Kapitel 16 - Echte Probleme mit integralen Lösen. Flashcards
Was ist der Mittelwertsatz?
Der Mittelwertsatz besagt, dass wenn es einen Punkt a und einen Punkt b gibt und zwischen diesen eine Stetigkeit herrscht, dann existiert auch ein Punkt c, welchen man als einen Grenzwert betrachten kann: y = (f(b) - f(a)) / (b - a).
Wie lautet der Mittelwertsatz der Integralrechnung?
∫ a b f(x) dx = f(c) × (b − a) für mindestens ein c zwischen a und b.
Wie berechnet man die Fläche zwischen zwei Kurven?
- Kurven analysieren, auf Schnittbereiche achten. 2. Kurvengleichungen nach y umformen. 3. Differenz der Kurven berechnen, um den Bereich zu bestimmen. 4. Stammfunktionen bestimmen und Fläche berechnen.
Was ist der Unterschied zwischen geometrischer Fläche und orientierter Fläche?
Die geometrische Fläche ist die gesamte Fläche unter einer Kurve über einen bestimmten Bereich. Die orientierte Fläche ist die Nettofläche, also die Fläche oberhalb minus der Fläche unterhalb der x-Achse.
Wie berechnet man die geometrische Fläche?
- Intervall festlegen, wo die Kurve die x-Achse kreuzt. 2. Funktionen für diese Intervalle berechnen. 3. Integrale der absoluten Werte der Funktionen berechnen und addieren.
Wie berechnet man das Volumen nach der Wurstscheiben-Methode?
- Basis bestimmen. 2. Formel des Volumens bestimmen (abhängig von der Kurve). 3. Einsetzen und Integrale berechnen, zum Beispiel mit der Funktion sin(x).
Wie berechnet man das Volumen eines Ringes nach der Dountring-Methode?
- Kurve e^x betrachten, um die x-Achse rotiert, bildet Kreise, die immer größer werden. 2. Formel für Querschnitte bilden A=πr^2, hier r=e^x. 3. Integrieren von πe^(2x).
Wie berechnet man das Volumen der Flächen zwischen zwei sich schneidenden Kurven (Dichtungsringsmethode)?
- Kurven analysieren. 2. Formel für Querschnittfläche notieren πR^2 - πr^2. 3. In die Kurven-Funktionen einsetzen und das Integral bilden und berechnen.
Was ist eine Matrjoschka?
Russische Puppen, die man auseinanderbauen kann; mehrere Puppen in einem.
Wie berechnet man das Volumen eines Hohlzylinders?
- Kurve analysieren. 2. Formel bestimmen A=Länge×Breite, hier Länge=2πr und Breite=e^x. 3. Integral von 2πxe^x bilden und berechnen.
Wie lautet die Formel zur Berechnung der Länge der Kurve einer Funktion?
∫ a b √(1 + (f’(x))^2) dx, basierend auf dem Satz des Pythagoras angewendet auf infinitesimale Segmentlängen der Kurve.
Was ist die Drehoberfläche oder Rotationsfläche?
Die Mantelfläche eines Rotationskörpers, erzeugt durch Drehung einer Kurve um eine Achse.
Wie lautet die Formel zur Berechnung der Drehmanteloberfläche?
∫ a b 2πf(x)√(1 + (f’(x))^2) dx, wobei f(x) der Radius der gedrehten Kurve ist.
Was darf man beim Berechnen der Integrale auf keinen Fall vergessen?
Die Grenzen richtig umzuformen.
Wie kommt das Phänomen einer unendlich ausgedehnten Figur mit endlich großer Fläche zustande?
Wenn eine Figur mit bestimmter Fläche immer wieder geteilt und verschoben wird.
