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Maths SPE > Variables Aléatoires Discrètes > Flashcards

Variables Aléatoires Discrètes Flashcards

1
Q

Définir une variable aléatoire discrète

A
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Q

Que peut-on dire de l’image réciproque d’une partie de X(Ω) par X une variable aléatoire discrète ?
Justif

A
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3
Q

Qu’est-ce que la probabilité associée à une variable aléatoire discrète ?
Justif

A
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4
Q

Rappeler la définition de (X=x) et (X€A)

A
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Q

Qu’appelle-t-on la «loi de probabilité» d’une variable aléatoire ?

A

C’est PX : l’application qui a toute partie de E associe la probabilité qu’une issue le réalise

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6
Q

Comment détermine-t-on en pratique la loi de X ?
Justif

A
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7
Q

Comment définir la loi d’une variable aléatoire à partir d’une suite spécifique ?

A

(Plus simple à écrire sous la forme (px)x€E)

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8
Q

Qu’appelle-t-on la fonction de répartition d’une variable aléatoire discrète réelle ?

A
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9
Q

Définir l’histogramme d’une variable aléatoire discrète réelle

A
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10
Q

Quelles sont les propriétés d’une fonction de répartition d’une variable aléatoire discrète réelle ?

A
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11
Q

Déterminer la fonction de répartition d’une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur {0, …, n}.

Tracer la fonction de répartition et histogramme pour n=4

A
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12
Q

Déterminer la fonction de répartition d’une variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli de paramètre p.

Tracer la fonction de répartition et l’histogramme pour p=0,7

A
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13
Q

Déterminer la fonction de répartition d’une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres n et p.

Donner l’allure la fonction de répartition et de l’histogramme

A
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14
Q

Définir la loi géométrique

A
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15
Q

Que représente la loi géométrique ?
Justif

A
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16
Q

Déterminer la fonction de répartition d’une variable aléatoire suivant une loi géométrique de paramètre p.

Donner l’allure de la fonction de répartition et histogramme pour p = 0,25

A
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17
Q

Justifier qu’on établisse une équivalence entre loi géométrique et variable aléatoire discrète sans mémoire

A
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18
Q

Définir la loi de Poisson

A
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19
Q

Qu’est-ce que l’approximation d’une loi binomiale par une loi de Poisson ?
Justif

A

Autrement dit, plus p est petit et n grand, plus la loi binomiale de paramètre n et p est proche de la loi de Poisson de paramètre λ = p.n

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20
Q

Déterminer la loi de X

A
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21
Q

Quelle est l’interprétation de la loi de Poisson ?

A

Elle est aussi appelée «loi des événements rares» et décrit la probabilité que k événements se réalisent lorsque la probabilité de réalisation d’un événement est très faible et que le nombre d’essais est très grand.

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22
Q

Définir l’espérance d’une variable aléatoire discrète

A
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23
Q

Comment peut-on exprimer l’espérance dans le cas particulier d’une variable aléatoire discrète à valeurs dans IN ?
Justif

A
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24
Q

Qu’est-ce que la formule de transfert ?

A
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25
Q

Qu’est-ce que la linéarité de l’espérance ?

A
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26
Q

Quelles sont les cinq premières propriétés de l’espérance ?

Justif

A
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27
Q

Qu’est-ce que l’espérance d’une variable aléatoire suivant une loi géométrique de paramètre p ?
Justif

A
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28
Q

Qu’est-ce que l’espérance d’une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre λ ?
Justif

A
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29
Q

Que peut-on dire de l’espérance d’une variable aléatoire prenant un nombre fini de valeurs ?
Justif

A
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30
Q

Que peut-on dire de l’espérance d’une variable aléatoire qui suit une loi :

  • uniforme de paramètre n
  • de Bernoulli de paramètres p
  • binomiale de paramètres p et n

Justif

A
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31
Q

Comment peut-on voir la loi binomiale par rapport à la loi de Bernoulli ?

A
32
Q

Qu’est-ce que l’inégalité de Markov ?
Justif

A

Si on est positif, la probabilité qu’on soit plus grand que l’espérance diminue au minimum en 1/a

On met un a devant car c’est le plus petit des x≥a, pour avoir quelque chose indépendant de x

33
Q

Définir un couple de variables aléatoires discrètes.
Justifier la validité de cette définition

A
34
Q

Définir la loi conjointe et les lois marginales d’un couple de variables aléatoires discrètes

A
35
Q

Comment trouver la loi marginale connaissant la loi conjointe ?

A

On connait les lois marginales si on connait la loi du couple

36
Q

Qu’appelle-t-on lois conditionnelles de deux variables aléatoires ?

A
37
Q

Quel est le lien entre loi conjointe, lois marginales et lois conditionnelles ?
Justif

A

La loi conjointe suffit pour les lois marginales, mais l’inverse est faux : il faut connaître les lois conditionnelles en plus des lois marginales pour connaître la loi conjointe

38
Q

Définir l’indépendance de deux variables aléatoires

A
39
Q

Comment s’étend l’indépendance de deux variables aléatoires ?
Justif

A
40
Q

Quel est le lien entre indépendance de variables aléatoires et espérance ?

A
41
Q

Que peut-on dire de deux fonctions de variables aléatoires indépendantes ?
Justif

A
42
Q

Que peut-on dire de la somme de deux variables indépendantes suivant des lois de Poisson ?
Justif

A

+ indépendante dans les hypothèses

(Z = n)* au lieu de (Z = z) à chaque fois

43
Q

Quel est le lien entre l’espérance de X² et de X ?
Justif

A
44
Q

Définir la variance

A
45
Q

Comment caractériser l’existence de la variance par l’existence d’une espérance ?

A
46
Q

Quelles sont les propriétés de base de la variance ?
Justif

A
47
Q

Définir l’écart type d’une variable aléatoire discrète réelle

A
48
Q

Que peut-on dire de la variance d’une variable aléatoire qui ne prend qu’un nombre fini de valeurs ?
Justif

A
49
Q

Qu’est-ce que la variance d’une variable aléatoire suivant une loi géométrique de paramètre p ?
Justif

A
50
Q

Qu’est-ce que la variance d’une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre λ ?
Justif

A

On utilise k = (k - 1) + 1

51
Q

Définir une variable aléatoire centrée et une variable aléatoire réduite.
Définir la variable aléatoire centrée réduite associée à X.

A
52
Q

Définir la mutuelle indépendance d’un nombre infini de variable aléatoire

A

∀(x1, …, xn) € X1(Ω) × … × Xn(Ω)

53
Q

Qu’est-ce que l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev ?
Justif

A
54
Q

Qu’est-ce que l’inégalité de Cauchy-Schwarz dans le cas des variables aléatoires ?
Justif

A
55
Q

Qu’appelle-t-on covariance de deux variables aléatoires admettant une variance ?
Comment la détermine-t-on en pratique ?
Justif

A

Y - IE[Y]*

56
Q

Que peut-on dire de la covariance d’un couple de variables aléatoires indépendantes ?
Justif

A

Elles sont indépendantes, donc ne varient pas ensemble

57
Q

Définir le coefficient de corrélation d’un couple de variables aléatoires. Que peut-on en dire ?
Justif

A
58
Q

Exprimer la variance d’une somme finie de variables aléatoires discrètes réelles indépendantes.
Justif

A

Pour la démonstration : partir de l’expression de la variance IE[X²] - IE[X]², avec X = X1 + X2, tout développer.

59
Q

Rappeler puis redémontrer les variances des lois :

  • uniforme
  • de Bernoulli
  • binomiale
A
60
Q

Qu’est-ce que la loi faible des grands nombres ?
Justif

A
61
Q

Définir la fonction génératrice d’une variable aléatoire à valeurs dans IN

A
62
Q

Dans quel cas peut-on exprimer la fonction génératrice comme une espérance ?

A
63
Q

Quel est le rayon de convergence d’une fonction génératrice et quelles sont les propriétés associées ?
Justif

A
64
Q

Que peut-on dire de la fonction génératrice la la variable aléatoire ne prend qu’un nombre fini de valeurs ?

A

Elle devient un simple polynôme

65
Q

Qu’est-ce que la fonction génératrice d’une variable aléatoire suivant les lois :

  • uniforme
  • de Bernoulli
  • binomiale

Justif

A
66
Q

Comment déterminer la loi d’une variable aléatoire connaissant sa fonction génératrice ?
Justif

A
67
Q

Quelle est la fonction génératrice d’une variable aléatoire suivant une loi géométrique ?
Sur quel ensemble est-elle définie ?
Justif

A
68
Q

Quelle est la fonction génératrice d’une variable aléatoire suivant une loi de Poisson ?
Sur quel ensemble est-elle définie ?
Justif

A
69
Q

Comment lier l’espérance d’une variable aléatoire à sa fonction génératrice ?
Justif

A
70
Q

Comment lier la variance d’une variable aléatoire à sa fonction génératrice ?
Justif

A
71
Q

Quel est le lien entre fonction génératrice et indépendance ?

A
72
Q

Rassembler en un tableau les notation, loi, espérance, variance, fonction génératrice et domaine de définition de la fonction génératrice des loi usuelles.

A
73
Q

Donner les fonctions génératrices et leurs ensembles de définition des lois :

  • uniforme
  • de Bernoulli
  • binomiale
A
74
Q

Pour trouver la loi ou l’espérance d’une variable aléatoire définie par un min ou un max, comment faire ?

A
  • Regarder la proba d’être supérieur (ou inférieur) et écrire P(X=k) comme une différence
  • Pour l’espérance, on peut utiliser son expression comme une somme de proba supérieures
75
Q

Qu’est-ce que le lemme des coalitions ?

A

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