Séries Entières Flashcards
Qu’appelle-t-on série entière ?
Qu’est-ce que le lemme d’Abel ?
CVN sur Df(0,r)*
Que veut dire le lemme d’Abel ?
Qu’appelle-t-on rayon de convergence d’une série entière ?
Quelle information donne le rayon de convergence d’une série entière ?
Calculer le rayon de convergence
Qu’est-ce que la méthode des équivalents pour calculer le rayon de définition ?
Justif
On a montré que D(0, Rb) ⊂ D(0, Ra), donc que Rb ≤ Ra
Quelles sont les trois méthodes pour calculer le rayon de convergence ?
- Définition
- Équivalents / domination
- D’Alembert
Démontrer la première partie du lemme d’Abel
Quelles sont les trois manières d’exprimer le rayon de convergence d’une série ?
Donner le D’Alembert pour les séries numérique, à quoi faut-il faire attention ?
Justif
D’après le critère de d’Alembert pour les séries numériques
Dans quel cas utilise-t-on D’Alembert ?
Si on a de la factorielle
Déterminer le rayon de convergence
Trouver le rayon de convergence
Trouver le rayon de convergence
+∞*
Qu’est-ce que le théorème de somme de sommes de séries entières ?
Démontrer
Qu’est-ce que le théorème du produit de Cauchy sur les séries entières ?
Attention : le deuxième point est faux !
Démontrer
Calculer f(z)
Car les deux séries convergent absoluement
Qu’est-ce que le théorème de continuité d’une série entière ?
Justif
Qu’est-ce que le théorème de dérivabilité d’une série entière ?
Justif
Qu’est-ce que le théorème de classe C∞ d’une limite de série entière ?
Comment justif ?
Se montre par récurrence, de la même manière que pour C1
Montrer
Qu’est-ce que le théorème d’intégration d’une somme de série entière ?
Par théorème d’intégration d’une somme de série entière
À quoi faut-il penser directement si on étudie la convergence d’un complexe ?
Le module, car on peut montrer qu’il tend vers 0 que si son module tend vers 0 (ou montrer qu’il tend vers zl que si le module de z - zl tend vers 0)
Montrer la deuxième partie du lemme d’Abel
Que peut-on dire si bn = O(anλn) ?
Justif
Que peut-on dire si Σ(k=0 → +∞)(an.z0n) converge ? diverge ?
- converge : z0 ≤ R
- diverge : z0 ≥ R
Combien vaut R ?
Justif
Quelles sont les deux manières d’écrire un produit de Cauchy ?
Quel est le lien entre le produit de Cauchy de deux suites et le produit de Cauchy de leurs séries entières ?
Justif
À quoi faut-il faire attention avec l’homogénéité d’une série entière ?
Quelle est l’expression générale des coefficients d’un DSE ?
Justif
Qu’appelle-t-on une fonction développable en série entière ?
Quelle chose simple à repérer sur une seule permet directement de dire qu’elle n’est pas DSE ?
Si elle n’est pas de classe C∞ au V0, elle n’est pas DSE
Qu’est-ce que la propriété d’unicité du DSE
Comment montrer simplement que deux fonctions DSE sont égales sur leur intervalle de DSE
Il suffit de montrer qu’elles sont égales en un voisinage de 0, quelqu’il soit
Montrer que Arcsin est DSE et déterminer celui-ci
x2n/n!
Montrer que Arcsin² est DSE et déterminer celui-ci
Comment montrer plus simplement que f est DSE sur ]-R,R[ ?
Chercher une solution DSE
Qu’est-ce que le principe des zéros isolés ?
Justif
Montrer
an.rn*
Montrer
Comment faire si on nous demande l’équivalent d’une somme de série entière, dont (R ≥ 1 suffit)
On trouve (bn) un équivalent de (an) et alors la somme de la série entière des an est équivalente à la somme de la série entière des bn
(Avec f la somme de la série entière des an et g la somme de la série entière des bn)
En gros on repasse juste par les quantificateurs, avec une multiplication par xn et une intégralité triangulaire pour faire passer la propriété des an et bn aux sommes des an.xn et bn.xn
Comment montrer le théorème d’intégration de la somme d’une série entière ?
On prend x dans ]-R,R[ et on permute somme et intégrale car CVN sur [0,x]
Quelles sont les trois méthodes pour montrer qu’une fonction de classe C∞ est DSE ?
- Formule de Taylor-Lagrange
- Méthode de l’équation différentielle
- Intégration ou dérivation d’une fonction dont le DSE est connu
Qu’est-ce que la méthode utilisant la formule de Taylor-Lagrange pour montrer qu’une fonction est DSE ?
En pratique on commence par utiliser l’inégalité de Taylor-Lagrange mais parfois il faut utiliser le reste pour que ce soit plus précis
Qu’est-ce que la méthode de l’équation différentielle pour montrer qu’une fonction est DSE ?
On montre que f est solution d’une équation différentielle (unique car respectant certaines valeurs en certains points) et qu’une série entière vérifie cette équation différentielle et cette condition, donc c’est le DSE de f
Qu’est-ce que la méthode d’intégration ou de dérivation d’une fonction DSE connue, pour montrer qu’une fonction est DSE ?
On reconnaît la dérivée ou la primitive d’une fonction dont on connaît le DSE. Alors, par CVN sur tout segment inclus dans ]-R,R[, on peut intégrer ou dériver.
Qu’appelle-t-on pôle d’une fonction ?
C’est un point en lequel |f| tend vers +∞
Comment trouver, en pratique, le DSE d’une fraction rationnelle ?
Pour une fonction rationnelle :
Montrer que R = inf{ |λ| | λ est un pole de f } est le rayon de convergence de f rationnelle
Le pole limite la convergence mais avant c’est bon
Comment obtenir le DSE de ln(f), avec f une fonction polynomiale ?
- Si f est scindé sur IR (car ln pas def a priori sur ℂ) :
- on met f sous sa forme factorisée
- on sépare le ln
- on calcule les DSE des primitives de ces ln «simples»
- on somme
- Si f n’est pas scindé sur IR :
- on prend la primitive de f
- on calcule son DSE car c’est une fonction rationnelle
- on primitive le DSE
En passant par une suite récurrente
Quelles sont les deux méthodes pour obtenir le DSE d’une fonction rationnelle ?
- décomposition en élément simple
- passage par une suite récurrente
Montrer que tan est DSE sur ]-1,1[ par la méthode de l’équation différentielle
Déterminer les solutions DSE de (E) : (4 + x²).y’’ + 3.x.y’ + y = 0
Comment déterminer l’expression de somme de séries f de an.zn avec an définie par récurrence ?
On somme pour n allant de 0 à +∞ la relation de récurrence et, en éjectant des termes des sommes et en faisant des changements d’indice, on arrive soit à une expression de f soit à une équation différentielle sur f que l’on résoud
Quels sont les trois types de DSE usuels à connaître ?
- Les DSE qui découlent de Taylor
- Les DSE qui découlent de la série géométrique
- Le DSE de (1+x)α
Quels sont les DSE usuels qui découlent de Taylor à connaître ?
Quels sont les DSE usuels qui découlent de la série géométrique à connaître ?
Pas de (-1)ⁿ dans le ln(1-x)* !
Quel est le DSE de (1+x)α ?
Montrer le DSE de (1+x)α
Qu’est-ce que le théorème de continuité d’une somme de série entière de variable complexe ?
Justif
Quels théorèmes de régularité a-t-on le droit d’utiliser pour une série entière à variable complexe ?
On ne peut ni intégrer ni dériver : on n’a que la continuité
Définir l’exponentielle complexe et justifier la possibilité d’une telle définition
(En particulier pour x€IR)
Montrer que exp(z1 + z2) = ez1 × ez2
Montrer la formule de cos à partir de l’exponentielle, en déduire la forme trigonométrique et la formule de Moivre
Montrer que la dérivée de l’exponentielle réelle est égale à elle-même
Calculer U, V et W
/(1-x)³* et donc -2 et pas -6
Si an ~ bn avec bn décroissant, a-t-on an décroissant?
Non !
Les deux sont équivalentes, l’une est décroissante mais l’autre alterne entre croissant et décroissant
On peut aussi prendre l’exemple de deux suites adjacentes
Montrer
Si on a une série entière et qu’on veut séparer les termes pairs ou tous les trois termes par exemple, pour calculer son rayon de convergence, comment faire ?
Il ne faut pas le faire sur la série ! On revient à la définition et on étudie tous les trois termes mais de la suite (an.zn) pas de la série
Que peut-on dire du DSE d’une fonction paire ou impaire ?
Justif
Quand pense-t-on a utiliser le produit de Cauchy ?
- Si on veut calculer le rayon de convergence et la somme d’une série numérique où il y a une somme dans le an
- Si on veut déterminer le DSE d’un produit (d’un carré par exemple), dans ce cas on l’utilise dans l’autre sens
Lorsqu’on veut calculer le DSE d’un carré comment faire ?
- produit de Cauchy
- méthode de l’équation différentielle
Rappeler la formule de Taylor reste intégral à l’ordre n en a. Si a = 0 ?
Comment justifier lorsqu’on fait un produit de Cauchy ?
«par produit de Cauchy de séries absolument convergentes»
Comment faire les produits de Cauchy avec les séries entières ?
Se ramener au cas des séries numériques avec zn = zk × zn-k, c’est plus simple
Que peut-on dire du rayon de convergence d’une série entière où la suite des (an) est bornée ?
Justif
Tant que |z|<1, (zn) est également bornée, donc (an.zn) est bornée et donc :
∀z€Do(0,1), R ≥ z, donc R ≥ 1
Quelle est l’expression du reste de Taylor-Lagrange ?
C’est ce qu’il y a dans la somme mais intégré de 0 à x (on passe au continu pour ne plus faire d’approximation)
