Réduction Flashcards
1
Q
Définir une valeur propre et un vecteur propre associé
A
2
Q
Définir le sous-espace propre associé associé à λ€IK
A
C’est l’ensemble des vecteurs propres union 0
Eλ(u) = Ker(λ.Id - u)
3
Q
Eλ(u) est-il un sev ? Justif
A
4
Q
Déterminer les valeurs propres et leurs sous-espaces propres
A
5
Q
Déterminer l’ensemble des valeurs propres
A
6
Q
Qu’appelle-t-on «spectre de u» ?
A
C’est l’ensemble des valeurs propres de u, noté Sp(u)
7
Q
Définir le polynôme caractéristique d’un endomorphisme
A
8
Q
Déterminer le polynôme caractéristique de u
A
9
Q
Comment utiliser le polynôme caractéristique pour trouver le spectre d’un endomorphisme ?
Justifier
A
Le spectre est donc l’ensemble des racines
10
Q
Déterminer le polynôme caractéristique
A
11
Q
Déterminer le spectre et les sous-espaces propres de Δ
A
12
Q
Que peut-on dire de l’ensemble des sous-espaces propres ?
Justif
A
On fait une récurrence sur le nombre de valeurs propres
13
Q
Le montrer en particulier pour les projecteurs
A
14
Q
Quelle est la forme connue du polynôme caractéristique de u ?
A
15
Q
La valeur propre est racine du polynôme caractéristique, peut-elle être une racine multiple ?
A
Oui !
16
Q
Quelle information donne la multiplicité d’une racine λ du polynôme caractéristique ?
Expliquer intuitivement puis traduire en justification mathématique
A
1 ≤ dim(Eλ) ≤ mλ, avec mλ la multiplicité de la racine λ
En gros, la dimension de l’espace nous donne le nombre de vecteur qu’on peut mettre dans une base et qui soit des vecteurs propres, donc qui n’ait que λ sur la diagonale. En revanche, on peut avoir un vecteur qui ne soit pas un vecteur propre mais qui ait quand même λ sur la base et qui est donc compté dans la multiplicité. On ne peut donc que donner une inégalité.
17
Q
Justifier rapidement que le déterminant d’un endomorphisme ne dépende pas de la base
A
18
Q
Donner la matrice
+* au lieu du -
A
19
Q
A
(Lemme d’Hadamard = critère de la diagonale dominante)
20
Q
Comment ré écrire exp(i.k.π) ?
A
(-1)^k
21
Q
Que signifie-t-il de dire qu’un endomorphisme est diagonalisable ?
A
22
Q
C’est application est-elle diagonalisable ?
Justif
A
23
Q
Comment montrer qu’un endomorphisme est diagonalisable par somme ensembliste ?
Justif
A
Par concaténation :
Eλ1 dans sa base est une matrice diagonale, Eλ2 dans sa base est une matrice diagonale, etc…
Par concaténation, en prenant comme base l’union des bases de chaque espace, puisque cette famille est de cardinal n et que les vecteurs viennent d’espaces en somme directe, donc sont libres, on a une matrice diagonale par bloc donc diagonale
24
Q
Comment montrer qu’un endomorphisme est diagonalisable par somme de dimensions ?
Quel est le corolaire ?
A
25
Quel théorème permet, en étudiant le polynôme caractéristique, de déterminer si l’endomorphisme est diagonalisable ?
Se voit directement : s’il est scindé il est trigonalisable, et si chaque espace à la même dimension que la multiplicité, chaque colonne ou le coefficient est λ sur la diagonale n’a en fait que λ sur toute la colonne
26
Montrer que A n’est pas diagonalisable sur IR mais l’est sur C
27
Justif
Refaire propre
28
Que vaut le degré du polynôme caractéristique ?
La dimension de l’espace
29
A est-elle diagonalisable ?
30
Cette matrice est-elle diagonalisable ?
31
Comment lier u² et u si u est un endomorphisme de rang 1 ?
Justif
Pas faire attention à droite
Plutôt que de prendre une base de Im et la compléter, auquel cas on aurait des informations sur 1 vecteur de la base, on prend une base du Ker et on la complète, on a donc une information sur quasi tous les vecteurs de la base
Important à comprendre : si on fait ce détour par u(ω) au lieu de dire directement u²(x) € Im(u), c’est pour que le λ qu’on introduit ne dépende que de ω et pas de x ! Sinon ça ne marche plus. Il faut penser à ça, car tout x est défini par ω en quelque sorte, donc le faire sur ω permet de faire quelque chose qui sera général à tous les x.
32
33
Que vérifie une matrice de rang 1 ? (HP)
Justif
A = C × L pour une matrice de rang 1, ça veut juste dire que toutes les colonnes sont multiples entre elles !
(coefficients de multiplicité stockés dans L)
34
À quelle condition une matrice de rang 1 est-elle diagonalisable ? (HP)
Justif
Si sa trace est non nulle
En effet, Ker(A) est de dimension n-1 et puis tr(A) vaut la somme des valeurs propres (dans ℂ et comptées avec multiplicité), la dernière valeur propre est tr(A). Si tr(A) = 0, la somme des dimensions des espaces propres est n-1 et si tr(A) ≠ 1 c’est n.
35
Comment observe-t-on un vecteur propre et une valeur propre sur une matrice diagonalisée ?
S’il y a une colonne (k-ieme) où seule la diagonale porte une valeur non nulle λ, alors u(ek) = λ.ek, donc ek est un vecteur propre et λ une valeur propre associée à ek
36
Que peut-on dire de Φu du produit ?
Justif
37
Φu est-elle injective ?
Justif
∃βi≠0*
38
Justifier l’existence d’un polynôme unitaire annulateur de degré minimal pour chaque endomorphisme u
39
Qu’est-ce que le théorème de Cayley-Hamilton ?
⇔ χu(u) = 0 ⇔ χu est un polynôme annulateur de u
40
0 peut-il être une valeur propre ? Un vecteur propre ?
Il peut être une valeur propre (cela signifie que u s’annule autre part qu’en 0).
Il ne peut pas être un vecteur propre, bien qu’il appartienne à chaque sous-espace propre (qui ne pourrait pas être des espaces vectoriels sinon). Il a un statut particulier : il ne peut pas vérifier la propriété de vecteur propre mais est d’office dans l’espace qui les rassemble.
41
Si 0 est une valeur propre, comment voir le sous espace propre E0 ?
C’est l’ensemble des annulations de u : donc Ker(u), son noyau
De manière générale, on a vu que Eλ = Ker(λ.Id - u). Ici donc E0 = Ker(u)
42
Quelle est l’information dans le chapitre de réduction qui peut donner u non inversible ?
Justif
Si 0 est valeur propre (cad χu(0)≠0), u n’est pas inversible car E0 n’est pas réduit à 0, donc son noyau n’est pas réduit à 0
43
Comment sait-on que le nombre de valeurs propres est inférieur à la dimension de l’espace ?
Car elles sont les racines du polynôme caractéristique qui est de degré la dimension de l’espace
44
Que peut-on dire du rang de deux matrices semblables ?
C’est le même (le rang de l’endomorphisme qu’elles représentent)
45
Quel est le lien entre le spectre de u et les racines d’un polynôme annulateur de u ?
Justif
46
Comment se sert-on de ce théorème ?
Il permet de donner des candidats valeurs propres. Il n’y a pourtant pas d’égalité, on n’a donc que des candidats.
47
Montrer que u n’est pas diagonalisable dans IR
48
Que peut-on dire d’un polynôme annulateur de u en fonction d’un polynôme annulateur de degré minimal ?
Justif
- division euclidienne de P par mu
- évaluation en u
49
Que peut-on dire de deux polynômes annulateurs de u de degré minimal ?
Justif
Qu’appelle-t-on alors polynôme minimal ?
50
Comment montrer qu’un endomorphisme est diagonalisable en passant par un polynôme annulateur particulier ?
51
Que peut-on dire de dim(Ker(uov)) si u et v sont deux endomorphismes de E ?
Justif
52
Montrer le sens indirect
Ker(0) est tout l’ensemble par définition de 0 et du Ker
Le lemme : dim(Ker(uov)) ≤ dim(Ker(u)) + dim(Ker(v))
Et on a montré que le polynôme du produit vaut la composée des polynômes (car ça commute)
53
Montrer le sens direct
Base de vecteurs propres de u adaptée à la décomposition E=⊕Eλi*
54
Montrer que cette matrice n’est pas diagonalisable en passant par les polynômes annulateurs
(1,1,2)* sur la diagonale
Candidat pour être le polynôme annulateur scindé à racines simples (on a dit que son existence équivalaient à A diagonalisable)
55
Quelle information donnent les racines du polynôme minimal de u ?
Justif
56
Que peut-on dire de la restriction d’un endomorphisme diagonalisable à un ensemble sur lequel il est stable ?
Pourquoi ?
Car u admet un polynôme annulateur scindé à racines simples, qui est donc aussi annulateur de sa restriction u~, qui est donc diagonalisable
Attention : il faut le rejustifier à chaque fois
57
Justif
58
Étudier la diagonalisabilité des projecteurs, symétrie, nilpotents
59
Quelles sont les deux méthodes pour calculer A^m ?
- Si A est diagonalisable, A^m = P.D^m.P-1
- Sinon : division euclidienne de X^m par χA^m et évaluation aux racines de χA, si une racine est multiple, on dérive etc…
60
Qu’est-ce que le théorème de la diagonale dominante, comment l’appelle-t-on également ? (HP)
61
Démontrer le théorème de la diagonale dominante
62
Si on arrive au fait que pour x€Eλ, u(x)€Eλ, à quoi faut-il penser ?
On a alors la stabilité de Eλ par u, on peut introduire ũ la restriction de u à Eλ
63
Quelle condition faut-il ajouter à Sp(M) = {0} pour que M soit nilpotente ?
Il faut que ce soit le spectre complexe qui soit égal à 0
(Ainsi son polynôme caractéristique est juste égal à Xⁿ, il n’y a pas de racine complexe qui gêne, et d’après Cayley-Hamilton Aⁿ = 0)
64
Comment diagonaliser une matrice 2x2 ?
- On écrit le polynôme caractéristique : χA = X² - tr(A)×X + det(A)
- On factorise :
1. Si c’est un exercice pratique on a une expression concrète de χA, on regarde le coefficient constant et on sait qu’il vaut le produit des racines, on a donc des couples de racines candidats et on regarde lesquels ont une somme qui vaut -le coefficient devant X (relations coefficients/racines)
2. Si c’est un exercice théorique, on calcule le discriminant et on trouve ainsi les racines de χA
- Pour chaque racine λ (donc valeur propre), on résoud AX=λ.X et on exprime ainsi Eλ comme un Vect
- Alors, on pose P=(…) la concaténation de tous les vecteurs générateurs de chaque Eλ
- On a alors A = P×D×P-1, avec D la matrice qui contient les racines de χA (donc les valeurs propres comptées avec multiplicité) sur la diagonale, dans le même ordre que les vecteurs dans P
- Il ne reste qu’à calculer P-1
65
Comment diagonaliser une matrice 3x3 ?
- On écrit l’expression de χA comme déterminant
- On fait une ligne/colonne avec quasi que des 0
- On développe pour se ramener à un déterminant 2x2
- On utilise la même méthode que pour diagonaliser une matrice 2x2
66
Donner un contre-exemple dans lequel la somme de deux matrices diagonalisables n’est pas diagonalisable
Car nilpotente
67
Si le spectre d’une matrice M est réduit à une seule valeur propre λ, quelle équivalence à « M est diagonalisable » ?
Quelle est la seule matrice nilpotente diagonalisable ?
Justif les deux
68
Donner un exemple de matrice de taille 3 dont les spectre réel est réduit à 0 et qui n’est pas nilpotente
69
A-t-on (λ.f dérivable) ⇒ (f dérivable) ?
Non, il faut également avoir λ≠0
70
Qu’appelle-t-on une matrice compagnon ?
Quel est son polynôme caractéristique ?
Sans justifier
71
72
Qu’est-ce qui donne l’intuition qu’on doit passer par les polynômes annulateurs ?
On voit que quand on compose, un A^j apparaît, on est donc tenté d’utiliser les polynômes : la puissance passe bien
73
Si on a deux endomorphismes diagonalisables, peut-on trouver une base telle que les deux soient diagonalisables ?
Il faut juste que les deux matrices commutent.
74
Démontrer
1. On montre que tout espace propre de u est stable par v
2. On montre que toute restriction de v à un sous-espace de u est diagonalisable (pour chaque sous espace propre de u Eλ(u), il existe donc une base de Eλ(u) formée de vecteurs propres de v (ce sont donc des vecteurs propres à la fois de u et v))
3. Comme u est diagonalisable, la somme directe de ses espace fait E et on peut concaténer toutes ces bases pour obtenir une base de E formée de vecteurs propres pour u et pour v
75
Qu’appelle-t-on endomorphisme induit ?
C’est une restriction endomorphisme
76
Dans quel cas considère-t-on généralement des endomorphismes induits ?
Si les endomorphismes commutent
77
On a montré que :
De manière générale, si on a quelque chose de la sorte, comment montrer, si la matrice constructrice est diagonalisable, que la matrice construite est diagonalisable ?
- Pour montrer que diagonalisable ⇒ diagonalisable on fait ça
- Pour montrer que non diagonalisable ⇒ non diagonalisable, on fait comme dans l’exemple d’avant avec le polynôme annulateur
78
Montrer que O est diagonalisable
Pour montrer qu’une matrice de rang 2 est diagonalisable, on fait toujours :
- Montrer que dim(E0) = n-2
- Restriction à l’image et matrice de cette restriction dans la base formées des vecteurs qui font le rang 2 (car ils forment une base de Im)
- Déterminer χũ par cette matrice, qui est scindé à deux racines simples
- Alors, chaque espace propre est de dimension 1 et E0 est de dimension n-2, c’est donc bon
79
Trouver un vecteur propre associé à λ
80
Si β ≠ β’
Car on retranche la première colonne à toutes les autres puis la dernière ligne à toutes les autres puis on développe par rapport à la dernière ligne
81
Cette matrice est-elle diagonalisable sur ℂ ?
Justif
On arrive a exprimer la matrice comme un polynôme d’une autre matrice diagonalisable
82
Pourquoi tout polynôme de degré impair admet au moins une racine réelle ?
Car il est continu et vaut +∞/-∞ aux extrémités de IR, donc par TVI il existe une racine réelle
83
Que peut-on dire si une matrice réelle admet une valeur propre complexe ? Justif
Elle admet aussi le conjugué comme valeur propre : on conjugue la relation qui défini une valeur propre
84
Si on a une matrice qui a pour valeurs propres un complexe et son conjugué, que peut-on dire des deux espaces propres ?
Justif
Ils sont de mêmes dimensions
85
Comment faire lorsqu’on a un système différentiel d’ordre 2 ?
- mettre sous forme matricielle et appeler A la matrice devant : A.(x,y) = (x’, y’)
- diagonaliser A
- on a alors (x’,y’) = P.A.P-1.(x,y)
- poser (X’,Y’) = P-1.(x’,y’)
- résoudre
- en déduire x’ et y’
86
Comment résoudre un système différentiel d’ordre 3 ?
- On pose X = (y, y’, y’’) et on regarde X’
- On se ramène ainsi à résoudre un système différentiel d’ordre 2
87
Comment résoudre une suite récurrente d’ordre 3 ?
- On pose X = (a(n+2), a(n+1), a(n))
- On a alors X(n+1) = A.Xn
- Donc Xn = A^n.X0
- On diagonalise A pour déterminer A^n et c’est bon
88
À quoi faut-il penser lorsqu’on voit une dimension égale à un carré ?
À la dimension d’un endomorphisme
89
Comment la commutativité sur des espaces supplémentaires engendre-t-elle la commutativité sur l’espace entier ?
Découle du fait que si u et v sont linéaire, uov et vou aussi
90
Comment déterminer X si A est diagonalisable ?
91
Donner l’idée de résolution
Car YD = DY = Y³
92
Comment montrer que l’ordre de nilpotence est inférieur à n ?
- A^p = 0 et A^p-1 ≠ 0
- Donc on a X0 tel que A^p-1 × X0 ≠ 0
- (X0, A.X0, …, A^p-1.X0) libre (se montre facilement par l’absurde, on multiplie par A)
- Donc son cardinal est inférieur à la dimension
- Donc p ≤ n
93
Montrer qu’il n’y a pas de solution
94
Qu’appelle-t-on u ou A trigonalisable
95
Donner la condition nécessaire et suffisante pour qu’un endomorphisme soit trigonalisable.
Justif
Jusqu’à e(n+1) au lieu de en
Trigonalisable* à chaque fois
Intuitivement : si le polynôme caractéristique est scindé, on peut toujours trouver un (X-λ) à mettre devant, et ainsi avoir quelque chose avec que des 0 en dessous. Une fois qu’on l’a mis devant on peut recommencer et on en retrouvera toujours un à mettre devant puisque le polynôme est scindé. Jusqu’à ce qu’on les ait tous réorganisés.
96
Que peut-on dire de la trigonalisation sur C ?
Toutes les matrices sont trigonalisables car tous les polynômes sont scindés d’après d’Alembert-Gauss (à rappeler en une phrase à chaque fois)
97
98
Montrer le sens direct
u = …* dans le deuxième point
99
Montrer que les matrices nilpotentes 2,2 à coefficients dans C sont exactement les matrices de trace et de déterminant nul
100
Q8
101
Peut-on utiliser le vrai théorème du rang ?
Non
102
Comment démontrer le « vrai » théorème du rang si on en a besoin ?
- (e1 — ep) une base de Ker
- on complète en base de E par (ep+1, —, en)
Liberté :
- combinaison linéaire des (u(ep+1), —, u(en)) nulle
- linéarité de u
- donc élément du Ker
- donc expression de la combinaison des (ep+1, —, en) dans (e1, —, ep)
- (e1, —, en) base de E : tous les coefficients nuls
- donc (u(ep+1), —, u(en)) libre
Générateur :
- caractère générateur de (e1, —, en)
- appliquer u
- donc (u(ep+1), —, u(en)) générateur et libre de Im
103
Q10
104
Montrer que si A est nilpotente alors son unique valeur propre est 0
- Cayley-Hamilton : si A admet une racine c’est 0, donc Sp(A) ⊂ {0}
- D’Alembert-Gauss : A admet au moins une racine dans ℂ, donc Sp(A) = {0}
105
Montrer qu’une matrice est nilpotente si et seulement si son polynôme caractéristique est égal à Xn
106
Démontrer que, si A est une matrice nilpotente d’indice p, alors tout polynôme de C[X] multiple de X^p est un polynôme annulateur de A
107
On suppose que P est un polynôme annulateur de A nilpotente. Sachant que le spectre d’une matrice nilpotente est réduit à 0, montrer que 0 est racine de P
108
Comment lier les valeurs propres d’une matrice à l’inversibilité ?
L’ensemble des valeurs propres et l’ensembles des λ tel que det(A - λ.I) = 0, donc l’ensemble des λ tel que A - λ.I n’est pas inversible.
109
Avec p l’indice de nilpotence de A et sachant que le spectre d’une matrice nilpotente est réduit à 0
Attention ! Q(A) est une matrice
110
Q21
111
Sachant que le polynôme caractéristique d’une matrice nilpotente est X^n
112
113
Q29
114
Comment justifier les puissances de J ?
On l’écrit comme une somme de E i+1,i ou un truc comme ça, et on fait par récurrence, où alors on passe par l’endomorphisme canoniquement associé
115
Déterminer les valeurs propres et la dimension de leurs espaces
Il faut penser à utiliser cette méthode quand on a tout pareil sur la diagonale et tout pareil sur le reste
116
Que peut-on dire de la somme des valeurs propres ?
Elle est égale à la trace
117
Comment montrer simplement que la trace d’une matrice nilpotente est nulle ?
tr(A) = Σλ = 0
118
Comment montrer que la trace vaut la somme des racines du polynôme caractéristique (comptées avec multiplicité) ?
Toute matrice est trigonalisable dans ℂ d’après D’Alembert-Gauss, et les traces de deux matrices semblables sont égales
119
Comment montrer que deux matrices semblables sont de même traces ?
Car tr(A.B) = tr(B.A), donc on mets P avec P-1
120
Montrer que si A est diagonalisable dans C, A² l’est aussi
A diagonalisable ⇒ A = P.D.P-1 ⇒ A² = P.D².P-1 ⇒ A² diagonalisable
De manière plus générale, si A est diagonalisable, tout polynôme en A l’est aussi. Ici on l’a fait avec P(X) = X²
121
Montrer
- on initialise avec M = (α) de trace nulle ⇒ α = tr(M) = 0
- montrer qu’il existe (x, u(x)) libre
- pour cela on montre que s’il y a un facteur de proportionnalité à chaque fois c’est le même pour tous (exo de sup)
- on complète et on a ainsi une base qui met un 0 sur la diagonale
- on se ramène a une matrice de taille n-1 qui vérifie les hypothèses donc on applique l’hypothèse de récurrence, qui donne directement le résultat
122
Comment déterminer le spectre si on est en dimension infinie ?
Revenir à la définition
123
Démontrer Vandermonde par les polynômes
124
Faire la démonstration de son polynôme caractéristique
125
Comment voir sur son polynôme caractéristique qu’une matrice est inversible ?
Justif
Le terme constant vaut (-1)ndet(A).
S’il est différent de 0 (χA(0) = 0), on a : det(A) ≠ 0 ⇔ A inversible
126
Quel est le lien entre l’inversibilité et le noyau en dimension finie ?
A inversible ⇔ Ker(A) = {0}
127
Si on a diagonalisé une matrice A en D et que l’on nous demande P tel que A = P × D × P-1, comment faire ?
- Posons P = … (c’est la matrice constituée des bases des sous-espaces propres concaténées)
- La formule de changement de base donne : A = P × D × P-1
Pas besoin de refaire tout le calcul !
128
Quelle est la propriété qui fait que le choix d’une base B définit un isomorphisme de E sur IKn ?
129
Montrer qu’une famille de polynômes de degrés échelonnés est une base de IKn[X]
130
Exprimer de deux manières différentes la j-ième colonne de la matrice A associée à l’endomorphisme u dans la base canonique
Avec Ej la matrice de taille 1×n qui a juste un 1 sur le j-ième nombre
131
On appelle A une matrice associée à u, justifier qu’on détermine le noyau de u en résolvant AX = 0 et justifier qu’on détermine l’image de u en regardant le Vect des colonnes de A
132
Comment montrer que u bijectif, u injectif, u surjectif, à partir des colonnes d’une matrice A qui lui est associée ?
133
Montrer
Avec B = (e1, —, en),
MatB(u) = Diag(λ1, —, λn) ⇔ ∀j€[|1,n|], u(ej) = λj.ej
134
Quelle information donne visuellement PB,B’ ?
Ses colonnes sont les coordonnées de la nouvelle base B’ dans l’ancienne base B
135
Justif
136
Que peut-on dire du rang d’une matrice et de celui de sa transposée ?
Ce sont les mêmes
137
Montrer que le rang d’une sous matrice est inférieur au rang de la matrice
138
Que peut-on dire d’un ensemble de vecteurs propres qui sont tous de valeurs propres distinctes ?
Ils sont linéairement indépendants (la famille qui les contient tous est libre), car les Ei sont en somme directe
139
Montrer que (φ1, …, φk) est libre
140
Généraliser et montrer ce résultat
141
Montrer
Toujours la même chose que les polynômes de Lagrange
142
Que peut-on dire de la trace et du déterminant de deux matrices semblables ?
Justif
143
Qu’appelle-t-on la trace et le déterminant d’un endomorphisme ?
C’est la trace et le déterminant des matrices qui le représentent (indépendants de la base)
144
Donner 4 ensembles de base stables par u€L(E)
145
Comment traduire F stable par u matricielement ?
146
Que peut-on dire si E1⊕…⊕Er = E et que tous les Ei sont stables par u€L(E) ?
147
Si u et v commutent, quels sont les quatre ensemble de base stables par u ?
Justif
148
Qu’appelle-t-on valeurs propres d’une matrice ?
C’est l’ensemble des valeurs propres de l’endomorphisme associé
149
Que sont les valeurs propres de A + α.I ?
Justif
150
Comment caractériser « λ valeur propre » par le sous-espace propre associé ?
λ valeur propre ⇔ Eλ ≠ {0}
151
Comment peut-on écrire la restriction de u à Eλ(u) ?
Eλ est stable par u, car si x€Eλ, u(u(x)) = u(λ.x) = λ.u(x), donc u(x) € Eλ
Alors, la restriction de u à Eλ est l’homotéthie λ.Id
152
Que vaut le polynôme caractéristique d’une matrice triangulaire ?
153
Que peut-on dire du polynôme caractéristique d’une matrice et de celui de sa transposée ?
Justif
Car une matrice (ici X.In - A) et sa transposée on le même déterminant
154
Que peut-on dire du polynôme caractéristique de deux matrices semblables ?
Justif
155
Qu’est-ce qui diffère en termes de valeurs et vecteurs propres pour une matrice et sa transposée ?
Elles ont le même polynôme caractéristique, donc les même valeurs propres (même racines).
Ce sont les sous espaces propres (donc les vecteurs propres) qui diffèrent.
156
Que peut-on dire du polynôme caractéristique d’un endomorphisme induit ?
Justif
157
Justifier l’inégalité entre la multiplicité d’une valeur propre et la dimension du sous espace propre associé
158
Que signifie-t-il de dire qu’une matrice A est trigonalisable ?
On dit que A€Mn(IK) est trigonalisable si elle est semblable à une matrice triangulaire (cad ssi l’endomorphisme associé à A est trigonalisable)
159
Comment et pourquoi peut-on exprimer tr(A) et det(A) à partir des valeurs propres de A ?
À quoi faut-il faire attention ?
Attention ! Il faut prendre toutes les valeurs propres complexes, pas que les réelles
160
Quelles sont les deux caractérisations de u diagonalisable ?
Justif
161
Quelles sont les deux manières de définir A diagonalisable ?
- par les endomorphismes : l’endomorphisme associé à A est diagonalisable
- par les matrices : A est semblable à une matrice diagonale
162
Justif
163
Si on connait r valeurs propres de u et les sous espaces propres associés, comment montrer que u est diagonalisable ?
Justif
164
Quel argument très simple permet de montrer qu’un endomorphisme trigonalisable est diagonalisable ?
165
De manière générale, si un endomorphisme est trigonalisable, à quelle condition est-il également diagonalisable ?
Justif
166
Justif
167
Dans le cas d’une matrice A€M2(ℂ), quelles matrices semblables particulières peut-on lui trouver ?
Justif
168
Quelles sont les deux manières pour déterminer les valeurs propres d’une matrice ?
- calculer le polynôme caractéristique
- résoudre a priori AX = λ.X (particulièrement utile lorsqu’il y a beaucoup de 0)
169
Montrer que la matrice (1) de taille n est diagonalisable et donner la matrice diagonale qui lui semblable
On fait comme ça pour les matrices de rang 1
170
Montrer qu’une matrice de Mn(IK) de rang 1 est diagonalisable ssi sa trace est non nulle
171
Calculer An
(On a diagonalisé A)
172
Commet résoudre les suites récurrentes linéaires par réduction ?
173
Comment montrer la densité de GLn(IR) dans Mn(IR) par la réduction ?
174
Quelle propriété particulière possède le polynôme caractéristique du produit ?
Justif
175
Quelles sont les deux propriétés algébriques d’un polynôme d’endomorphisme ?
176
Que peut-on dire de la composée de u et de son polynôme P(u) ?
Pour tout P€IK[X], il commutent (on peut factoriser par le polynôme ou par u)
177
Qu’est-ce que le polynôme d’une matrice diagonale ?
(Se voit directement lorsqu’on l’écrit avec la définition de P(A) et avec la puissance d’une matrice diagonale)
178
Si tous les λi sont distincts, quel est le lien entre A et les autres matrices diagonales ?
Comment le montrer ?
179
Si tous les λi, quelle est le lien entre A et les autres matrices diagonales ?
Comment le montrer ?
180
Si P est un polynôme, que A et B sont semblables, que peut-on dire de P(A) et P(B) ?
Justif
Comment cela se traduit matriciellement ?
181
Montrer qu’en dimension finie, tout endomorphisme admet un polynôme annulateur non nul
182
Justif
183
Comment utiliser un polynôme pour montrer qu’une matrice A est inversible ?
Quelle information a-t-on alors sur l’inverse ?
Regarder sur des exemples simples et concrets, c’est évident
184
Quel est lien entre les valeurs et vecteurs propres de u et de P(u) ?
Justif
Évident si on écrit ce qu’est P(u)(x)
185
Quelle propriété vérifient les valeurs propres de u par rapport à P, si P est un polynôme annulateur de u ?
Justif
Quel est le lien avec le polynôme caractéristique ?
Et pour le polynôme annulateur minimal, toutes les puissances associées à ces racines sont 1
186
Détailler la proposition : u est diagonalisable ssi il est annulé par un polynôme à racines simples
187
Comment montrer que : si u est diagonalisable et que F est stable par u, la restriction de u à F est diagonalisable
188
Quelles sont les seules applications linéaire diagonalisable telles que Sp(u) ⊂ {0,1} ?
Justif
189
Que peut-on dire de Ker(u) et Im(u) si u est diagonalisable ?
190
Quelle est la traduction matricielle de cette propriété ?
r = rg(A) = la multiplicité de la valeur propre 1 = la dimension de Im(u) = rg(u), logique
191
Quelles sont les seules applications linéaires diagonalisables telles que Sp(u) ⊂ {-1,1} ?
Justif
192
Quelle est la traduction matricielle de cette propriété ?
193
Quelles sont les trois méthodes ?
194
Comment calculer Ap ?
195
Calculer An
N = (0,1,0,0,0)*
196
C(u) le commutant de u
Attendre la correction du prof de ma copie et recopier au propre
197
Montre 5. sachant 4. (ni = la dimension du i-ième espace propre)
On a juste ni² ≥ ni car ni ≥ 1 et donc en sommant dim(C(u)) ≥ n = Σ… car u est diagonalisable
198
Soit u un endomorphisme niloptent d’indice de nilpotence 2 et de rang r. Montrer que r ≤ n/2, avec n la dimension de l’espace.
On peut aussi le montrer en prenant (e1, …, er) une base de l’image et en disant que ∀i€[|1,r|], ∃ωi€E, u(ωi) = ei.
On montre en deux secondes la liberté de (e1, …, er, ω1, …, ωr), donc 2.r ≤ n
199
Comment est-ce possible que toutes les valeurs propres d’une matrice nilpotente soient 0 alors qu’elle n’est pas nulle ?
Elle n’est pas diagonalisable débile ! Donc elle n’est pas semblable à la matrice nulle.
200
Comment montrer que la famille des (x → exp(a.x))a€C est libre ?
- n€N
- (a1 — an)€Cn
- (λ1 — λn)€IKn tels que Σ…
- supposer par l’absurde qu’il existe p€[|1,n|] tel que λp non nul
- poser k tel que |ak| soit le plus grand des |ai| tels que λi non nul
- tout diviser par exp(ak.x)
- faire tendre vers +∞
- λk = 0, absurde
201
Comment montrer que toute matrice T0 triangulaire dont la diagonale est nulle est nilpotente ?
- son polynôme caractéristique est Xn
- d’après le théorème de Cayley-Hamilton, T0n = 0
202
Si λ€Sp(A), quelle information sur l’inversibilité est-ce que ça donne ?
A - λ.I n’est pas inversible
203
A - λ.I est inversible
204
Si on a une matrice dont toutes les lignes (ou colonnes) font la même somme, quelle valeur propre a-t-on déjà, comment justifier ?
La valeur S de la somme est une valeur propre : évaluer en (1, …, 1) revient à prendre sur chaque composante la somme de la ligne associée, on aura alors S × (1, …, 1).
Si ce sont les colonnes qui font la même somme S, on regarde la transposée, S est valeur propre de la même manière que ce qui précède, et puisqu’une matrice et sa transposée on le même déterminant, elles ont donc le même polynôme caractéristique et donc les même valeurs propres.
205
Que peut-on dire s’il existe une matrice ligne non nulle telle que L.A = λ.L ?
Justif
206
Montrer que les sous-espaces propres d’une matrice compagnon sont tous de dimension 1.
Quelle est la conséquence polynomiale ?
Un endomorphisme est donc cyclique si et seulement si son polynôme caractéristique est don polynôme minimal
207
Si on voit que, pour λ€Sp(A), rg(A - λ.I) ≥ k, avec k€IN, que peut-on dire ?
Dans quel cas est-ce particulièrement intéressant ?
208
Comment montrer qu’un endomorphisme cyclique est diagonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé à racines simples ?
**Sens direct :**
- on montre qu’il existe une base dans laquelle sa matrice est une matrice compagnon
- on en déduit que ses sous-espaces propres sont tous de dimension 1
- on en déduit qu’il admet n valeurs propres distinctes, puisqu’il est diagonalisable
- donc son polynôme caractéristique est scindé à racines simples
**Sens indirect :** toujours vrai, propriété du cours
209
Comment montrer que :
Le sens indirect est toujours vrai
210
Comment faire ?
211
Quelle est la méthode pour trigonaliser une matrice 3x3 ?
Dans le cas où il ne manque qu’un élément
- calculer son déterminant
- regarder les dimensions de la racine double/triple
- donc A n’est pas diagonalisable
- trouver l’expression comme un Vect de chacun des sous-espaces propres
- il manque un vecteur, prendre un vecteur de la base canonique (vérifier par le déterminant que ça forme bien une base)
- alors, A.e1 = λ1.e1, A.e2 = λ2.e2 et A.e3 = …e1 + …e2 + …e3 (avec e3 celui qu’on ajouté)
- poser P = (e1 | e2 | e3) et T = Mat(uA, (e1, e2, e3))
- alors A = P.T.P-1
212
Quelle est la méthode pour trigonaliser une matrice 3x3 ?
Dans le cas où il manque deux éléments
Faire flashcard sur la méthode des noyaux iteres
213
2.
Car ||A|| ≤ ||A|| et ||B|| ≤ ||B||
Remarque : on peut prendre l’idée des applications : fog ≤ C ssi ∀x, fog(x) ≤ C ssi ∀x, f(g(x)) ≤ C
De manière générale, si on galère sur un truc de matrice on peut regarder ce que ça donne avec les applications, où s’il y a un analogue, et inversement
214
Avec la norme 1 la somme des coefficients en module et la norme sur les matrices le max de la norme 1 de M.x, pour x de module 1
215
Avec la norme 1 la somme des coefficients en module et la norme sur les matrices le max de la norme 1 de M.x, pour x de module 1
216
5a) : diag(a11, …, ann), faire la 5b)
217
Si une suite tend vers l, à quelle condition la suite des normes tend vers ||l|| ?
Justif
218
5c
219
Si on arrive à montrer que la suites des ||P-1b.A.Pb||k tend vers 0 lorsque k tend vers +∞, comment conclure pour la 5c) ?
Ou alors on en déduit que ||Pb-1.Ak.Pb|| → 0 lorsque k → +∞, donc que Pb-1.Ak.Pb → 0 lorsque k → +∞, donc par continuité du produit matriciel, en multipliant à gauche par Pb et à droite par Pb-1, on a le résultat voulu
220
Trouver le spectre
Pas commencer à faire un polynôme caractéristique !
La matrice est diagonale, donc son spectre est {0,1}…
221
On appelle ρ(A) le rayon spectral de A : le maximum des modules des valeurs propres de A. Lesquelles des assertions suivantes sont vraies ou fausses ?
Justif
Avec A1 = (0 0 0 1) et A2 = (0 0 1 0)
222
Q9
Sachant que pour toute matrice T triangulaire de coefficient diagonaux tous < 1, Tk converge vers 0, et sachant que ||A.B|| ≤ ||A||.||B||
Q7, pas Q13
Pour la dernière étape, on peut multiplier à gauche par P et à droite par P-1 par continuité du produit matriciel
223
On appelle ρ(A) le rayon spectral de A : le maximum des modules des valeurs propres de A.
Avec la norme 1 la somme des coefficients en module et la norme sur les matrices le max de la norme 1 de M.x, pour x de module 1.
224
On appelle ρ(A) le rayon spectral de A : le maximum des modules des valeurs propres de A.
Avec la norme 1 la somme des coefficients en module et la norme sur les matrices le max de la norme 1 de M.x, pour x de module 1.
225
226
On appelle nombre algébrique tout nombre complexe racine d’un polynôme à coefficients dans Q, justifier que √(2) + ³√(5) est un nombre algébrique
227
A-t-on A diagonalisable ⇒ ∀Q€IK[X], Q(A) diagonalisable ?
Justif
228
À quoi correspond une matrice compagnon en terme d’endomorphisme
À un endomorphisme cyclique, c’est-à-dire un endomorphisme tel qu’il existe x€E tel que (x, u(x), …, un-1<\sup>(x)) soit une base de E
