Proba

Question 1

Qu’appelle-t-on une tribu ?

Answer 1

Question 2

Answer 2

Question 3

Qu’appelle-t-on espace probabilisable ?

Answer 3

On appelle espace probabilisable tout couple (Ω, A), avec Ω l’univers et A une tribu sur Ω

Question 4

Définir une probabilité et un espace probabilisé

Answer 4

Plus fort que ce qu’on avait l’année dernière car pas fini

Le A est une tribu et les Ai sont des événements

Question 5

Que peut-on dire de la probabilité de :

• l’ensemble vide
• le complémentaire
• A ⊂ B
• A U B

Justif

Answer 5

Question 6

Qu’appelle-t-on un événement négligeable ?

Answer 6

Un événement dont la probabilité est nulle

Question 7

Qu’appelle-t-on un événement presque sûr ?

Answer 7

Un événement de probabilité 1

Question 8

Qu’appelle-t-on un système complet d’évènements ?

Answer 8

Question 9

Qu’appelle-t-on un événement ?

Answer 9

Un élément de la tribu

Question 10

Comment utiliser un système complet d’évènements pour calculer une probabilité ?
Justif

Answer 10

Question 11

Comment montrer que l’intersection infinie d’une suite d’événements d’une tribu appartient à la tribu ?

Answer 11

• on considère le complémentaire de chaque événement, qui appartient à la tribu par définition
• par définition, l’union infinie de tous les complémentaires appartient aussi à la tribu
• ainsi, le complémentaire de cette union infinie appartient aussi à la tribu par définition, c’est ce qu’on voulait

Question 12

Qu’appelle-t-on deux événements incompatibles ?

Answer 12

Deux événements dont la probabilité de l’intersection est nulle

Question 13

Que vaut P(B\A) ?

Answer 13

Si A ⊂ B : P(B) - P(A)

Question 14

Qu’est-ce que la propriété de continuité croissante ? décroissante ?
Justif

Answer 14

Question 15

Quel résultat intéressant découle directement du théorème de continuité décroissante ?

Answer 15

(On applique le théorème de continuité décroissante à Bn l’intersection jusqu’à n des Ak, puisque l’intersection jusqu’à n des Bk est égal au plus petit truc qu’on puisse obtenir en intersectant jusqu’à n les Ak, donc l’intersection jusqu’à n des Ak elle-même)

Question 16

Qu’appelle-t-on une propriété presque vraie partout ?

Answer 16

Question 17

Définir la probabilité conditionnelle

Answer 17

B en bas et P(B) en bas

Question 18

Qu’est-ce que la formule des probabilités composées ?

Answer 18

Question 19

Qu’est-ce que la généralisation de la formule des probabilités composées ?

Answer 19

Question 20

Qu’est-ce que la formule de Bayes ?

Answer 20

(= P(AnB))

Question 21

Sous quelle forme utile utilise-t-on aussi la formule de Bayes ?

Answer 21

En combinant la formule de Bayes originelle avec la formule des probabilités totales

Question 22

Qu’appelle-t-on deux événements indépendants ?

Answer 22

Question 23

Que peut-on dire du complémentaire de deux événements indépendants ?
Justif

Answer 23

Question 24

Qu’appelle-t-on une famille d’évènements mutuellement indépendants ?

Answer 24

Question 25

Qu’est-ce que le premier théorème de continuité croissante ? Justif

Answer 25

Question 26

Qu’est-ce que le deuxième théorème de la continuité monotone ? Justif

Answer 26

Question 27

Qu’est-ce que le corollaire du premier théorème de la continuité monotone ? Justif

Answer 27

Question 28

Qu’est-ce que le corollaire du deuxième théorème de la continuité monotone ? Comment le montrer

Answer 28

Question 29

Qu’est-ce que l’inégalité de Boole ? Justif

Answer 29

Question 30

Quel est le lien entre l’inégalité de Boole et la négligeabilité ?

Answer 30

Question 31

Démontrer

Answer 31

- Boole - continuité décroissante

Question 32

Quelle est la signification de cette propriété ?

Answer 32

Question 33

Qu’appelle-t-on distribution de probabilités discrètes sur Ω ? Quel est son intérêt ?

Answer 33

Il faut : - ∀ω€Ω, pω ≥ 0 - Σpω = 1

Question 34

Montrer que (pn) définit une unique probabilité

Answer 34

Question 35

Montrer que (pn) définit une probabilité

Answer 35

Question 36

Qu’est-ce que la probabilité conditionnelle ? Justifier que c’est une probabilité

Answer 36

Question 37

Qu’est-ce que la forme utile de la formule des probabilités composées ? Pour quoi l’utilise-t-on ?

Answer 37

Question 38

Qu’est-ce que la formule des probabilités totales

Answer 38

Question 39

Définir un système quasi-complet d’événements

Answer 39

La différence : l’union n’a pas besoin de faire Ω, juste d’avoir sa probabilité

Question 40

De quoi a-t-on en réalité besoin pour appliquer la formule des probabilités totales ?

Answer 40

Un système quasi-complet d’événement vérifie la formule des probabilités totales

Question 41

Définir deux événements indépendants

Answer 41

Question 42

Qu’appelle-t-on une famille d’événements indépendants ?

Answer 42

indépendants*

Question 43

Qu’est-ce que la forme utile de la formule de Bayes ? Justif Quand l’utilise-t-on ?

Answer 43

On l’utilise pour trouver la probabilité de la cause sachant l’effet

Question 44

Montrer

Answer 44

Question 45

À quoi faut-il faire attention avec la formulation « probabilité de A sachant B » ?

Answer 45

L’événement « A sachant B » n’a pas de sens, on désigne en fait c’est la probabilité sachant B de l’événement A

Question 46

Quelle est la probabilité d’obtenir pour la première fois une boule blanche au n-ième tirage ?

Answer 46

Bn : tirer boule blanche…

Question 47

Comment montrer que deux événements sont indépendants ?

Answer 47

On calcule la probabilité de A n B et le produit de celle de A et de celle de B

Question 48

Montrer par récurrence que la probabilité de tirer une boule rouge au n-ième tirage est la même qu’au premier tirage

Answer 48

Cela revient à faire une récurrence avec : pour toute urne contenant initialement r boules rouges et b boules blanches, P_r,b(Rn) = r/(r+b)

Question 49

Trouver une relation de récurrence sur P(A_j,k), la probabilité d’être en ω^k au j-ième instant et la traduire matriciellement

Answer 49

Question 50

Que représente cette matrice ? Quelle est sa puissance ? Son inverse ?

Answer 50

Question 51

Si N est une matrice de valeurs propres (a0 — a_n-1) non nulles, déterminer l’ensemble des valeurs propres de J = N + N^-1

Answer 51

On a trouvé n valeurs propres donc il ne peut pas y en avoir plus

Question 52

À quoi faut-il penser dès qu’on veut calculer la puissance d’une matrice ?

Answer 52

On la diagonalise

Question 53

À quoi faut-il penser si on nous demande : « justifier que … définit une unique mesure de probabilité du (Ω,P(Ω)) » ?

Answer 53

Le théorème qui dit qu’une famille (pω),ω€Ω : - de réels positifs - sommable dont la somme vaut 1 Définit une unique mesure de probabilité sur (Ω, P(Ω)) : ∀ω€Ω, P({ω}) = pω

Question 54

Quel est le schéma à suivre lorsqu’on calcule la probabilité d’un évènement A ?

Answer 54

- on introduit des évènements élémentaires, permettant de décrire l’expérience, expérience aléatoire - on donne une condition nécessaire, nécessaire et suffisante de réalisation de l’évènement A - On traduit cette condition de manière ensembliste, selon les évènements élémentaires précédents - On calcule alors la probabilité de A en partant de l’écriture ensembliste

Question 55

Qu’utilise-t-on pour établir une relation de récurrence sur des probabilités ?

Answer 55

On utilise la formule des probabilités totales

Question 56

De quel ensemble part une probabilité ?

Answer 56

De P(Ω), pas de Ω : on regarde la probabilité d’un évènement pas d’une issue, ça ne veut rien dire la probabilité d’une issue

Question 57

Montrer pourtant qu’il n’existe pas de probabilité P sur (IN*, P(IN\*)) telle que P(k.IN\*) = 1/k pour tout k€IN. En admettant que la somme des 1/pk diverge si les pk sont les nombres premiers par ordre croissant, et en utilisant Borel-Cantelli

Answer 57

Question 58

Qu’est-ce que l’identité d’Euler ? Démo

Answer 58