Séries Numériques Flashcards
Quand dit-on que la série de termes général converge ?
Qu’appelle-t-on reste d’une série, à quoi faut-il faire attention ?
Qu’appelle-t-on divergence grossière ?
Que se passe-t-il lorsqu’on change un nombre fini de termes d’une séries ?
On ne modifie pas la nature (convergence/divergence) d’une série en changeant un nombre fini de termes.
Que peut-on dire de la série de combinaison linéaire de suites dont la série converge ?
Si (E, ||•||) est un IK-ev de dimension finie p, quand dit-on qu’une de ses séries converge et à quoi revient l’étude de cette série ?
Cela revient donc à étudier p fois une série numérique
Déterminer, en justifiant, si cette série convergence ou diverge
À quoi peut-on simplement se ramener pour montrer qu’une série à termes positifs est convergente ?
Justif
Déterminer si la série converge ou diverge, en justifiant
Qu’est-ce que le critère de majoration d’une série à terme strictement positifs ?
Justif
Soit (un) et (vn), (un) < (vn) et Σvn converge ⇔ Σun converge
Qu’est-ce que le critère d’équivalence des séries à termes positifs ?
Déterminer, en justifiant la nature de la série
Que peut-on dire d’une série dont le terme général est la somme d’un suite dont la série converge absolument et d’une autre suite ?
Déterminer la nature de sa série
Déterminer la nature de la série
Lorsqu’on a u(n+1) = f(un) :
- l’ensemble auquel appartient u0 est stable par f
- f décroissante / croissante et minorée / majorée (d’après le point précédent ça), donc admet une limite
- unicité de la limite et Id - f bijective
- donc l = 0 convient et est la seule possibilité
- développement asymptotique de un
Ici, on a quelque chose de la forme u(n+1) = un + … dans le développement asymptotique, on fait alors la «méthode du α» :
- on choisit bien α pour avoir un o(1)
- on utilise Cesaro
- on conclut
Que dit Cesaro ?
Si une suite tend vers une limite, la moyenne de ses termes tend vers la même limite
Qu’est-ce que la méthode série - intégrale, quand l’utilise-t-on et sous quelles hypothèses ?
Donc la somme des un = f(n) converge ssi l’intégrale de f sur [0, +∞[ converge
Comment montrer Riemann ?
On prend α≠1, on fait une comparaison série/intégrale et on regarde à la fin en fonction de la valeur de α
Comparaison série/intégrale avec α=1
Qu’est-ce que la règle du (n^α × un) ?
Justif
Qu’est-ce que la règle du (n × un) ?
Justif
Qu’est-ce que le critère de d’Alembert ?
Quand sait-on que le critère de d’Alembert va être utile ?
Lorsqu’on a de la factorielle dans un