltäglichen Aufgaben nutzen?
Die Extremstellen.
Wie lautet die Formel für das Volumen eines Kegels?
V = 1/3 x π x r² x h
Wie ist die allgemeine Vorgehensweise zur Lösung alltäglicher Probleme mit Analysis?
1- Aufgabe analysieren
2- Das was man bestimmen möchte als Funktion der Unbekannten angeben.
3- Variablen aus der Aufgabenstellung zu einander in Verbindung bringen. ( Einsetzen )
4-Nach eine Unbekannte aus 2 lösen
5-In die Funktion aus 2 einsetzen
6-Extremstellen berechnen
Formel für das Volumen eines Kugels?
4 / 3 x π x r³
Wie analysiert man die Aufgabe?
Durch Skizzieren und das Aufschreiben der bekannten und Bekannten.
Formel für das Flächeninhalt eines Trapezs?
1/2 x ( a + b ) x h a und b sind die parallelen Seiten.
Wie zeigt sich ein fallendes Wendepunkt in seiner Ableitung?
Als ein Tiefpunkt Eine nach oben geöffnete Parabel/Kurve.
Wie zeigt sich ein steigendes Wendepunkt in seiner Ableitung?
Als ein Hochpunkt Eine nach unten geöffnete Parabel/Kurve.
Was bedeutet Ubiqutät?
überall vorkommend Der Begriff beschreibt die Verteilung von Strukturen überall in einem Organismus oder in allen Lebewesen.
Was ist der unterschied zwischen speed und velocity bzw. Tempo und Geschwindigkeit?
Tempo ist der Betrag der Geschwindigkeit. Geschwindigkeit hingegen hat eine Richtung.
Wie stellt man eine Funktion für das zu maximierende bzw. minimierender Wert auf?
Eine Funktion aufstellen welche den bekannten Informationen aus der Aufgabenstellung vereint.
Wie kann ich den Definitionsbereich bestimmen?
Ein eingeschränktes Intervall festlegen.
Wenn die Vorschrift die Postion von etwas als Funktion der Zeit angibt, wie kann man dann seine Ableitungen interprätieren?
Die erste Ableitung versteht man als die Geschwindigkeit und die zweite Ableitung als Beschleunigung.
Wie kann man Tempo und Geschwindigkeit geometrisch beschreiben?
Tempo ist die Entfernung eines Punktes vom Ursprung. Auch Betrag der Geschwindigkeit genannt.
Wie berechnet man den Flächeninhalt eines GLEICHSEITIGEN Dreiecks?
A = a² x √3 / 4
Was kann man über die Geschwindigkeit, Tempo und Beschleunigung eines Objektes sagen welches langsamer wird, während es sich nach unten bewegt?
-es hat eine steigende Geschwindigkeit -es hat eine positive Beschleunigung -sein Tempo nimmt ab.
Wie ermittelt man die Positionsänderung bzw. Höhendifferenz?
Indem man die Punkte von einander subtrahiert. H(t₂) - H(t₁)
Was sind voneinander abhängige Änderungsraten?
Es sind Ableitungen die einander beeinflussen, wie die Änderungsrate der Befüllung eines Pools welcher vom Durchfluss des Wasserschlauchs abhängig ist.
Wie geht man beim Lösen von Aufgabenstellungen mit von einander abhängigen Änderungsraten vor?
1-Eine Skizze oder Diagramm aus den Informationen der Aufgabenstellung erstellen 2- Alle bekannten und unbekannten Änderungsraten angeben. 3- Formeln aufschreiben, die die Variablen aus der Aufgabenstellung verbinden. 4- Die Formel ableiten 5- Bekannte Werte Einsetzen und lösen.
Was ist vor dem Einsetzen der Unbekannten in die Gleichung, beim Berechnen, von einander abhängigen Änderungsraten, zu tun?
Die Ableitung Bilden.
Was bedeutet Omnipräsent?
allgegenwärtig
Wie berechnet man die Tangenten eines Graphs die durch den selben beliebigen Punkt gehen?
Bsp.: P(1;-1) und f(x) = x²
1-Steigungsformel nutzen - Werte der Parabel und des Punktes einsetzen.
y = x² - (-1) / x - 1
2- Die Ableitung der Parabelgleichung bilden.
3- Die Ableitung gleich der Tangentensteigung setzen.
4- Die gemeinsamen Punkte berechnen.
Was ist eine Normale?
Eine Gerade, welcher durch ein Punkt c verläuft und dabei senkrecht auf die Tangente dieses Punktes steht.
Wie berechnet man die Normalen eines Graphs, welche durch den selben beliebigen Punkt, außerhalb eines Graphs, gehen?
Bsp.: P(1;-1) und f(x) = x²
1-Steigungsformel nutzen - Werte der Parabel und des Punktes einsetzen. y = x² - (-1) / x - 1
2- Die Ableitung der Parabelgleichung bilden.
3- Den Kehrwert der Ableitung bilden.
4- Das Ergebnis gleich der Tangentensteigung setzen.
5- Die gemeinsamen Punkte berechnen.
Was sollte man in der Mathematik immer tun bevor man eine Problemstellung rechnerisch lösen möchte?
Immer anhand vom gesunden Menschenverstand eine Abschätzung treffen. Das kann durch Erfahrung zustande kommen und man kann Skizzen nutzen.
Wie lautet die Gleichung für die Linearisierung bzw. lineare Näherung ?
l(x) = f(x₀) + f’(x₀)(x - x₀)
Ab wann sind zwei Dreiecke Identisch?
Wenn : 1- sie das selbe Seiten Verhältnis haben 2- zwei Seiten ähnlich und ein Winkel gleich ist 3- zwei gleich große Winkeln haben
Wenn ich zwei ähnliche Dreiecke habe, wie setze die Seiten ins Verhältnis zu einander?
Seien die gegebenen Seiten des großen Dreiecks a = 9 und b = 6. Die gesuchten Seiten des kleinen Dreiecks sind a’ und b’. a’/a = b’/b
