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Maths SPE > Séries Numériques > Flashcards

Séries Numériques Flashcards

1
Q

Quand dit-on que la série de termes général converge ?

A
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Q

Qu’appelle-t-on reste d’une série, à quoi faut-il faire attention ?

A
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Q

Qu’appelle-t-on divergence grossière ?

A
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4
Q

Que se passe-t-il lorsqu’on change un nombre fini de termes d’une séries ?

A

On ne modifie pas la nature (convergence/divergence) d’une série en changeant un nombre fini de termes.

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5
Q

Que peut-on dire de la série de combinaison linéaire de suites dont la série converge ?

A
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6
Q

Si (E, ||•||) est un IK-ev de dimension finie p, quand dit-on qu’une de ses séries converge et à quoi revient l’étude de cette série ?

A

Cela revient donc à étudier p fois une série numérique

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7
Q

Déterminer, en justifiant, si cette série convergence ou diverge

A
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8
Q

À quoi peut-on simplement se ramener pour montrer qu’une série à termes positifs est convergente ?
Justif

A
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9
Q

Déterminer si la série converge ou diverge, en justifiant

A
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10
Q

Qu’est-ce que le critère de majoration d’une série à terme strictement positifs ?
Justif

A

Soit (un) et (vn), (un) < (vn) et Σvn converge ⇔ Σun converge

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11
Q

Qu’est-ce que le critère d’équivalence des séries à termes positifs ?

A
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12
Q

Déterminer, en justifiant la nature de la série

A
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13
Q

Que peut-on dire d’une série dont le terme général est la somme d’un suite dont la série converge absolument et d’une autre suite ?

A
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14
Q

Déterminer la nature de sa série

A
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15
Q

Déterminer la nature de la série

A
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16
Q

Que dit Cesaro ?

A

Si une suite tend vers une limite, la moyenne de ses termes tend vers la même limite

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17
Q

Qu’est-ce que la méthode série - intégrale, quand l’utilise-t-on et sous quelles hypothèses ?

A
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18
Q

Comment montrer Riemann ?

A

On prend α≠1, on fait une comparaison série/intégrale et on regarde à la fin en fonction de la valeur de α

Comparaison série/intégrale avec α=1

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19
Q

Qu’est-ce que la règle du (n^α × un) ?
Justif

A
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20
Q

Qu’est-ce que la règle du (n × un) ?
Justif

A
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21
Q
A
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22
Q
A
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23
Q

Qu’est-ce que le critère de d’Alembert ?

A
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24
Q

Quand sait-on que le critère de d’Alembert va être utile ?

A

Lorsqu’on a de la factorielle dans un

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25
Q

Démontrer le critère de d’Alembert

A
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26
Q

Montrer que la série exponentielle converge

A
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27
Q

Montrer qu’on ne peut pas utiliser d’Alembert

A
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28
Q

Qu’est-ce que la formule de Stirling ?

A
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29
Q

Comment démonter la formule de Stirling ?

A
  • Poser un = n! × (e/n)^n × 1/√(n)
  • Montrer que sa limite existe et est strictement positive
  • Montrer qu’elle vaut √(2π)
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30
Q

Déterminer une relation de récurrence

A

n+1/n+2*

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31
Q

Faire la première partie de la démonstration de Stirling

A
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32
Q

Quel est l’équivalent de Wn ?

A

√(π/2n)

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33
Q

Démontrer l’équivalent de Wn et en déduire la nature de ΣWn

A

Diverge*

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34
Q

Déterminer sa nature, en fonction de la valeur de β, pour α=1

A

Par changement d’indice u=ln(t) en bas

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35
Q

Faire les cas α<1 et α>1

A
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36
Q

Résumer les séries de Bertrand

A

C’est une sorte de généralisation de la série de Riemann

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37
Q

Déterminer la nature de sa série

A
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38
Q

Donner l’équivalent de la série harmonique

A

Σ1/n ~ ln(n)

39
Q
A
40
Q

Qu’est-ce que le théorème de la convergence absolue

A
41
Q

Comment montrer le théorème de la convergence absolue ?

A
  • Exprimer |un| grâce aux parties positive et négative
  • En déduire que les séries des parties positive et négative converge
  • En déduire que la série des un converge
42
Q

Peut-on dire que Σ(k=1 → 2n)(ak) = Σ(k=1 → n)(a(2k))

A

Non pas du tout, dans le premier cas on prends les 2n premiers termes, dans le second on prend les n premiers termes pairs

43
Q

Lorsqu’on sait que la série est convergente, à quoi faut-il faire attention dans l’expression du reste d’ordre N ?

A

La somme commence à N+1, pas à N

44
Q

Si Σ∞(an + bn) est définie, que peut-on dire ?

A

Rien, ce n’est pas parce qu’une somme converge que chaque partie converge

45
Q

A quoi faut-il faire attention lorsqu’on traite une somme géométrique ?

A

Bien faire attention au cas où la raison vaut 1 et sinon bien préciser |q| < 1

46
Q

A quoi faut-il faire attention dans le critère d’équivalence ?

A

Il faut bien que la série soit à termes positifs

47
Q

A quoi faut-il faire attention lorsqu’on applique la règle de d’Alembert ?

A

Il ne faut pas oublier de montrer et préciser que an > 0 à partir d’un certain rang

48
Q

Quel est l’équivalent de cos(x) -1 en 0 ?

A

-x²/2

49
Q

Comment vérifier directement si on a le droit d’effectuer une opération sur les équivalents ?

A

Refaire très rapidement le quotient et regarder s’il tend vers 1 (ça va vite)

50
Q

Lorsqu’on utilise la méthode du n^α × un, que ne faut-il pas oublier de dire pour conclure ?

A

« Donc un = o(1/n^α) »

51
Q

Si on passe à la puissance dans un équivalent, avec la puissance αn dépend de n, que ne faut-il pas oublier de préciser ?

A

«Car αn est bornée»

52
Q

Comment remontrer que |sin(x)| < |x| ?

A
  • |sin’| = |cos| ≤ 1
  • Donc, d’après l’inégalité des accroissements finis, …
  • En particulier, pour y = 0, |sin(x)| < |X|
53
Q

Lorsqu’on a du sin dans une série, qu’utilise-t-on fréquemment pour montrer la convergence ?

A

|sin(x)| ≤ |x|

54
Q

Lorsqu’on fait un DL, comment savoir à quel ordre on s’arrête ?

A

Il faut faire attention aux multiplications etc… après, pour finalement avoir dans le o() un terme dont la série est absolument convergente (pas juste convergente)

55
Q

Définir le produit de Cauchy

A
56
Q

Quel est le théorème de Cauchy ?

A
57
Q

Démontrer le théorème de Cauchy dans le cas des séries positives

A
58
Q

Montrer le cas général

A
59
Q

Montrer que la dérivée de la somme de la série est la somme de la série des dérivées, pour une suite géométrique convergente

A
60
Q

A quoi faut-il faire attention lorsqu’on utilise le produit de Cauchy ?

A

Il faut bien vérifier que les deux sont absolument convergentes (et pas juste convergentes)

61
Q

Qu’appelle-t-on série semi-convergente ?

A
62
Q

Que vaut la somme de la série « harmonique alternée » ?

A

-ln(2)

63
Q

Comment re démontrer la somme de la série «harmonique alternée» ?

A
64
Q

Qu’est-ce que le critère spécial des séries alternées ?
Justif

A

Donc (S2n) est décroissante et (S2n+1) croissante

65
Q

Montrer que le critère spécial des séries alternées ne marche pas

A

Cela montre qu’il faut faire attention, en réalité (un) n’est pas décroissant

66
Q

À quoi faut-il faire attention dans une majoration ?

A

On met les valeurs absolues (surtout pour avoir du sens dans les complexes)

67
Q

Que peut-on dire, dans quel cas, du reste d’une série semi-convergente ?
Justif

A
68
Q

Comment déterminer le signe de la somme d’une série alternée ?

A

On utilise la propriété avec le reste en partant de 0

69
Q

Que vaut le signe de cette fonction ?

A

C’est le signe de v0(x)

70
Q

Comment montrer que cette fonction est bornée ?

A

|f(x)| ≤ |v0(x)|, il faut majorer v0(x)

71
Q

Démontrer

A

Méthode :

  • effectuer une transformation d’Abel sur le «reste» non-infini
  • majorer alors le reste en faisant disparaître tous les terme en um, il ne reste que du un
  • passer en la limite en m
  • conclure que le reste tend vers 0

Alors, la série converge

72
Q

Analogie suite - fonction

A
73
Q

À quelle condition peut-on utiliser la formule de Moivre ?

A

Si et seulement si l’exposant est un entier ! Attention

74
Q

Même si le transformation d’Abel n’est pas au programme, comment peut-on l’utiliser ?

A

Si on reconnait le produit d’une suite bornée et d’une suite qui tend vers 0, on peut refaire la démo en l’appliquant à ce cas particulier

75
Q

Comment montrer dans des séries que, dans le terme général, l’exponentielle ou le logarithme l’emportent ou non et donc font converger ou diverger ?

A

Utiliser la technique du n^α ou du n et la croissance comparée

76
Q

À quoi faut-il penser lorsqu’on voit une série avec du …/n! ?

A

À la série exponentielle, à la formule de Stirling et au critère de D’Alembert

77
Q

Qu’est-ce qui indique qu’on va peut-être devoir utiliser un produit de Cauchy ?

A

S’il y a déjà une somme dans le un

78
Q

Comment encadrer la limite d’une série alternée qui respecte le critère spécial des séries alternées

A

Car les sous-suites paires et impaires sont adjacentes !

79
Q

Lorsqu’on a une somme de quelques termes dans un gros produit Π, que peut-on faire rapidement qui peut faire gagner beaucoup de temps ?

A

Tout mettre au même dénominateur si c’est rapide pour voir si l’on n’a pas un télescopage multiplicatif

80
Q

Quand a-t-on ln(1+n) ~ ln(n) ?

A

En +∞ : ln(1+n)/ln(n) = [ln(n) + ln(1+1/n)]/ln(n) = 1 + ln(1+1/n)/ln(n) → 1

81
Q

Démontrer Césaro

A
82
Q

Quelles sont les trois techniques pour étudier le terme général d’une série non absolument convergente ?

A
  • Le critère spécial des séries alternées
  • La transformation d’Abel
  • L’égalité de Taylor-Lagrange
83
Q

Dans quel cas peut-on exploiter l’analogie suite-fonction pour trouver un équivalent/un DL ?

A

Si on a un = f(n) et f(n) ~ f(n+1) en +∞, on appelle F une primitive de f et on étudie la dérivée discrète F(n+1) - F(n), en faisant des DL etc…

84
Q

À quoi faut-il penser si on a du cos(Arctan) ou du tan(Arccos) ?

A

On peut utiliser l’égalité 1 + tan² = 1/cos² pour simplifier

85
Q

À quoi faut-il faire attention lorsqu’on utilise la partie entière ?

A

C’est la partie entière INFÉRIEURE, donc x - 1 < ⌊x⌋ ≤ x (et pas x ≤ ⌊x⌋ < x +1)

86
Q

Comment montrer qu’une série de la forme Σa/b^n converge, à quelle condition ?

A

Elle vaut a × Σ1/b^n , qui converge à condition que -1 < 1/b < 1

87
Q

Lorsqu’on a une suite de type u(n+1) = f(un), comment l’étudier ?

A
  • On commence par vérifier que la suite est bien définie, c’est-à-dire qu’il existe un intervalle I stable par f et contenant le premier terme
  • Puis, l’étude du signe de f(x) - x pour x€I fournit la monotonie de la suite, et donc la convergence (ou divergence) par théorème de la monotone
  • Une fois la convergence acquise, la limite est déterminée par une équation de point fixe si la fonction f est continue en la valeur de la limite
88
Q

Comment justifier si on veut utiliser les inégalités : ln(1+x) ≤ x ou e^x ≥ x +1 ?

A

«Par convexité de la fonction exp sur IR, en utilisant l’équation de la tangente à exp en x=0 : ∀x€IR, e^x ≥ x + 1»

89
Q

Si on a une suite de type u(n+1) = f(un) et qu’on a établi que f(x) ≥ x, comment dire que (un) est croissante ?

A

«En x = un, u(n+1) ≥ un, donc (un) est croissante»

90
Q

Quel argument ne faut-il pas oublier pour dire que f(l) = l, avec l€I la limite d’une suite de type u(n+1) = f(un) ?

A

«Par continuité de f sur I, f(l) = l»

91
Q

Si on a établi que f(l) = l pour une suite définie par u(n+1) = f(un) et que la limite est évidente, comment rédiger ?

A

«Or, g : x → f(x) - x est strictement croissante/décroissante et continue sur IR, par théorème de bijection elle y est donc aussi bijective.

Ainsi, l’équation g(x) = 0 admet une unique solution.

Puisque l=0 est solution, lim(n → +∞)(un) = l»

92
Q

Si u(n+1) = f(un) converge, comment peut-on parfois montrer que Σ(un)^α, avec α connu appartenant à IN converge ?

A
  • On fait une développement limité de u(n+1) = f(un)
  • Si on a u(n+1) - un = (un)^α + o((un)^α), on a u(n+1) - un ~ (un)^α
  • Par critère d’équivalence des STP, Σ(un)^α est de même nature que Σ(u(n+1) - un) donc de même nature que (un)
  • Donc (un)^α converge
93
Q

Lorsqu’on veut faire une somme dans un DL pour télescoper et avoir la nature de la série, mais qu’on ne peut pas car il y a le o(…), comment faire ?

A

C’est tout simple ! On dit seulement que :

  • an ~ u(n+1) - u(n)
  • Donc Σan est de même nature que Σ(u(n+1) - un), qui est de la même nature que (un)
  • Donc Σ(u(n+1) - u(n)) converge/diverge et par critère suite-série, Σan converge/diverge par critère de comparaison des STP

On repasse par les équivalents pour s’affranchir du o(…) et on utilise le critère d’équivalence comme d’habitude, car on est arrivé au but voulu : il ne faut pas oublier qu’on repasse par le terme général de la série simplement pour trouver un équivalent dont la série converge, et là c’est bon

94
Q

Comment rédiger lorsqu’on utilise le théorème de Cauchy ?

A

«wn = …, on reconnaît le terme général de la série produit de Cauchy des séries Σun et Σvn qui sont absolument convergentes. Alors, …»

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