Proba Flashcards
Qu’appelle-t-on une tribu ?
Qu’appelle-t-on espace probabilisable ?
On appelle espace probabilisable tout couple (Ω, A), avec Ω l’univers et A une tribu sur Ω
Définir une probabilité et un espace probabilisé
Plus fort que ce qu’on avait l’année dernière car pas fini
Le A est une tribu et les Ai sont des événements
Que peut-on dire de la probabilité de :
- l’ensemble vide
- le complémentaire
- A ⊂ B
- A U B
Justif
Qu’appelle-t-on un événement négligeable ?
Un événement dont la probabilité est nulle
Qu’appelle-t-on un événement presque sûr ?
Un événement de probabilité 1
Qu’appelle-t-on un système complet d’évènements ?
Qu’appelle-t-on un événement ?
Un élément de la tribu
Comment utiliser un système complet d’évènements pour calculer une probabilité ?
Justif
Comment montrer que l’intersection infinie d’une suite d’événements d’une tribu appartient à la tribu ?
- on considère le complémentaire de chaque événement, qui appartient à la tribu par définition
- par définition, l’union infinie de tous les complémentaires appartient aussi à la tribu
- ainsi, le complémentaire de cette union infinie appartient aussi à la tribu par définition, c’est ce qu’on voulait
Qu’appelle-t-on deux événements incompatibles ?
Deux événements dont la probabilité de l’intersection est nulle
Que vaut P(B\A) ?
Si A ⊂ B : P(B) - P(A)
Qu’est-ce que la propriété de continuité croissante ? décroissante ?
Justif
Quel résultat intéressant découle directement du théorème de continuité décroissante ?
(On applique le théorème de continuité décroissante à Bn l’intersection jusqu’à n des Ak, puisque l’intersection jusqu’à n des Bk est égal au plus petit truc qu’on puisse obtenir en intersectant jusqu’à n les Ak, donc l’intersection jusqu’à n des Ak elle-même)
Qu’appelle-t-on une propriété presque vraie partout ?
Définir la probabilité conditionnelle
B en bas et P(B) en bas
Qu’est-ce que la formule des probabilités composées ?
Qu’est-ce que la généralisation de la formule des probabilités composées ?
Qu’est-ce que la formule de Bayes ?
(= P(AnB))
Sous quelle forme utile utilise-t-on aussi la formule de Bayes ?
En combinant la formule de Bayes originelle avec la formule des probabilités totales
Qu’appelle-t-on deux événements indépendants ?
Que peut-on dire du complémentaire de deux événements indépendants ?
Justif
Qu’appelle-t-on une famille d’évènements mutuellement indépendants ?
Qu’est-ce que le premier théorème de continuité croissante ?
Justif
Qu’est-ce que le deuxième théorème de la continuité monotone ?
Justif
Qu’est-ce que le corollaire du premier théorème de la continuité monotone ?
Justif
Qu’est-ce que le corollaire du deuxième théorème de la continuité monotone ?
Comment le montrer
Qu’est-ce que l’inégalité de Boole ?
Justif
Quel est le lien entre l’inégalité de Boole et la négligeabilité ?
Démontrer
- Boole
- continuité décroissante
Quelle est la signification de cette propriété ?
Qu’appelle-t-on distribution de probabilités discrètes sur Ω ? Quel est son intérêt ?
Il faut :
- ∀ω€Ω, pω ≥ 0
- Σpω = 1
Montrer que (pn) définit une unique probabilité
Montrer que (pn) définit une probabilité
Qu’est-ce que la probabilité conditionnelle ?
Justifier que c’est une probabilité
Qu’est-ce que la forme utile de la formule des probabilités composées ?
Pour quoi l’utilise-t-on ?
Qu’est-ce que la formule des probabilités totales
Définir un système quasi-complet d’événements
La différence : l’union n’a pas besoin de faire Ω, juste d’avoir sa probabilité
De quoi a-t-on en réalité besoin pour appliquer la formule des probabilités totales ?
Un système quasi-complet d’événement vérifie la formule des probabilités totales
Définir deux événements indépendants
Qu’appelle-t-on une famille d’événements indépendants ?
indépendants*
Qu’est-ce que la forme utile de la formule de Bayes ?
Justif
Quand l’utilise-t-on ?
On l’utilise pour trouver la probabilité de la cause sachant l’effet
Montrer
À quoi faut-il faire attention avec la formulation «probabilité de A sachant B» ?
L’événement «A sachant B» n’a pas de sens, on désigne en fait c’est la probabilité sachant B de l’événement A
Quelle est la probabilité d’obtenir pour la première fois une boule blanche au n-ième tirage ?
Bn : tirer boule blanche…
Comment montrer que deux événements sont indépendants ?
On calcule la probabilité de A n B et le produit de celle de A et de celle de B
Montrer par récurrence que la probabilité de tirer une boule rouge au n-ième tirage est la même qu’au premier tirage
Cela revient à faire une récurrence avec : pour toute urne contenant initialement r boules rouges et b boules blanches, Pr,b(Rn) = r/(r+b)
Trouver une relation de récurrence sur P(Aj,k), la probabilité d’être en ωk au j-ième instant et la traduire matriciellement
Que représente cette matrice ? Quelle est sa puissance ? Son inverse ?
Si N est une matrice de valeurs propres (a0 — an-1) non nulles, déterminer l’ensemble des valeurs propres de J = N + N-1
On a trouvé n valeurs propres donc il ne peut pas y en avoir plus
À quoi faut-il penser dès qu’on veut calculer la puissance d’une matrice ?
On la diagonalise
À quoi faut-il penser si on nous demande : «justifier que … définit une unique mesure de probabilité du (Ω,P(Ω))» ?
Le théorème qui dit qu’une famille (pω),ω€Ω :
- de réels positifs
- sommable dont la somme vaut 1
Définit une unique mesure de probabilité sur (Ω, P(Ω)) : ∀ω€Ω, P({ω}) = pω
Quel est le schéma à suivre lorsqu’on calcule la probabilité d’un évènement A ?
- on introduit des évènements élémentaires, permettant de décrire l’expérience, expérience aléatoire
- on donne une condition nécessaire, nécessaire et suffisante de réalisation de l’évènement A
- On traduit cette condition de manière ensembliste, selon les évènements élémentaires précédents
- On calcule alors la probabilité de A en partant de l’écriture ensembliste
Qu’utilise-t-on pour établir une relation de récurrence sur des probabilités ?
On utilise la formule des probabilités totales
De quel ensemble part une probabilité ?
De P(Ω), pas de Ω : on regarde la probabilité d’un évènement pas d’une issue, ça ne veut rien dire la probabilité d’une issue
Montrer pourtant qu’il n’existe pas de probabilité P sur (IN*, P(IN*)) telle que P(k.IN*) = 1/k pour tout k€IN.
En admettant que la somme des 1/pk diverge si les pk sont les nombres premiers par ordre croissant, et en utilisant Borel-Cantelli
Qu’est-ce que l’identité d’Euler ?
Démo
