Calcul Différentiel

Question 1

Définir une fonction à valeurs de IR dans IR^p

Answer 1

Question 2

Définir une fonction à valeurs de I dans IR^p, continue sur I

Answer 2

Question 3

Définir une fonction à valeurs de I dans IR^p continue en t€I

Answer 3

Question 4

Montrer que cette fonction est continue de IR dans IR²

Answer 4

Question 5

Comment étudie-t-on en pratique la continuité d’une fonction à valeurs de IR dans IR^p ?
Justif

Answer 5

Question 6

Définir la dérivabilité d’une fonction à valeurs de IR dans IR^p

Answer 6

Question 7

Comment montrer la dérivabilité par un max ?
Justif

Answer 7

Question 8

Comment étudie-t-on en pratique la dérivabilité d’une fonction à valeurs de IR dans IR^p ?

Answer 8

Même démo que pour la continué

Question 9

Qu’est-ce que la linéarité de la dérivée d’une fonction à valeurs de IR dans IR^p ?
Justif

Answer 9

On se ramène juste au cas réel en regardant composante par composante

Question 10

Que peut-on dire de la dérivée d’une composée φof, avec f une fonction dérivable de IR dans IR^p ? Dans quel cas ?
Justif

Answer 10

Question 11

Comment appliquer aux fonctions renvoyant des matrices ce que l’on fait dans ce chapitre ?

Answer 11

Question 12

Que peut-on dire de la composée de deux fonctions dérivables par une fonction bilinéaire ?

Answer 12

Question 13

Comment dériver le produit scalaire de deux fonctions dérivables ?

Answer 13

Question 14

Dériver la fonction qui a une fonction associe une norme euclidienne

Answer 14

Question 15

Comment dériver une fonction n-linéaire ?

Answer 15

Question 16

Comment dériver le déterminant d’une matrice par rapport à ses colonnes ?

Answer 16

Question 17

Comment dériver la composée foφ, si f est dérivable ?
Dans quel cas ?

Answer 17

Question 18

Quelles sont les deux approches qu’on pourrait envisager pour étudier les fonctions de IR^p dans IRⁿ ?

Answer 18

Question 19

Comment étudie-t-on en pratique la dérivabilité d’une fonction de IR^p dans IRⁿ ?
Justif

Answer 19

On étudiera donc toujours des fonctions à valeur dans IR

Question 20

Quelle est la bonne approche pour étudier la continuité d’une fonction de IR^p dans IRⁿ ?

Answer 20

• il ne faut pas e étudier coordonnée par coordonnée car on ne regarde que quelques manières d’approcher
• il faut étudier composante de l’image par composante

Question 21

Que peut-il être utile de faire pour étudier la continuité d’une fonction de IR² dans IR ?

Answer 21

Poser x = ρ.cos(θ) et y = ρ.sin(θ) (passage aux coordonnées cylindriques), il faut alors majorer f(x,y) - f(x0,y0) par un truc qui ne dépend pas de θ et tend vers 0 en (x0,y0)

Question 22

Qu’appelle-t-on une fonction de IR^p différentiable en un vecteur x0 ?

Answer 22

Question 23

Qu’appelle-t-on la différentielle d’une fonction différentiable ?

Answer 23

Question 24

Montrer l’unicité de la différentielle d’une fonction différentiable

Answer 24

Question 25

Qu’appelle-t-on une fonction différentiable de IR^p dans IRⁿ ?

Answer 25

Question 26

Comment étudie-t-on en pratique la différentiabilité d’une fonction de IR^p dans IRⁿ ?
Justif

Answer 26

Question 27

Comment étudie-t-on en pratique la différentiabilité d’une fonction de IR^p dans IRⁿ ?
Justif

Answer 27

Question 28

Qu’appelle-t-on la dérivée directionnelle ?

Answer 28

Question 29

Quel est le lien entre différenciabilité et dérivée directionnelle ?

Answer 29