Variables Aléatoires Discrètes Flashcards
Définir une variable aléatoire discrète
Que peut-on dire de l’image réciproque d’une partie de X(Ω) par X une variable aléatoire discrète ?
Justif
Qu’est-ce que la probabilité associée à une variable aléatoire discrète ?
Justif
Rappeler la définition de (X=x) et (X€A)
Qu’appelle-t-on la «loi de probabilité» d’une variable aléatoire ?
C’est PX : l’application qui a toute partie de E associe la probabilité qu’une issue le réalise
Comment détermine-t-on en pratique la loi de X ?
Justif
Comment définir la loi d’une variable aléatoire à partir d’une suite spécifique ?
(Plus simple à écrire sous la forme (px)x€E)
Qu’appelle-t-on la fonction de répartition d’une variable aléatoire discrète réelle ?
Quelles sont les propriétés d’une fonction de répartition d’une variable aléatoire discrète réelle ?
Justif
On passe par une sous-suite car on veut dire que la limite entre +∞ c’est P(X≤+∞) = P(X€IR) = 1, cad faire «rentrer» la limite x → +∞ de P(X≤x) dans la proba. Pour cela on utilise toujours les théorèmes de continuité croissante/décroissante, mais on ne peut les utiliser que sur un ensemble dénombrable d’événements et puisque IR est indénombrable, l’ensemble des (X≤x), x€IR l’est aussi. On passe donc par une suite.
Définir la loi géométrique
Que représente la loi géométrique ?
Justif
Justifier qu’on établisse une équivalence entre loi géométrique et variable aléatoire discrète sans mémoire
Définir la loi de Poisson
Qu’est-ce que l’approximation d’une loi binomiale par une loi de Poisson ?
Justif
Autrement dit, plus p est petit et n grand, plus la loi binomiale de paramètre n et p est proche de la loi de Poisson de paramètre λ = p.n
Déterminer la loi de X
Quelle est l’interprétation de la loi de Poisson ?
Elle est aussi appelée «loi des événements rares» et décrit la probabilité que k événements se réalisent lorsque la probabilité de réalisation d’un événement est très faible et que le nombre d’essais est très grand.
Définir l’espérance d’une variable aléatoire discrète réelle
Comment peut-on exprimer l’espérance dans le cas particulier d’une variable aléatoire discrète à valeurs dans IN ?
Justif
- exprimer P(X = k) avec les (X ≥ k)
- faire une transformation d’Abel
Qu’est-ce que la formule de transfert ?
Qu’est-ce que la linéarité de l’espérance ?
Quelles sont les cinq premières propriétés de l’espérance ?
Justif
Qu’est-ce que l’espérance d’une variable aléatoire suivant une loi géométrique de paramètre p ?
Justif
Qu’est-ce que l’espérance d’une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre λ ?
Justif
Que peut-on dire de l’espérance d’une variable aléatoire prenant un nombre fini de valeurs ?
Justif
Que peut-on dire de l’espérance d’une variable aléatoire qui suit une loi :
- uniforme de paramètre n
- de Bernoulli de paramètres p
- binomiale de paramètres p et n
Justif
Comment peut-on voir la loi binomiale par rapport à la loi de Bernoulli ?
Qu’est-ce que l’inégalité de Markov ?
Justif
Si on est positif, la probabilité qu’on soit plus grand que l’espérance diminue au minimum en 1/a
On met un a devant car c’est le plus petit des x≥a, pour avoir quelque chose indépendant de x
Définir un couple de variables aléatoires discrètes.
Justifier la validité de cette définition
Définir la loi conjointe et les lois marginales d’un couple de variables aléatoires discrètes
Comment trouver la loi marginale connaissant la loi conjointe ?
On connait les lois marginales si on connait la loi du couple
Qu’appelle-t-on lois conditionnelles de deux variables aléatoires ?
Quel est le lien entre loi conjointe, lois marginales et lois conditionnelles ?
Justif
La loi conjointe suffit pour les lois marginales, mais l’inverse est faux : il faut connaître les lois conditionnelles en plus des lois marginales pour connaître la loi conjointe
Définir l’indépendance de deux variables aléatoires
Comment s’étend l’indépendance de deux variables aléatoires ?
Justif
Quel est le lien entre indépendance de variables aléatoires et espérance ?
Que peut-on dire de deux fonctions de variables aléatoires indépendantes ?
Justif
(Cas particulier du lemme des coalitions)
Que peut-on dire de la somme de deux variables indépendantes suivant des lois de Poisson ?
Justif
+ indépendantes* dans les hypothèses
(Z = n)* au lieu de (Z = z) à chaque fois
Plus simple de le montrer par les fonctions génératrices
Quel est le lien entre l’espérance de X² et de X ?
Justif
Donner les deux formes par lesquelles on défini la variance
Comment caractériser l’existence de la variance par l’existence d’une espérance ?
Quelles sont les propriétés de base de la variance ?
Justif
Définir l’écart-type d’une variable aléatoire discrète réelle
Que peut-on dire de la variance d’une variable aléatoire qui ne prend qu’un nombre fini de valeurs ?
Justif
Qu’est-ce que la variance d’une variable aléatoire suivant une loi géométrique de paramètre p ?
Justif
Qu’est-ce que la variance d’une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre λ ?
Justif
On utilise k = (k - 1) + 1
Définir une variable aléatoire centrée et une variable aléatoire réduite.
Définir la variable aléatoire centrée réduite associée à X.
Définir l’indépendance de plus de deux variables aléatoires
∀(x1, …, xn) € X1(Ω) × … × Xn(Ω)
Qu’est-ce que l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev ?
Justif
C’est juste Markov appliqué à (X - IE[X])²
Qu’est-ce que l’inégalité de Cauchy-Schwarz dans le cas des variables aléatoires ?
Justif
Il fait n’importe quoi : il faut juste :
- soit λ€IR
- développer (X + λ.Y)²
- appliquer l’espérance et utiliser la linéarité
- on a un polynôme en λ, positif ou nul car l’espérance d’une vad positive est positive
- Δ = … est donc négatif
- on conclut en utilisant la croissance de la racine sur IR+
Qu’appelle-t-on covariance de deux variables aléatoires admettant une variance ?
Comment la détermine-t-on en pratique ?
Justif
Y - IE[Y]*
Que peut-on dire de la covariance d’un couple de variables aléatoires indépendantes ?
Justif
Elles sont indépendantes, donc ne varient pas ensemble
Définir le coefficient de corrélation d’un couple de variables aléatoires. Que peut-on en dire ?
Justif
Exprimer la variance d’une somme finie de variables aléatoires discrètes réelles indépendantes.
Justif
Pour la démonstration : partir de l’expression de la variance IE[X²] - IE[X]², avec X = X1 + X2, tout développer.
Rappeler puis redémontrer les variances des lois :
- uniforme
- de Bernoulli
- binomiale
Qu’est-ce que la loi faible des grands nombres ?
Justif
(+ réelles)
ε²* à la dernière ligne
Définir la fonction génératrice d’une variable aléatoire à valeurs dans IN
Comment exprimer la fonction génératrice comme une espérance ?
Que peut-on dire du rayon de convergence d’une fonction génératrice et quelles sont les propriétés associées ?
Justif
Que peut-on dire de la fonction génératrice d’une variable aléatoire qui ne prend qu’un nombre fini de valeurs ?
Elle devient un simple polynôme
Qu’est-ce que la fonction génératrice d’une variable aléatoire suivant les lois :
- uniforme
- de Bernoulli
- binomiale
Justif
(1-p)* en bas
Comment déterminer la loi d’une variable aléatoire connaissant sa fonction génératrice ?
Justif
Quelle est la fonction génératrice d’une variable aléatoire suivant une loi géométrique ?
Sur quel ensemble est-elle définie ?
Justif
Quelle est la fonction génératrice d’une variable aléatoire suivant une loi de Poisson ?
Sur quel ensemble est-elle définie ?
Justif
Comment lier l’espérance d’une variable aléatoire à sa fonction génératrice ?
Justif
Comment lier la variance d’une variable aléatoire à sa fonction génératrice ?
Comment le retrouver ?
Quel est le lien entre fonction génératrice et indépendance ?
Justif
Rassembler en un tableau les notation, loi, espérance, variance, fonction génératrice et domaine de définition de la fonction génératrice des loi usuelles.
Donner les fonctions génératrices et leurs ensembles de définition des lois :
- uniforme
- de Bernoulli
- binomiale
Pour trouver la loi ou l’espérance d’une variable aléatoire définie par un min ou un max, comment faire ?
- Regarder la proba d’être supérieur (ou inférieur) et écrire P(X=k) comme une différence
- Pour l’espérance, on peut utiliser son expression comme une somme de proba supérieures
Qu’est-ce que le lemme des coalitions ?
Justif
En gros, si on a un groupe de variables aléatoires indépendantes, si on prends deux fonctions de ces variables elles sont indépendantes, à la condition qu’elles ne prennent aucune variable commune en entrée
Que donne l’inégalité de Cauchy-Schwarz en variables aléatoires ?
Comment démontrer ?
- on montre d’abord que IE[X.Y] existe
- on fait la démo classique de Cauchy-Schwarz en partant de (X + λ.Y)²
- juste, lorsqu’on arrive au polynôme, on applique l’espérance
Justifier que si X et Y admettent une variance, X.Y admet une espérance
- ∀(a,b) € IR², |a.b| ≤ (a² + b²)/2
- donc, |X.Y| ≤ (X² + Y²)/2
- or, IE[X²] et IE[Y²] existent
- donc IE[X.Y] existe
À quoi faut-il penser si on essayer de majorer la probabilité d’un événement de type (X ≤ …) ou (X ≥ …) ?
Inégalité de Markov ou de Tchebychev
(Même si on n’a pas la valeur absolue, car (X - IE[X] ≥ a) ⊂ (|X - IE[X]|≥ a) et (IE[X] - X ≥ a) ⊂ (|X - IE[X]|≥ a), donc leur probabilité sont elles-mêmes inférieures à celle que l’on majore)
Donner l’expression de la variance d’une somme de variables aléatoires pas forcément indépendantes (pour 2 puis n termes)
Justif
Comment montrer que X + Y est une variable aléatoire discrète, si X et Y le sont ?
(X, Y) est une variable aléatoire discrète, donc f(X, Y) = X + Y aussi
Rappeler ce qu’est l’inégalité de Cauchy-Schwarz
|(u|v)| ≤ ||u|| × ||v||, attention : pour beaucoup de produit scalaire, il y a déjà un module dedans
Comment montrer que |a| ≤ b ?
Montrer que :
- a ≤ b
- -a ≤ b
- Inclusion + croissance proba
- Théorème limite monotone + Caractérisation séquentielle (en ∞)
- Idem en x0
Qu’est-ce que le théorème de la limite monotone sur les fonctions ?
Si f est monotone sur I, ∀x€I,
- f admet une limite à gauche en x
- f admet une limite à droite en x
Comment montrer simplement qu’une somme de variables aléatoires indépendantes suivant des lois de Poisson est une variable aléatoire suivant la loi de Poisson dont le paramètre λ est la somme des paramètres ?
Avec les séries génératrices :
- série génératrice de la somme = produit des séries génératrices car indépendantes
- on écrit la série génératrice d’une loi de Poisson
- finalement :
Définir une chaine de Markov (Hors programme)
C’est une suite d’expérience aléatoire qui :
- ne dépendent que du résultat précédent
- en dépendent toujours de la même manière
Définir la matrice des transitions. Que peut-on dire de sa transposée ?
La matrice contient les informations sur les valeurs que prennent les variables, on s’en fiche du numéro de l’essai, c’est le principe d’une chaine de Markov
Pourquoi peut-on appliquer toutes les propriétés de réduction d’une matrice stochastique à la matrice des transitions ?
Car les polynômes caractéristiques de A et B sont les mêmes, puisque le déterminant d’une matrice vaut celui de sa transposée
Comment montrer qu’une matrice stochastique admet 1 comme valeur propre ?
(1, …, 1) est un vecteur propre de E1 (car ça revient à prendre la somme de la ligne associée sur chaque composante)
Quel est l’intérêt de la matrice des transition pour une chaine de Markov ?
Justif
Elle permet d’exprimer la loi de chaque étape en fonction des conditions initiales
C’est ce qu’on a fait en cours quand on a fait le truc avec la probabilité d’être en ωk à l’instant j
La suite des (Xn) étant une chaîne de Markov, montrer que si (Zn) admet une limite, celle-ci est un vecteur propre de E1
Si on a A la matrice des transitions d’une chaine de Markov, L une matrice ligne telle que L.A = L, que peut-on dire ?
Justif
Avec Zn la suite des matrices qui contiennent les lois des expériences de la chaine de Markov
Quelle est la matrice de transition de cette chaine de Markov ?
Quelle est la matrice des transitions ?
Comment la matrice des transitions d’une chaine de Markov renseigne-t-elle sur la probabilité d’obtenir un résultat à une certaine étape sachant le résultat initial ?
Différent de ce qu’on avait dit avec Z0, on ne le connait pas ici
Qu’appelle-t-on deux événements incompatibles ?
P(AnB) = ∅
Comment représenter la loi conjointe par un tableau ? Quelle information obtient-on visuellement ?
Comment obtenir les lois marginales à partir de la loi conjointe ?
Avec pi,j la probabilité que X = xi et Y = yj, d’après la formule des probabilités totales
Définir deux variables aléatoires indépendantes
Montrer que l’ensemble des variables aléatoires discrètes à valeurs réelles est un sous-espace vectoriel des foncions réelles
Car, avec f la fonction qui à x et y associe la combinaison linéaire est définie de IR² dans IR, donc f(X,Y) est une variable aléatoire réelle.
Qu’est-ce que la propriété de croissance de l’espérance ?
Si X ≤ Y admettent des espérances, IE[X] ≤ IE[Y]
Montrer la linéarité de l’espérance
D’après le théorème de transfert
Qu’appelle-t-on le moment d’ordre 2 ?
Si X et Y sont indépendantes et à valeurs dans IN, exprimer P(X + Y = n)
Comment justifier ?
- on l’écrit comme une union disjointe pour k dans IN des (X=k) n (Y=n-k)
- l’union va en fait jusqu’à n car Y ne peut pas prendre de valeurs négative
- on utilise la σ-additivité
À quoi faut-il penser si on essaye d’exprimer la loi d’une somme de variables aléatoires indépendantes comme une loi usuelle ?
Passer par les fonctions génératrices : celle de la somme en est le produit si les variables aléatoires sont indépendantes
Démontrer le théorème de transfert
Quelles propriétés a la covariance, qui la rendent particulièrement intéressante ?
- positive
- symétrique
- bilinéaire
(C’est au programme)
Il lui manque juste le caractère défini positif, qui est sur l’ensemble des variables centrées.
Elle est donc «presque» un produit scalaire de manière générale, et un produit scalaire sur l’ensemble des variables aléatoires discrètes centrée.
Qu’est-ce que l’identité de Wald ?
Justif
Dès qu’on étudie une somme de variables aléatoires indépendantes il faut penser aux fonctions génératrices
Montrer, en passant par les fonctions génératrices, qu’il est impossible de truquer deux dés à six faces pour que la somme d’un lancer suive une loi uniforme sur [|2,12|]
N’importe quoi, on a bien 0 racine double dans le premier puisqu’on peut factoriser par t².
En revanche, 0 est la seule racine réelle, et elle est double, tandis que dans le deuxième 0 est racine de chacun des facteurs, donc racine double également, mais on a alors deux facteurs de degré 5, impair, qui admettent donc chacun au moins une autre racine dans IR (d’après le TVI), ce qui est absurde.
Quelles sont les hypothèses de l’inégalité de Markov ?
- variable aléatoire discrète réelle
- positive
- admettant une espérance
- a ≥ 0
Comment montre-t-on que l’indépendance de X et de Y se transmet en indépendance de f(X) et g(Y) avec f une fonction définie sur X(Ω) au moins et g une fonction définie sur Y(Ω) au moins ?
On se ramène à l’indépendance de X et Y en disant :
∀(x,y)€f(X)(Ω)×g(Y)(Ω), (f(X) = x) = (X€f-1({x})) et (g(Y) = y) = (Y€g-1({y}))
Pour quel type de variable aléatoires définit-on la fonction génératrice ?
Pour les variables aléatoires à valeur dans IN
Montrer que la covariance est une application bilinéaire
Donc elle est linéaire par rapport à sa première variable, et elle est symétrique donc également linéaire par rapport à sa seconde variable
(C’est au programme)
Dans quelles situations a-t-on besoin du lemme des coalition ?
Si a montré que plusieurs variables aléatoires étaient indépendantes et qu’on veut exploiter l’indépendance de fonctions de ces variables aléatoires. On a juste à vérifier que les fonctions ne prennent aucune variables aléatoires commune en entrée.
Par exemple ici, on a l’indépendance de tous les coefficients aléatoires mais à priori pas de chaque coefficient et du Δij, on ne peut donc pas directement dire que l’espérance du produit est le produit des espérances. En revanche, puisque Δij ne fait intervenir que des coefficients différents de mij (on l’a barré), on peut utiliser le lemme des coalitions et dire que Δij est un vecteur aléatoire indépendant de mij.
Dans quel cas en particulier utilise-t-on la continuité croissante ou la continuité décroissante ?
Lorsqu’on regarde une limite qui n’est pas dénombrable. Il suffit alors de montrer que la limite existe et d’utiliser la caractérisation séquentielle de la limite pour se ramener à des suites, donc à une étude sur IN, dénombrable, où on peut appliquer les théorèmes de continuité croissante et décroissante
Pour une fonction f définie à partir de plusieurs variables aléatoires, on cherche à montrer que c’est une variable aléatoire, comment montrer que f(Ω) est au plus dénombrable ?
Pas besoin de décorréler etc…, ça c’est pour montrer que l’image réciproque est un événement. Là on a juste besoin de l’inclure dans un X(Ω) plus gros en négligeant l’influence des variables “indices”
