Espace Euclidien

Question 1

Définir un produit scalaire

Answer 1

Question 2

Donner un exemple de produit scalaire sur :

• IRⁿ
• M_n,1(IR)
• M_n(IR)
• C0([a,b],IR)
• IR[X]

Answer 2

Question 3

Montrer la convergence

Answer 3

Et faire avant le cas : P=0 ou Q=0, car dans ce cas on ne peut pas faire l’équivalent.

Alors on a juste l’intégrale qui converge et vaut 0

Question 4

Montrer le caractère défini positif de ce produit scalaire sur IR[X]

Answer 4

Première implication : car P²(t)e^-t ≥ 0, donc l’intégrale jusqu’à A est supérieure à 0 et inférieur à l’intégrale jusqu’à +∞

Question 5

Comment définir une norme à partir d’un produit scalaire ?
Justif

Answer 5

Pour le 3 : on regarde ||x+y||² puis on utilise Cauchy-Schwarz

Question 6

Rappeler Cauchy-Schwarz
Justif

Answer 6

Cas d’égalité : x et y colinéaires

Car égalité ⇔ Δ = 0 ⇔ ∃λ, ||x + λy||=0 ⇔ ∃λ, x + λ.y = 0 ⇔ ∃λ’, x = λ’.y (def de x et y colinéaires)

Question 7

Qu’est-ce que l’identité de polarité ?
Quelle est la conséquence ?

Answer 7

Donc, si on connait la norme on peut remonter au produit scalaire (si celle-ci est une norme préhilbertienne)

Question 8

Définir deux vecteurs orthogonaux

Answer 8

Question 9

Définir l’orthogonal d’un espace

Answer 9

Question 10

Qu’est-ce que le théorème de Pythagore ?

Answer 10

Question 11

Answer 11

On veut juste trouver une fonction qui appartient à F, qui est positive et ne s’annule qu’en 0, pour avoir f.g qui appartient toujours à F (car g ne peut pas diverger en 0, puisque continue), donc f.g² = 0 en tout point, donc g = 0 en tout point sauf 0, donc g = 0 en tout point par continuité. On peut prendre f : x → x par exemple.

Refaire comme ça, ça sera beaucoup plus simple

Question 12

Qu’est-ce que le théorème de Gram-Schmidt ?

Answer 12

Question 13

Montrer que les polynômes de Tchebychev définissent une famille orthonormée sur ce produit scalaire et l’exhiber

Answer 13

Question 14

Montrer que les polynômes de Legendre définissent une famille orthonormée sur ce produit scalaire et l’exhiber

∫<-1 → 1>*

Answer 14

Question 15

Qu’est-ce que le théorème de la projection ?

Answer 15

• la distance à un espace de dimension finie n’est pas un inf mais un min (donc il existe un point qui vérifie cette distance minimale)
• le point qui est à ce minimum de distance de F est unique : il existe un point «le plus proche» de F

Question 16

Qu’appelle-t-on un espace euclidien ? un espace préhilbertien ?

Answer 16

Un espace euclidien est un IR-ev de dimension finie muni d’un produit scalaire.

Un espace préhilbertien est un IR ou ℂ espace vectoriel (de dimension quelconque) muni d’un produit scalaire.

Question 17

Qu’est-ce que la généralisation du théorème de Pythagore ?

Answer 17

Question 18

Que peut-on dire de F et F⊥ ?

Answer 18

Ils sont toujours en somme directe, et ils sont supplémentaires en dimension finie

Question 19

Comment montrer que deux vecteurs sont égaux grace à un produit scalaire ?

Justif

Answer 19

Car x-y orthogonal à tout vecteur

Question 20

En dimension finie, montrer que F ⊕ F^⊥ = E et exprimer le projeté orthogonal de x sur F

Answer 20

Question 21

Qu’est-ce que le théorème de la base orthonormée incomplète ?

Answer 21

Si E est de dimension finie.

Toute famille (e1, …, en) orthonormée peut être complétée en une base orthonormée de E : il suffit de la compléter par une base de F⊥, où F = Vect(e1, …, en) (car F ⊕ F⊥ en dimension finie)

Question 22

Donner l’expression des coordonnées d’un vecteur et du produit scalaire de deux vecteurs à partir d’une base orthonormée.
Justif

Answer 22

Pour montrer l’expression de x :

• x s’exprime comme la somme des xi × ei, car les ei sont une base
• soit j€[|1,n|], <x|ej> = …, on exprime x avec ses coordonnées, on utilise la bilinéarité et le fait que les ei forment une base orthonormée

Pour montrer l’expression du produit scalaire :

• on remplace x et y par la forme expliquée juste avant
• on utilise la bilinéarité du produit scalaire, sa symétrie et le fait que les ei forment une base orthonormée

Question 23

Comment caractériser F⊥ en dimension finie ?

Answer 23

C’est le seul supplémentaire de F orthogonal à F (appelée le supplémentaire orthogonal)

Question 24

Définir la projection orthogonale sur F, donner son expression en fonction d’une base de F puis en fonction d’une base de F⊥.

Answer 24

Car F et F⊥ sont supplémentaires en dimension finie

de p+1 à n la deuxième somme*

Question 25

Exprimer le projeté de x sur une droite vectorielle D = a.IR, puis sur un de ses hyperplans

Answer 25

Parce que ça fait <x|a>/IIaII² × a = <x|u> × u, avec u = a/IIaII : u est un vecteur directeur unitaire de D

Question 26

Answer 26

Question 27

Exprimer x€E selon une base orthonormée de E

Answer 27

Question 28

Définir une isométrie

Answer 28

Question 29

Remontrer que Ker(s + Id) ⊕ Ker(s - Id) = E, si s est une symétrie

Answer 29

Question 30

Définir une symétrie orthogonale

Answer 30

Question 31

Qu’est-ce qu’une symétrie orthogonale a de particulier ?
Justif

Answer 31

Question 32

Définir une réflexion

Answer 32

C’est une symétrie orthogonale telle que Ker(s - Id) est un hyperplan

Question 33

Que peut-on dire d’une isométrie ?
Justif

Answer 33

C’est donc un type de bijection particulier, adapté aux espaces euclidien

Question 34

L’ensemble des isométries est-il un espace vectoriel ?
Justif

Answer 34

L’ensemble des isométries n’est pas un espace vectoriel : 3.u n’est pas une isométrie

Question 35

Comment note-t-on l’ensemble des isométries ?

Answer 35

Question 36

Que peut-on dire de la composée d’isométries ?
Justif

Answer 36

Question 37

Quel est le lien entre isométrie et produit scalaire ?
Justif

Answer 37

Question 38

Quel est le lien entre isométrie et bases ?
Justif

Answer 38

C’est un cas particulier de bijection «adaptée» à l’espace euclidien

Question 39

Quel est le lien entre isométrie et espace orthogonal ?
Justif

Answer 39

Question 40

Caractériser les isométries diagonalisables dans IR.
Justif

Answer 40

Les seules isométries diagonalisables dans IR sont les symétries orthogonales

Question 41

Caractériser matriciellement une isométrie.
Justif

Answer 41

C’est juste parce que le produit scalaire sur les vecteurs (somme des produits des coordonnées) est le même que le produit scalaire sur les matrices qui les représentent (A^t•B), donc dire que (A1, …, An) est une BON de M_n,1(IK) revient à dire que (u(e1), …, u(en)) est une BON de E.

Question 42

Qu’appelle-t-on O_n(IR) ?

Answer 42

Question 43

Comment caractériser O_n(IR) ?
Justif

Answer 43

Question 44

Écrire en termes ensemblistes la caractérisation des matrices de O_n(IR) par leur inverse

Answer 44

Question 45

Qu’appelle-t-on un «endomorphisme orthogonal» ?

Answer 45

Endomorphisme orthogonal = isométrie

Question 46

Que peut-on dire du déterminant d’une matrice orthogonale ?
Justif

Answer 46

Soit A€O_n(IR),

A^t × A = Id ⇒ det(A)² = 1

Donc det(A) = +-1

Question 47

Définir le groupe spécial orthogonal.
Comment l’appelle-t-on ?

Answer 47

Question 48

Définir une base orthonormée directe/indirecte

Answer 48

Donc base directe ssi sa matrice dans une BON est une matrice de rotation

Question 49

Caractériser les matrices de O₂(IR) puis justifier

Answer 49

Savoir donner :

• les formes
• les formes en fonction du déterminant associé

(a et b appartiennent à [-1,1], sinon on ne pourrait pas avoir l’égalité, et cos est surjective sur [-1,1], donc il existe θ et φ tels que …)

Question 50

Que peut-on dire des matrices de O₂(IR) diagonalisables et de déterminant 1 ?
Justif

Connaissant déjà la forme générale des matrices de O₂(IR) de déterminant 1

Answer 50

On a montré que Sp(A) ⊂ {-1,1}, or le déterminant est égal à 1 mais est aussi égal au produit des valeurs propres, on a donc Sp(A) ⊂ {-1} ou Sp(A) ⊂ {1}.

Donc si A est diagonalisable, A admet au moins une valeur propre et A = I ou A = -I

Question 51

Que peut-on dire des matrices de O₂(IR) diagonalisables et de déterminant -1 ?
Justif

Connaissant déjà la forme générale des matrices de O₂(IR) de déterminant -1

Answer 51

Attention : -Id est de déterminant 1, car il y a deux lignes donc on multiplie deux fois par -

Question 52

Au vu de leur forme, comment qualifier les matrices O₂(IR) de déterminant 1 ?
Justif

Answer 52

Ce sont des rotations d’angle θ

Question 53

Définir un endomorphisme auto-adjoint

Answer 53

Question 54

Caractériser matriciellement les endomorphismes auto-adjoints

Justif

Answer 54

Pour le sens retour : on peut juste dire que <u(x)|y> = (A.X)^t*Y
= X^t.A^t.Y
= X^t.A.Y, car A est symétrique
= <x|u(y)>

Question 55

À quoi revient cette question ?

Answer 55

⇔ existe-t-il un produit scalaire tel que la matrice soit symétrique ?

Question 56

Qu’appelle-t-on un «endomorphisme symétrique» ?

Answer 56

Endomorphise auto-adjoint = symétrique

Question 57

Qu’est-ce que le théorème spectral pour les endomorphismes ? Pour les matrices ?

Answer 57

Le fait qu’une matrice symétrique n’admet que des valeurs propres réelles n’est pas une conséquence du théorème spectral mais une étape de sa démonstration

Question 58

Définir une matrice symétrique positive et une matrice définie positive.

Qu’est-ce que ça signifie ?

Answer 58

Ça veut dire que, si on appelle u l’endomorphisme associé à A, <u(x)|x> (=(S.X)^t.X = X^t.S^t.X = X^t.S.X ≥ 0) est positif et donc que dès qu’on applique u ou A à x ou X, Ça pointe dans le même sens que le vecteur x ou X initial.

Question 59

Comment caractériser les matrices symétriques positives et celles strictement positives ?
Justif

Answer 59

Question 60

Quel encadrement donnent les valeurs propres d’un endomorphisme auto-adjoint ?
Justif

Comment montrer que cet encadrement est atteint ?

Answer 60

Directement :

• on veut regarder <u(x)|x> donc on le fait
• on veut faire intervenir les valeurs propres et u est auto-adjoint :
• réflexe pour un auto-adjoint, surtout pour faire intervenir les valeurs propres : M =P.D.P^t
• du coup on traduit matriciellement <u(x)|x>

Pour montrer que c’est atteint, il suffit d’ordonner les λi par ordre croissant et de prendre X = P.(1 0 … 0) ou X = P.(0 … 0 1)

Question 61

Qu’appelle-t-on la décomposition O.S de GL_n(IR) ?
Justifier l’existence de cette décomposition

Answer 61

O^t.O = In plutôt

On peut partir de la synthèse pour trouver l’idée : on veut ça, donc on veut étudier A^t.A et on veut que ça fasse S², donc on regarde A^t.A et on sait que si ça s’exprime comme S², avec S€Sn++(IR) c’est gagné.

C’est plus logique

Question 62

Monter que l’inverse d’une matrice symétrique (inversible) est symétrique

Answer 62

Question 63

Définir un endomorphisme anti-symétrique

Answer 63

Question 64

Caractériser matriciellement un endomorphisme anti-symétrique
Justif

Answer 64

Question 65

Pour un endomorphisme anti-symétrique, quelle est la propriété équivalente à la propriété matricielle suivante : «la diagonale d’une matrice anti-symétrique est nulle» ?
Justif

Answer 65

Question 66

Que peut-on dire du spectre réel d’un endomorphisme anti-symétrique ?
Justif

Answer 66

Si on voulait le montrer sur les matrices on dire que pour tout i, Ei^T.A.Ei = Aii = 0 (diagonale d’une matrice symétrique nulle), donc que pour tout X, X^T.A.X = 0.

Donc si λ est une valeur propre et X un vecteur propre associé …

(C’est la même chose)

Question 67

Donner un exemple de matrice antisymétrique n’admettant pas de valeur propre réelle

Answer 67

Question 68

Que peut-on dire du sprectre réel d’une matrice anti-symétrique ? De son spectre complexe ?
Justif

Answer 68

• Sp_IR(A) ⊂ {0}
• Sp_ℂ(A) ⊂ i.IR

Question 69

Définir une matrice de Gram. Pourquoi en parle-t-on ?
Justif

Answer 69

Remarque : M = I pour une BON

Généralise l’expression matricielle du produit scalaire vectoriel à une base non orthonormée :

Permet d’écrire <x|y> = X^t.M.Y, avec X et Y les matrices dans la base (ε1, …, εn)

Question 70

Montrer qu’une matrice de Gram est inversible

Answer 70

Question 71

Que peut-on dire lorsqu’on applique Gram-Schmidt à la base canonique des polynômes avec un produit scalaire définit par une intégrale à poids ?
Justif

Answer 71

Ça donne des polynômes scindés à racines simples sur I

<•|•> = 0, car l’autre est combinaison linéaire des (P0, —, Pk) (car vect(P0, —, Pk) = vect(1, —, K^k) = IR_k) donc par bilinéarité du produit scalaire

Question 72

Comment faire Gram-Schmidt en pratique ?

Answer 72

Question 73

Quelle est la méthode pour calculer la distance d’un vecteur x à un espace F de dimension finie ?

Answer 73

En pratique, on n’a F que de dimension 2, 3 ou 4

Question 74

Quelle est la seconde méthode, qui peut parfois être plus rapide, pour calculer la distance d’un vecteur x à un espace F de dimension finie, lorsqu’on connait une base orthonormale (ε1 — εf) de F ?

Answer 74

On fait la méthode classique mais on sait que p(x, F) = Σ<x|εi>.εi, ce qui peut permettre de calculer ses coordonnées plus rapidement

Question 75

Rappeler les critères à vérifier pour être un produit scalaire

Answer 75

• positif + défini positif
• symétrique
• bilinéaire

Question 76

Rappeler les critères à vérifier pour être une norme

Answer 76

• positif + défini positif
• norme de λ.x = |λ| norme de x
• inégalité triangulaire

Question 77

Faire un récapitulatif de tout ce qu’il y a à savoir sur les isométries

Answer 77

Savoir :

• définir une isométrie
• qu’une symétrie orthogonale est une isométrie
• qu’une isométrie est bijective
• que l’ensemble des isométries n’est pas un espace vectoriel
• que O(E) désigne l’ensemble des isométries de E
• qu’une composée d’isométries est une isométrie
• que la “propriété d’isométrie” s’étend au produit scalaire de deux vecteurs quelconques
• qu’une isométrie est caractérisée comme un endomorphisme qui transforme toute BON en BON
• que si F est stable par u alors son orthogonal l’est aussi
• caractériser matriciellement une isométrie
• que On(IR) désigne l’ensemble des matrices d’isométries, de taille n et à coefficients réels
• que l’ensemble des matrices d’isométries (On(IR)) est l’ensemble des matrices dont l’inverse est la transposée
• qu’un endomorphisme orthogonal désigne une isométrie
• que le déterminant d’une isométrie vaut +-1
• définir SOn(IR), le groupe spécial orthogonal
• que le spectre d’une isométrie est inclus dans {-1,1}
• qu’une isométrie diagonalisable est soit I, soit -I, soit la matrice d’une symétrie orthogonale
• donner les formes des matrices de O2(IR)
• quelles matrices diagonalisables de O2(IR) sont de déterminant 1 (Id et -Id) et lesquelles sont de déterminant -1 (matrices d’une symétrie orthogonale)
• que de manière générale, les matrices de O2(IR) de déterminant 1 sont des matrices de rotation

Question 78

Est-ce que la matrice d’une symétrie est une matrice symétrique ?

Answer 78

Non ! Une matrice symétrique est une matrice associée à un endomorphisme symétrique, c’est-à-dire auto-adjoint, qui n’est pas la même chose qu’une symétrie

Question 79

Parmi les matrices diagonalisables de O2(IR), lesquelles sont de déterminant 1 et lesquelles sont des déterminant -1 ?

Answer 79

Soit A€O2(IR), il existe un endomorphisme u, isométrique et diagonalisable, qui lui est associé.

On a montré que si un endomorphisme isométrique était diagonalisable, c’était soit Id, soit -Id, soit une symétrie orthogonale :

• si le déterminant de la matrice A est 1, elle est In ou - In et u = Id ou u = -Id
• si le déterminant de la matrice A est -1, elle est la matrice d’une isométrie orthogonale (u est une isométrie orthogonale)

Question 80

Qu’est-ce que l’équivalence entre norme matricielle et vectorielle ?
Justif

Answer 80

Attention ! Il faut bien que (e1, …, en) soit une BON pour le produit scalaire considéré !

Question 81

Qu’est-ce que l’équivalence entre produit scalaire matriciel et vectoriel ?
Justif

Answer 81

Attention ! Il faut bien que (e1, …, en) soit une BON pour le produit scalaire considéré !

Question 82

À quoi faut-il faire attention lorsqu’on associe les vecteurs à leurs matrices, qu’on dit que leurs normes sont égales etc… ?

Answer 82

On ne regarde pas les mêmes produits scalaires !!!

Si X est la matrice de x dans la base B, la norme de X selon le produit scalaire de M_n,1(IK) (c’est-à-dire X^T.X) vaut la norme de x selon le produit scalaire de IKⁿ (c’est-à-dire la somme de ses coefficients dans la base B). On ne parle pas du même produit scalaire, donc pas de la même norme non plus, avec les deux !

Question 83

Exprimer ça matriciellement.
Justif

Answer 83

Question 84

Que peut-on dire des valeurs propres d’une isométrie ?
Justif

Answer 84

Si u est une isométrie, Sp(u) ⊂ {-1,1}

Question 85

À quoi faut-il faire attention avec la définition du produit scalaire que l’on utilise et le produit scalaire matriciel associé A^t.A ?

Answer 85

Ce sont des produits scalaires dans IRⁿ, pas dans IKⁿ (donc pas dans ℂⁿ !, on aurait notamment un problème pour le caractère défini positif : une somme nulle des complexes au carré n’implique pas forcément qu’ils soient tous nul, car il n’y a pas de signe dans ℂ, il faut donc avec une somme de modules au carré, que l’on obtient avec le complémentaire).

Si on voulait faire un produit scalaire dans ℂⁿ, il faudrait faire A\^t.A, mais ce n’est pas au programme

Question 86

Que peut-on dire du spectre d’une matrice symétrique réelle ?

Answer 86

Question 87

Rappeler ce qu’on peut dire des spectres d’une matrice symétrique/antisymétrique réelle.
Commenter

Answer 87

Interprétation géométrique :

• une matrice symétrique représente une transformation qui ne fait pas tourner les vecteurs, elle les étire ou les contracte uniquement dans certaines directions
• une matrice antisymétrique représente une transformation qui ne fait que tourner les vecteurs, elle ne modifie pas leur norme

Question 88

Quelles sont les méthodes pour montrer qu’une matrice est inversible ?

Answer 88

• son déterminant est non nul
• (son rang vaut la taille de la matrice)
• son noyau est réduit à 0
• pour un cas pratique : utiliser la méthode de Gauss
• montrer que 0 n’est pas valeur propre
• montrer que c’est un produit de matrices inversibles
• cas particuliers pour des formes particulières de matrices (par exemple une matrice triangulaire est inversible ssi tous ses éléments diagonaux sont non nuls)

Question 89

Comment relier la matrice de Gram et le théorème de Gram-Schmidt ?
Commenter

Answer 89

Cf. démonstration de l’inversibilité d’une matrice de Gram pour la démonstration

Question 90

Si P est inversible, la multiplication de A par P et son inverse P-1 (P.A.P-1) correspond vectoriellement à un changement de base, à quoi correspond vectoriellement la multiplication de A par P et sa transposée Pt (P.A.Pt) ?

Answer 90

Cela correspond aussi à un changement de base. Alors que la multiplication par P-1 est utile pour les endomorphismes car elle effectue le même changement de base pour l’espace de départ est d’arrivée, la multiplication par Pt est souvent utile pour passer d’un produit scalaire, d’une structure euclidienne à un autre.

Question 91

Si s est une réflexion par rapport à l’hyperplan a^⊥, comment exprimer s(x), pour x€E ?

Answer 91

Question 92

Que peut-on dire de u(F⊥) si u€O(E) ?
Justif

Answer 92

Égalité des dimensions car u est une isométrie donc u est bijectif, donc u est injecitf sur F⊥donc u est bijectif car le sous espace F ⊥ est de dimension finie.
Donc u(F⊥) et F⊥ sont de même dimension. De même pour F et u(F)

Question 93

Rappeler les trois caractérisation d’une matrice orthogonale

Answer 93

Question 94

Qu’est-ce que la décomposition d’Iwasawa ?
Justif

Answer 94

Question 95

Que peut-on dire d’une matrice réelle trigonalisable ?

Answer 95

Question 96

Une isométrie est-elle aussi bijective en dimension infinie ?
Justif

Answer 96

Non, elle est seulement injective (cf. la démo en dimension finie)

Par exemple, sur IR[X] muni du produit scalaire qui associe à P et Q la somme infinie des pk.qk, f : P → X.P est une isométrie mais n’est pas surjective

Question 97

Rappeler la dimension de Sn(IR)

Answer 97

n.(n+1)/2 : n² est le nombre de coefficients, n² - n = n(n-1) est le nombre de coefficient hors diagonale, n(n-1)/2 est le nombre de coefficients dans le triangle supérieur de la matrice (ou triangle inférieur), donc la dimension de An(IR) (on sait que la diagonale est nulle et fixer un triangle fixe l’autre par transposée), si on ajoute finalement la diagonale, on obtient n(n+1)/2

Question 98

Quelle est la limite d’application du théorème spectral ?

Answer 98

Il n’est vrai que pour les matrices symétriques réelles !

Question 99

Comment déterminer l’expression d’une borne inférieure (notamment si elle fait intervenir une intégrale) par les produits scalaires ?

Answer 99

On essaye d’exprimer ce qu’il y a à l’intérieur de la borne inférieure comme la norme de : ((un vecteur) - (un autre, ce qui varie dans l’inf)).

Pour cela on introduit un espace général auquel appartient notre vecteur, un sous-espace qui est l’ensemble dans lequel peut varier l’autre, on pose le produit scalaire qui permet d’exprimer ça comme une norme, et on se ramène ainsi à un calcul de distance.

Question 100

Donner l’expression de la distance d’un vecteur à H, si H est un hyperplan de vecteur normal n, puis le justifier

Answer 100

Question 101

Comment justifier que le produit scalaire de deux vecteurs colinéaires et le produit de leurs normes ?

Answer 101

C’est le cas d’égalité de Cauchy-Schwarz

Question 102

Si H est un hyperplan de vecteur normal n, si x€E, x = λ.n + xH, que vaut λ ?
Justif

Answer 102

On veut l’expression d’un coefficient donc on fait scalaire l’élément de la base associé

Question 103

Qu’est-ce que le théorème de Riesz ?
Démo

Answer 103

E → E*, v → <v|•> est une bijection :

Pour toute forme linéaire φ, il existe un unique v€E tel que φ = <v|•> : on peut exprimer de manière unique toute forme linéaire comme un produit scalaire.

Démo :

E → E*, v → <v|•> est linéaire et injectif (si <v|•> = 0, en particulier <v|v> = 0, donc v = 0), donc est bijectif car dim finie)

Question 104

À quoi faut-il faire attention si on manipule des inf, des sup, des min et des max ?

Answer 104

Il faut toujours commencer par montrer l’existence

Question 105

Quels sont les différents type de positionnements possibles entre deux droites dans l’espace ?

Answer 105

Question 106

Comment montrer que deux droites de IR³ ne sont pas coplanaires ?

Answer 106

On montre qu’elles ne sont ni sécantes ni parallèles

Question 107

Comment montrer que deux droites ne sont pas parallèles ?

Answer 107

On montre que leurs vecteurs directeurs ne le sont pas : on suppose par l’absurde qu’il le sont

Question 108

Comment montrer que deux droites ne sont pas sécantes ?

Answer 108

On suppose par l’absurde qu’elles le sont et donc qu’il existe un point telle que toutes les coordonnées selon les deux droites soient égales

Question 109

Si A est une matrice réelle, que peut-on dire de Ker(A^T.A) et Im(A.A^T) ?
Justif

Answer 109

• Ker(A^T.A) = Ker(A)
• Im(A.A^T) = Im(A)

Question 110

Answer 110

Question 111

Rappeler la définition de la norme triple

Answer 111

Question 112

En admettant la décomposition Q.R, montrer l’inégalité de Hadamard pour une matrice inversible

Answer 112

Si ||*|| désigne la norme 1.

U c’est Q

||Ci|| = Σ|<Ci|Uj>|, donc |<Ci|Ui>| ≤ ||Ci||, pas besoin d’utiliser Cauchy-Schwarz

Question 113

Expliquer comment faire

Answer 113

Question 114

Montrer que le déterminant de Gram d’une famille orthonormale vaut 1 et que celui d’une famille liée vaut 0

Answer 114

Question 115

Answer 115

Question 116

On admet toutes les questions, juste si on cherche concrètement l’adjoint d’une application linéaire, comment faire ?

Answer 116

• On prend x et y dans l’ensemble sur lequel est définie l’application linéaire
• On applique le produit scalaire de l’espace sur lequel est définie l’application linéaire
• On développe tout et on essaye de le remettre sous la forme de <x|…>

Question 117

Qu’appelle-t-on une forme linéaire représentable ? (HP)

Answer 117

Question 118

Que dit le théorème de Riesz en termes de représentabilité ?

Answer 118

Question 119

Que peut-on dire d’une forme linéaire représentable dans un espace préhilbertien réel ?
Justif

Answer 119

Et puisqu’elle est linéaire, elle est donc continue

Question 120

À quelle condition la notion de projection orthogonale par rapport à un espace F a-t-elle un sens ?

Answer 120

À condition d’avoir F ⊕ F^⊥ = E

Question 121

Que donne Cauchy-Schwarz sur les intégrales ?

Answer 121

Question 122

De quoi a-t-on en fait besoin pour avoir l’inégalité de Cauchy-Schwarz ?

Answer 122

Il faut juste une application :

• positive
• symétrique
• bilinéaire

Le caractère défini positif ne sert que dans le cas d’égalité

Question 123

Montrer le théorème de Riesz

Answer 123

Question 124

Quelle est la conséquence du théorème de Riesz sur une forme linéaire de Mn(IR) ?
Justif

Answer 124

Question 125

Lorsqu’on a besoin d’un contre-exemple pour des applications sur l’espace des polynômes en dimension infinie, que faut-il d’abord essayer de considérer ?

Answer 125

f : P → X.P

Question 126

Comment montrer qu’une application linéaire f de E dans F n’est pas continue ?

Answer 126

Il suffit de trouver une suite (xn) d’éléments de E telle que xn tende vers 0 mais f(xn) ne tende pas vers 0 (donc minorée)

Question 127

Comment s’exprime la distance d’un vecteur x à un hyperplan H de vecteur normal n ?
Justif

Answer 127

Question 128

Que peut-on dire de u^-1 si u est une isométrie ?
Justif

Answer 128

u^-1 l’est aussi : on a juste à appliquer ||u(X)|| = ||X|| en X = u^-1(x)

Question 129

Que peut-on dire en termes topologiques de O_n(IR) ?
Justif

Answer 129

Pour la norme 2

Question 130

Que représentent les matrices de SO2(IR) et celles de O2\SO2(IR) ?

Answer 130

Question 131

Quel est le produit scalaire sur les variables aléatoires ?
Justif

Answer 131

Question 132

Rappeler ce qu’on appelle symétrie, symétrie orthogonale et réflexion

Answer 132

Pour être une isométrie, il faut au moins être une symétrie orthogonale

Question 133

À quoi faut-il penser si on essaye de faire passer une propriété de la norme au produit scalaire ?

Answer 133

Essayer l’identité de polarité

Question 134

Rappeler ce qu’on peut dire des spectres de :

• une matrice symétrique réelle
• une matrice symétrique réelle positive
• une matrice symétrique réelle définie positive
• une matrice antisymétrique

Answer 134

Question 135

Comment montrer que pour toute matrice A de Mn(IR), |tr(A)| ≤ √(n) × √(tr(A^T.A)) ?

Answer 135

Cauchy-Schwarz appliqué à In et A

Question 136

Comment montrer que le spectre d’une matrice symétrique réelle est réel ? que le spectre d’une matrice anti-symétrique réelle est imaginaire pur ?

Answer 136

• prendre une matrice M dans l’ensemble des matrice symétriques (ou anti-symétriques)
• traduire λ€Sp(M) avec un vecteur propre
• multiplier à gauche par X\^T pour faire apparaitre un produit scalaire Hermitien à droite
• regrouper à gauche comme une transposée
• conjuguer pour faire ré apparaitre du M.X (car M\ = M puisque M est réelle)
• en déduire que λ = λ\ ou λ = - λ\

Question 137

Que peut-on dire de particulier pour le noyau et l’image d’une matrice anti-symétrique réelle ?
Justif

Answer 137

On a Ker(A) ⊕⊥ Im(A) = E !

• on montre facilement que Ker(A) ⊂ Im(A)^⊥
• on montre l’égalité par égalité de dimensions (théorème du rang à A + dim(Im(A)) + dim(Im(A)^⊥) = n)

Question 138

Que peut-on dire de particulier pour le noyau et l’image d’une matrice symétrique réelle ?
Justif

Answer 138

On a Ker(A) ⊕⊥ Im(A) = E !

Cf. démo pour anti-symétrique

Question 139

Que peut-on dire de particulier pour le noyau et l’image d’un endomorphisme auto-adjoint ?
Justif

Answer 139

On a Ker(A) ⊕⊥ Im(A) = E !

(C’est la traduction en endomorphisme de la propriété pour les matrices symétriques)

Question 140

Que peut-on dire de particulier pour le noyau et l’image d’un endomorphisme antisymétrique ?
Justif

Answer 140

On a Ker(A) ⊕⊥ Im(A) = E !

(C’est la traduction en endomorphisme de la propriété pour les matrices antisymétriques)

Question 141

Comment «accéder» au valeurs propres d’une matrice M si elle est sous la forme M = P.D.P-1 ?

Answer 141

Puisque P est inversible, il existe X tel que P-1.X = (1 0 … 0) (c’est d’ailleurs P.(1 0 … 0)). En multipliant à gauche par Xt et à droite par X, on ne garde que λ1 à droite, qui vaut donc Xt.M.X. On accède ainsi à λ1.

On peut faire pareil pour toutes.

Question 142

Que peut-on dire de sup(<u(x)|x>) avec ||x|| = 1 si u est auto-adjoint ?
Comment le montrer ?

(sup(<Mx|x>) pour M symétrique)

Answer 142

C’est la plus grande des valeurs propre.

Pour le montrer :

• on montre qu’il lui est inférieur, comme dans le cours
• on montre qu’il est atteint en décomposant M selon le théorème spectrale et en «accédant» à la valeur propre maximale

Question 143

Comment faire ?

Answer 143

On dit que M = P.D.P-1 d’après le théorème spectrale et on prend pour vi les colonnes de P. On montre que ça marche.

Question 144

Comment déterminer les valeurs propres d’une matrice symétrique 2x2 réelle (λ h h μ) quelconque ?

Answer 144

On prend les discriminant du polynôme caractéristique et on en déduit les racines

Question 145

À quoi doit-on penser directement si on voit une somme de valeurs propres ?

Answer 145

Essayer de prendre la trace de la matrice !

Question 146

À quoi doit-on penser directement si on voit une somme de valeurs propres ?

Answer 146

Essayer de prendre le déterminant de la matrice !

Question 147

Quel est le lien entre <Mx|x> et les valeurs propres de M ?

Answer 147

Si λ est une valeur propre de M, on prend un vecteur propre de M associé à λ, de norme 1 et : <Mx|x> = λ.

<Mx|x> peut renvoyer chaque valeur propre en prenant un bon vecteur.

Question 148

Si A est une matrice, comment exprimer a11 par un produit scalaire ?

Answer 148

a11 = <Ae1 | e1>, comme on pourrait faire pour n’importe quel élément de la matrice

Question 149

Que veut dire en particulier cette propriété ?

Answer 149

En particulier, pour tout i, car ||e1|| = 1, on peut écrire l’encadrement pour sii = <Sei|ei>, donc tous les éléments diagonaux sont compris entre les valeurs propres