Espace Euclidien

Question 1

Définir un produit scalaire

Answer 1

Question 2

Donner un exemple de produit scalaire sur :

• IRⁿ
• M_n,1(IR)
• M_n(IR)
• C0([a,b],IR)
• IR[X]

Answer 2

Question 3

Montrer la convergence

Answer 3

Question 4

Montrer le caractère défini positif

Answer 4

Question 5

Généraliser le produit scalaire donné pour les polynômes réels

Answer 5

Question 6

Comment définir une norme à partir d’un produit scalaire ?
Justif

Answer 6

Question 7

Que donne Cauchy-Schwarz avec les produits scalaires ?
Justif

Answer 7

Cas d’égalité : x et y colinéaires

Question 8

Reprendre la demo générale de CS en topo

Question 9

Qu’est-ce que l’identité de polarité ?

Answer 9

Question 10

Définir deux vecteurs orthogonaux

Answer 10

Question 11

Définir l’orthogonal d’un espace

Answer 11

Question 12

Qu’est-ce que le théorème de pythagore ?

Answer 12

Question 13

Answer 13

Question 14

Qu’est-ce que le théorème de Gramm-Schmitt ?

Answer 14

Question 15

Définir les polynômes de Legendre et ceux de Tchebychev et dire en quoi ils sont intéressants

Answer 15

Question 16

Montrer que les polynômes de Tchebychev définissent une famille orthonormée sur ce produit scalaire et l’exhiber

Answer 16

Question 17

Montrer que les polynômes de Legendre définissent une famille orthonormée sur ce produit scalaire et l’exhiber

Answer 17

Question 18

Qu’est-ce que le théorème de la projection ?

Answer 18

Question 19

Qu’appelle-t-on un espace euclidien ?

Answer 19

C’est un IR-ev muni d’un produit scalaire

Question 20

Qu’est-ce que la généralisation du théorème de Pythagore ?

Answer 20

Question 21

Que peut-on dire de F et F⊥ ?

Answer 21

Ils sont toujours en somme directe, et ils sont supplémentaires en dimension finie

Question 22

Comment montrer que deux vecteurs sont égaux grace à un produit scalaire ?

Justif

Answer 22

Car x-y orthogonal à tout vecteur

Question 23

En dimension finie, montrer que F ⊥ F⊥ et exprimer le projeté orthogonal de x sur F

Answer 23

Question 24

Qu’est-ce que le théorème de la base orthonormée incomplète ?

Answer 24

Toute famille (e1, …, en) orthonormée peut être complétée en une base orthonormée de E : il suffit de la compléter par une base de F⊥, où F = Vect(e1, …, en) (car F ⊕ F⊥ en dimension finie)

Question 25

Donner l’expression des coordonnées d’un vecteur et du produit scalaire de deux vecteurs à partir d’une base orthonormée (définie à partir d’une

Answer 25

Choisir une base orthonormée revient à choisir un produit scalaire (et E car c’est le vect, donc ça revient à choisir un espace préhilbertien)

Si on a déjà un produit scalaire, le choix d’une base orthormée selon ce produit scalaire permet d’exprimer le produit scalaire de deux éléments selon leurs coordonnées seulement.

On prend une base «adaptée» au produit scalaire pour pouvoir exprimer ce dernier de la même manière que le produit scalaire canonique

Question 26

Comment caractériser F⊥ en dimension finie ?

Answer 26

C’est le seul supplémentaire de F orthogonal à F (appelée le supplémentaire orthogonal)

Question 27

Définir la projection orthogonale sur F, donner son expression en fonction d’une base de F puis en fonction d’une base de F⊥.

Answer 27

Car F et F⊥ sont supplémentaires en dimension finie

de p+1 à n la deuxième somme*

Question 28

Exprimer le projeté de x sur une droite puis sur un hyperplan

Answer 28

Question 29

Qu’est-ce que le procédé d’orthonormalisation de Gramm-Schmitt, quel lemme le justifie ?

Answer 29

Dernier truc du lemme : expression de a comme b + (a - b) et bilinéarité