Réduction Flashcards
Définir une valeur propre et un vecteur propre associé
Définir le sous-espace propre associé associé à λ€IK
C’est l’ensemble des vecteurs propres union 0
Eλ(u) est-il un sev ? Justif
Déterminer les valeurs propres et leurs sous-espaces propres
Déterminer l’ensemble des valeurs propres
Qu’appelle-t-on «spectre de u» ?
C’est l’ensemble des valeurs propres de u, noté Sp(u)
Définir le polynôme caractéristique d’un endomorphisme
Déterminer le polynôme caractéristique de u
Comment utiliser le polynôme caractéristique pour trouver le spectre d’un endomorphisme ?
Justifier
Le spectre est donc l’ensemble des racines
Déterminer le polynôme caractéristique
Déterminer le spectre et les sous-espaces propres de Δ
Que peut-on dire de l’ensemble des sous-espaces propres ?
Justif
On fait une récurrence sur le nombre de valeurs propres
Le montrer en particulier pour les projecteurs
Quelle est la forme connue du polynôme caractéristique de u ?
La valeur propre est racine du polynôme caractéristique, peut-elle être une racine multiple ?
Oui !
Quelle information donne la multiplicité d’une racine λ du polynôme caractéristique ?
Expliquer intuitivement puis traduire en justification mathématique
1 ≤ dim(Eλ) ≤ mλ, avec mλ la multiplicité de la racine λ
En gros, la dimension de l’espace nous donne le nombre de vecteur qu’on peut mettre dans une base et qui soit des vecteurs propres, donc qui n’ait que λ sur la diagonale. En revanche, on peut avoir un vecteur qui ne soit pas un vecteur propre mais qui ait quand même λ sur la base et qui est donc compté dans la multiplicité. On ne peut donc que donner une inégalité.
Justifier rapidement que le déterminant d’un endomorphisme ne dépende pas de la base
Donner la matrice
+* au lieu du -
Montrer
Comment ré écrire exp(i.k.π) ?
(-1)^k
Que signifie-t-il de dire qu’un endomorphisme est diagonalisable ?
C’est application est-elle diagonalisable ?
Justif
Comment montrer qu’un endomorphisme est diagonalisable par somme ensembliste ?
Justif
Par concaténation :
Eλ1 dans sa base est une matrice diagonale, Eλ2 dans sa base est une matrice diagonale, etc…
Par concaténation, en prenant comme base l’union des bases de chaque espace, puisque cette famille est de cardinal n et que les vecteurs viennent d’espaces en somme directe, donc sont libres, on a une matrice diagonale par bloc donc diagonale
Comment montrer qu’un endomorphisme est diagonalisable par somme de dimensions ?
Quel est le corolaire ?
Quel théorème donne deux conditions pour être diagonalisable ?
Montrer que A n’est pas diagonalisable sur IR mais l’est sur C
Justif
Refaire propre
Que vaut le degré du polynôme caractéristique ?
La dimension de l’espace
A est-elle diagonalisable ?
Cette matrice est-elle diagonalisable ?
Montrer qu’un endomorphisme de rang 1 vérifie : u² = λ0 × u
Pas faire attention à droite
Plutôt que de prendre une base de Im et la compléter, auquel cas on aurait des informations sur 1 vecteur de la base, on prend une base du Ker et on la complète, on a donc une information sur quasi tous les vecteurs de la base
Important à comprendre : si on fait ce détour par u(ω) au lieu de dire directement u²(x) € Im(u), c’est pour que le λ qu’on introduit ne dépende que de ω et pas de x ! Sinon ça ne marche plus. Il faut penser à ça, car tout x est défini par ω en quelque sorte, donc le faire sur ω permet de faire quelque chose qui sera général à tous les x.
Que vérifie une matrice de rang 1 ? (HP)
A² = tr(A) × A
À quelle condition une matrice de rang 1 est-elle diagonalisable ? (HP)
Si sa trace est non nulle
Comment observe-t-on un vecteur propre et une valeur propre sur une matrice ?
S’il y a une colonne (k-ieme) où seule la diagonale porte une valeur non nulle λ, alors u(ek) = λ.ek, donc ek est un vecteur propre et λ une valeur propre associée à ek
Que peut-on dire de Φu du produit ?
Justif
Φu est-elle injective ?
∃βi≠0*
Qu’appelle-t-on «polynôme de degré minimal du noyau» ?
Le noyau de Φu est non réduit à 0 (Φu non injective). Il existe un polynôme de degré minimal de coefficient dominant égal à 1 et tous les polynômes du noyau sont multiples, au sens polynomial, de ce polynôme.
Qu’est-ce que le théorème de Cayley-Hamilton ?
⇔ χu(u) = 0 ⇔ χu est un polynôme annulateur de u
0 peut-il être une valeur propre ? Un vecteur propre ?
Il peut être une valeur propre (cela signifie que u s’annule autre part qu’en 0).
Il ne peut pas être un vecteur propre, bien qu’il appartienne à chaque sous-espace propre (qui ne pourrait pas être des espaces vectoriels sinon). Il a un statut particulier : il ne peut pas vérifier la propriété de vecteur propre mais est d’office dans l’espace qui les rassemble.
Si 0 est une valeur propre, comment voir le sous espace propre E0 ?
C’est l’ensemble des annulations de u : donc Ker(u), son noyau
De manière générale, on a vu que Eλ = Ker(λ.Id - u). Ici donc E0 = Ker(u)
Quelle est l’information dans le chapitre de réduction qui peut donner u non inversible ?
Justif
Si 0 est valeur propre, u n’est pas inversible car E0 n’est pas réduit à 0, donc son noyau n’est pas réduit à 0
Comment sait-on que le nombre de valeurs propres est inférieur à la dimension de l’espace ?
Car elles sont les racines du polynôme caractéristique qui est de degré la dimension de l’espace
Que peut-on dire du rang de deux matrices semblables ?
C’est le même
Démontrer Cayley-Hamilton
χu(u)(x)* à la dernière ligne
- Puisque χu(u)(x) est une polynôme en u(x), on peut se limiter à étudier le vect des u^k(x) (c’est pour ça qu’on l’introduit et qu’on se restreint à lui avec ũ).
- On montre qu’il existe k-1 premiers éléments qui sont une base de tout ça, on restreint donc l’étude à ces éléments.
- On peut donc calculer le polynôme caractéristique de la restriction qu’on a faite au Vect
- On se rend compte qu’il est nul lorsqu’on l’applique en u
- On remonte alors le raisonnement, on sait que le polynôme qu’on a trouvé va suffire à tout rendre nul :
- On complète la base et on calcule de polynôme caractéristique dans la base globale, comme prévu il s’exprime comme la composée du polynôme que l’on avait
- Tout est donc nul
Quel est le lien entre le spectre de u et les racines d’un polynôme annulateur de u ?
Justif
Comment se sert-on de ce théorème ?
Il permet de donner des candidats valeurs propres. Il n’y a pourtant pas d’égalité, on n’a donc que des candidats.
Montrer que u n’est pas diagonalisable dans IR
Que peut-on dire d’un polynôme annulateur de u en fonction d’un polynôme annulateur de degré minimal ?
Justif
Que peut-on dire de deux polynômes annulateurs de u de degré minimal ? Qu’appelle-t-on alors polynôme minimal ?
Comment montrer qu’un endomorphisme est diagonalisable en passant par un polynôme annulateur particulier ?
Justif
Montrer le sens indirect
Ker(0) est tout l’ensemble par définition de 0 et du Ker
Montrer le sens direct
Base de vecteurs propres de u adaptée à la décomposition E=⊕Eλi*
Montrer que cette matrice n’est pas diagonalisable
(1,1,2)* sur la diagonale
Candidat pour être le polynôme annulateur scindé à racines simples (on a dit que son existence équivalaient à A diagonalisable)
Quelle information donnent les racines du polynôme minimal de u ?
Justif
Que peut-on dire de la restriction d’un endomorphisme diagonalisable à un ensemble sur lequel il est stable ?
Justif
Étudier la diagonalisabilité des projecteurs, symétrie, nilpotents
Qu’est-ce que le théorème de Hadamard ? (HP)
Démontrer le théorème de Hadamard
Donner un contre-exemple dans lequel la somme de deux matrices diagonalisables n’est pas diagonalisable
Car nilpotente
Si le spectre d’une matrice M est réduit à une seule valeur propre λ, quelle équivalence à «M est diagonalisable» ?
Quelle est la seule matrice nilpotente diagonalisable ?
Justif les deux
Donner un exemple de matrice dont les spectre réel est réduit à 0 et qui n’est pas nilpotente
Que vaut le polynôme annulateur d’une matrice compagnon ? (Pour la preuve de Cayley-Hamilton)
Qu’est-ce qui donne l’intuition qu’on doit passer par les polynômes annulateurs ?
On voit que quand on compose, un A^j apparaît, on est donc tenté d’utiliser les polynômes : la puissance passe bien
Démontrer
On a montré que :
De manière générale, si on a quelque chose de la sorte, comment montrer, si la matrice constructrice est diagonalisable, que la matrice construite est diagonalisable ?
- Pour montrer que diagonalisable ⇒ diagonalisable on fait ça
- Pour montrer que non diagonalisable ⇒ non diagonalisable, on fait comme dans l’exemple d’avant avec le polynôme annulateur
Montrer que O est diagonalisable
Pour montrer qu’une matrice de rang 2 est diagonalisable, on fait toujours :
- Montrer que dim(E0) = n-2
- Restriction à l’image et matrice de cette restriction dans la base formées des vecteurs qui font le rang 2 (car ils forment une base de Im)
- Déterminer χũ par cette matrice, qui est scindé à deux racines simples
- Alors, chaque espace propre est de dimension 1 et E0 est de dimension n-2, c’est donc bon
Trouver un vecteur propre associé à λ
Car SARS
Cette matrice est-elle diagonalisable ?
Justif
Si on a une matrice qui a pour valeurs propres un complexe et son conjugué, que peut-on dire des deux espaces propres ?
Justif
Ils sont de mêmes dimensions
Comment la commutativité sur des espaces supplémentaires engendre-t-elle la commutativité sur l’espace entier ?
Comment déterminer X si A est diagonalisable ?
Donner l’idée de résolution
Montrer qu’il n’y a pas de solution
Qu’appelle-t-on u ou A trigonalisable
Donner la condition nécessaire et suffisante pour qu’un endomorphisme soit diagonalisable.
Justif
Jusqu’à e(n+1) au lieu de en
Montrer le sens direct
u = …* dans le deuxième point
Montrer que les matrices nilpotentes 2,2 dans C sont exactement les matrices de trace et de déterminant nul
Q8
Q10
Montrer que si A est nilpotente alors son unique valeur propre est 0
Montrer qu’une matrice est nilpotente si et seulement si son polynôme caractéristique est égal à Xn
Démontrer que, si A est une matrice nilpotente d’indice p, alors tout polynôme de C[X] multiple de X^p est un polynôme annulateur de A
On suppose que P est un polynôme annulateur de A nilpotente. Sachant que le spectre d’une matrice nilpotente est réduit à 0, montrer que 0 est racine de P
Avec p l’indice de nilpotence de A et sachant que le spectre d’une matrice nilpotente est réduit à 0
Attention ! Q(A) est une matrice
Q21
Sachant que le polynôme caractéristique d’une matrice nilpotente est X^n
Q29
Déterminer les valeurs propres et la dimension de leurs espaces
Il faut penser à utiliser cette méthode quand on a tout pareil sur la diagonale et tout pareil sur le reste
Montrer
- on initialise avec M = (α) de trace nulle ⇒ α = tr(M) = 0
- montrer qu’il existe (x, u(x)) libre
- pour cela on montre que s’il y a un facteur de proportionnalité à chaque fois c’est le même pour tous (exo de sup)
- on complète et on a ainsi une base qui met un 0 sur la diagonale
- on se ramène a une matrice de taille n-1 qui vérifie les hypothèses donc on applique l’hypothèse de récurrence, qui donne directement le résultat
Démontrer Vandermonde par les polynômes
Faire la démonstration de son polynôme caractéristique
