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Maths SPE > Séries Entières > Flashcards

Séries Entières Flashcards

1
Q

Qu’appelle-t-on série entière ?

A
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Q

Qu’est-ce que le lemme d’Abel ?

A
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Q

Que veut dire le lemme d’Abel ?

A
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4
Q

Qu’appelle-t-on rayon de convergence d’une série entière ?

A
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5
Q

Quelle information donne le rayon de convergence d’une série entière ?

A
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6
Q

Calculer le rayon de convergence

A
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7
Q

Qu’est-ce que la méthode des équivalents pour calculer le rayon de définition ?
Justif

A

On a montré que D(0, Rb) ⊂ D(0, Ra), donc que Rb ≤ Ra

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8
Q

Quelles sont les trois méthodes pour calculer le rayon de convergence ?

A
  1. Définition
  2. Équivalents / domination
  3. D’Alembert
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9
Q

Démontrer la première partie du lemme d’Abel

A
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10
Q

Quelles sont les trois manières d’exprimer le rayon de convergence d’une série ?
Justif

A
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11
Q

Donner le D’Alembert pour les séries numérique, à quoi faut-il faire attention ?

Justif

A

D’après le critère de d’Alembert pour les séries numériques

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12
Q

Dans quel cas utilise-t-on D’Alembert ?

A

Si on a de la factorielle

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13
Q

Déterminer le rayon de convergence

A
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14
Q

Trouver le rayon de convergence

A
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15
Q

Trouver le rayon de convergence

A

+∞*

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16
Q

Qu’est-ce que le théorème de somme de sommes de séries entières ?

A
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17
Q

Démontrer

A
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18
Q

Qu’est-ce que le théorème du produit de Cauchy sur les séries entières ?

A

Attention : le deuxième point est faux !

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19
Q

Démontrer

A
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20
Q

Calculer f(z)

A

On pense au produit de Cauchy car il y a une somme

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21
Q

Qu’est-ce que le théorème de continuité d’une série entière ?
Justif

A
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22
Q

Qu’est-ce que le théorème de dérivabilité d’une série entière ?
Justif

A
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23
Q

Qu’est-ce que le théorème de classe C∞ d’une limite de série entière ?
Comment justif ?

A

Se montre par récurrence, de la même manière que pour C1

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24
Q

Montrer

A
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25
Q

Qu’est-ce que le théorème d’intégration d’une somme de série entière ?

A
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26
Q
A

Par théorème d’intégration d’une somme de série entière

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27
Q

À quoi faut-il penser directement si on étudie la convergence d’un complexe ?

A

Le module, car on peut montrer qu’il tend vers 0 que si son module tend vers 0 (ou montrer qu’il tend vers zl que si le module de z - zl tend vers 0)

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28
Q

Montrer la deuxième partie du lemme d’Abel

A
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29
Q

Que peut-on dire si bn = O(anλn) ?

Justif

A
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30
Q

Donner et justifier la propriété qui permet de calculer le rayon de convergence de la primitive ou de la dérivée.
Justif

A

α€ℂ*

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31
Q

Comment généraliser ?

Justif

A
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32
Q
A
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33
Q

Que peut-on dire si Σ(k=0 → +∞)(an.z0n) converge ? diverge ?

A
  • converge : z0 ≤ R
  • diverge : z0 ≥ R
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34
Q

Combien vaut R ?

Justif

A
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35
Q

Quelles sont les deux manières d’écrire un produit de Cauchy ?

A
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36
Q

Quel est le lien entre le produit de Cauchy de deux suites et le produit de Cauchy de leurs séries entières ?
Justif

A
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37
Q

À quoi faut-il faire attention avec l’homogénéité d’une série entière ?

A
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38
Q

Quelle est l’expression générale des coefficients d’un DSE ?

Justif

A
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39
Q

Qu’appelle-t-on une fonction développable en série entière ?

A
40
Q

Quelle chose simple à repérer sur une seule permet directement de dire qu’elle n’est pas DSE ?

A

Si elle n’est pas de classe C∞ au V0, elle n’est pas DSE

41
Q

Montrer que exp est DSE et donner son DSE, en utilisant Taylor

A
42
Q

Montrer que sin est DSE et donner son DSE, en utilisant Taylor

A
43
Q

Qu’est-ce que la propriété d’unicité du DSE

A
44
Q

Comment montrer simplement que deux fonctions DSE sont égales sur leur intervalle de DSE

A

Il suffit de montrer qu’elles sont égales en un voisinage de 0, quelqu’il soit

45
Q

Montrer que Arcsin est DSE et déterminer celui-ci

A
46
Q
A

x2n/n!

47
Q

Montrer que Arcsin² est DSE et déterminer celui-ci

A
48
Q

Montrer que f n’est pas DSE

A
49
Q

Comment montrer plus simplement que f est DSE sur ]-R,R[ ?

A
50
Q

Chercher une solution DSE

A
51
Q

Qu’est-ce que le principe des zéros isolés ?
Justif

A
52
Q

Montrer

A
53
Q

Montrer

A
54
Q
A
55
Q

Comment faire si on nous demande l’équivalent d’une somme de série entière, dont :

A

On trouve (bn) un équivalent de (an) et alors la somme de la série entière des an est équivalente à la somme de la série entière des bn

56
Q
A
57
Q
A
58
Q
A
59
Q

Comment montrer le théorème d’intégration de la somme d’une série entière ?

A

On prend x dans ]-R,R[ et on permute somme et intégrale car CVN sur [0,x]

60
Q

Quelles sont les trois méthodes pour montrer qu’une fonction de classe C∞ est DSE ?

A
  • Formule de Taylor-Lagrange
  • Méthode de l’équation différentielle
  • Intégration ou dérivation d’une fonction dont le DSE est connu
61
Q

Qu’est-ce que la méthode utilisant la formule de Taylor-Lagrange pour montrer qu’une fonction est DSE ?

A

En pratique on commence par utiliser l’inégalité de Taylor-Lagrange mais parfois il faut utiliser le reste pour que ce soit plus précis

62
Q

Qu’est-ce que la méthode de l’équation différentielle pour montrer qu’une fonction est DSE ?

A

On montre que f est solution d’une équation différentielle (unique car respectant certaines valeurs en certains points) et qu’une série entière vérifie cette équation différentielle et cette condition, donc c’est le DSE de f

63
Q

Qu’est-ce que la méthode d’intégration ou de dérivation d’une fonction DSE connue, pour montrer qu’une fonction est DSE ?

A

On reconnaît la dérivée ou la primitive d’une fonction dont on connaît le DSE. Alors, par CVN sur tout segment inclus dans ]-R,R[, on peut intégrer ou dériver.

64
Q

Comment faire ?

A
65
Q

Qu’appelle-t-on pôle d’une fonction ?

A

C’est un point en lequel |f| tend vers +∞

66
Q

Comment trouver, en pratique, le DSE d’une fraction rationnelle ?

A
67
Q

Pour une fonction rationnelle :

Montrer que R = inf{ |λ| | λ est un pole de f } est le rayon de convergence de f rationnelle

A

Le pole limite la convergence mais avant c’est bon

68
Q

Comment obtenir le DSE de ln(f), avec f une fonction polynomiale ?

A
  1. Si f est scindé sur IR (car ln pas def a priori sur ℂ) :
  • on met f sous sa forme factorisée
  • on sépare le ln
  • on calcule les DSE des primitives de ces ln «simples»
  • on somme
  1. Si f n’est pas scindé sur IR :
  • on prend la primitive de f
  • on calcule son DSE car c’est une fonction rationnelle
  • on primitive le DSE
69
Q

Comment obtenir par récurrence le DSE d’une fonction rationnelle ?

A
70
Q
A
71
Q

Quelles sont les deux méthodes pour obtenir le DSE d’une fonction rationnelle ?

A
  • décomposition en élément simple
  • passage par une suite récurrente
72
Q

Montrer que tan est DSE sur ]-1,1[ par la méthode de l’équation différentielle

A
73
Q

Déterminer les solutions DSE de (E) : (4 + x²).y’’ + 3.x.y’ + y = 0

A
74
Q

Comment déterminer l’expression de somme de séries f de an.zn avec an définie par récurrence ?

A

On somme pour n allant de 0 à +∞ la relation de récurrence et, en éjectant des termes des sommes et en faisant des changements d’indice, on arrive soit à une expression de f soit à une équation différentielle sur f que l’on résoud

75
Q

Quels sont les trois types de DSE usuels à connaître ?

A
  • Les DSE qui découlent de Taylor
  • Les DSE qui découlent de la série géométrique
  • Le DSE de (1+x)α
76
Q

Quels sont les DSE usuels qui découlent de Taylor à connaître ?

A
77
Q

Quels sont les DSE usuels qui découlent de la série géométrique à connaître ?

A
78
Q

Quel est le DSE de (1+x)α ?

A
79
Q

Montrer le DSE de (1+x)α

A
80
Q

Qu’est-ce que le théorème de continuité d’une somme de série entière de variable complexe ?

A
81
Q

Quels théorèmes de régularité a-t-on le droit d’utiliser pour une série entière à variable complexe ?

A

On ne peut ni intégrer ni dériver : on n’a que la continuité

82
Q

Définir l’exponentielle complexe

A

(En particulier pour x€IR)

83
Q

Montrer que exp(z1 + z2) = ez1 × ez2

A
84
Q

Montrer la formule de cos à partir du cos, en déduire la forme trigonométrique et la formule de Moivre

A
85
Q

Montrer que la dérivée de l’exponentielle réelle est égale à elle-même

A
86
Q

Calculer U, V et W

A

/(1-x)³* et donc -2 et pas -6

87
Q

Si an ~ bn avec bn décroissant, a-t-on an décroissant?

A

Non !

Les deux sont équivalentes, l’une est décroissante mais l’autre alterne entre croissant et décroissant

88
Q

Montrer

A
89
Q
A
90
Q

Si on a une série entière et qu’on veut séparer les termes pairs ou tous les trois termes par exemple, pour calculer son rayon de convergence, comment faire ?

A

Il ne faut pas le faire sur la série ! On revient à la définition et on étudie tous les trois termes mais de la suite (an.zn) pas de la série

91
Q

Que peut-on dire du DSE d’une fonction paire ou impaire ?
Justif

A
92
Q

Quand pense-t-on a utiliser le produit de Cauchy ?

A
  • Si on veut calculer le rayon de convergence et la somme d’une série numérique où il y a une somme dans le an
  • Si on veut déterminer le DSE d’un produit (d’un carré par exemple), dans ce cas on l’utilise dans l’autre sens
93
Q

Lorsqu’on veut calculer le DSE d’un carré comment faire ?

A
  • produit de Cauchy
  • méthode de l’équation différencielle
94
Q

Si on a Σan.zn, avec an compliqué et qu’on arrive pas à trouver le rayon de convergence, que peut-on essayer ?

A

On peut regarder si an ne peut pas se mettre sous la forme an = bn × un avec le rayon de Σbn.zn facile et u(n+1)/un → 1.

95
Q

Rappeler la formule de Taylor reste intégral à l’ordre n en a. Si a = 0 ?

A
96
Q

Comment justifier lorsqu’on fait un produit de Cauchy ?

A

«par produit de Cauchy de séries absolument convergentes»

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