Séries Numériques Flashcards
Quand dit-on que la série de termes général converge ?
Qu’appelle-t-on reste d’une série, à quoi faut-il faire attention ?
Qu’appelle-t-on divergence grossière ?
Que se passe-t-il lorsqu’on change un nombre fini de termes d’une séries ?
On ne modifie pas la nature (convergence/divergence) d’une série en changeant un nombre fini de termes.
Que peut-on dire de la série de combinaison linéaire de suites dont la série converge ?
Si (E, ||•||) est un IK-ev de dimension finie p, quand dit-on qu’une de ses séries converge et à quoi revient l’étude de cette série ?
Cela revient donc à étudier p fois une série numérique
Déterminer, en justifiant, si cette série convergence ou diverge
À quoi peut-on simplement se ramener pour montrer qu’une série à termes positifs est convergente ?
Justif
Déterminer si la série converge ou diverge, en justifiant
Qu’est-ce que le critère de majoration d’une série à terme strictement positifs ?
Justif
Soit (un) et (vn), (un) < (vn) et Σvn converge ⇔ Σun converge
Qu’est-ce que le critère d’équivalence des séries à termes positifs ?
Déterminer, en justifiant la nature de la série
Que peut-on dire d’une série dont le terme général est la somme d’un suite dont la série converge absolument et d’une autre suite ?
Déterminer la nature de sa série
Déterminer la nature de la série
Lorsqu’on a u(n+1) = f(un) :
- l’ensemble auquel appartient u0 est stable par f
- f décroissante / croissante et minorée / majorée (d’après le point précédent ça), donc admet une limite
- unicité de la limite et Id - f bijective
- donc l = 0 convient et est la seule possibilité
- développement asymptotique de un
Ici, on a quelque chose de la forme u(n+1) = un + … dans le développement asymptotique, on fait alors la «méthode du α» :
- on choisit bien α pour avoir un o(1)
- on utilise Cesaro
- on conclut
Que dit Cesaro ?
Si une suite tend vers une limite, la moyenne de ses termes tend vers la même limite
Qu’est-ce que la méthode série - intégrale, quand l’utilise-t-on et sous quelles hypothèses ?
Donc la somme des un = f(n) converge ssi l’intégrale de f sur [0, +∞[ converge
Comment montrer Riemann ?
On prend α≠1, on fait une comparaison série/intégrale et on regarde à la fin en fonction de la valeur de α
Comparaison série/intégrale avec α=1
Qu’est-ce que la règle du (n^α × un) ?
Justif
Qu’est-ce que la règle du (n × un) ?
Justif
Qu’est-ce que le critère de d’Alembert ?
Quand sait-on que le critère de d’Alembert va être utile ?
Lorsqu’on a de la factorielle dans un
Démontrer le critère de d’Alembert
Montrer que la série exponentielle converge
Montrer qu’on ne peut pas utiliser d’Alembert
Qu’est-ce que la formule de Stirling ?
Comment démonter la formule de Stirling ?
- Poser un = n! × (e/n)^n × 1/√(n)
- Montrer que sa limite existe et est strictement positive
- Montrer qu’elle vaut √(2π)
Déterminer une relation de récurrence
n+1/n+2*
Faire la première partie de la démonstration de Stirling
Quel est l’équivalent de Wn ?
√(π/2n)
Démontrer l’équivalent de Wn et en déduire la nature de ΣWn
Diverge*
Déterminer sa nature, en fonction de la valeur de β, pour α=1
Par changement d’indice u=ln(t) en bas
Faire les cas α<1 et α>1
Résumer les séries de Bertrand
C’est une sorte de généralisation de la série de Riemann
Déterminer la nature de sa série
Donner l’équivalent de la série harmonique
Σ1/n ~ ln(n)
Par faire la démo comme ça, juste faire Raabe-Duhamel :
- poser vn = un × nβ
- faire le DL de v(n+1)/vn
- en déduire que Σln(v(n+1)) - ln(vn)
- donc ln(vn) converge vers a€IR
- donc vn converge vers exp(a) = λ > 0
- donc un × nβ / λ → 1
- donc un ~ λ/nβ qui converge si et seulement si β > 1
Qu’est-ce que le théorème de la convergence absolue
Comment montrer le théorème de la convergence absolue ?
- Exprimer |un| grâce aux parties positive et négative
- En déduire que les séries des parties positive et négative converge
- En déduire que la série des un converge
Peut-on dire que Σ(k=1 → 2n)(ak) = Σ(k=1 → n)(a(2k))
Non pas du tout, dans le premier cas on prends les 2n premiers termes, dans le second on prend les n premiers termes pairs
Lorsqu’on sait que la série est convergente, à quoi faut-il faire attention dans l’expression du reste d’ordre N ?
La somme commence à N+1, pas à N
Si Σ∞(an + bn) est définie, que peut-on dire ?
Rien, ce n’est pas parce qu’une somme converge que chaque partie converge
A quoi faut-il faire attention lorsqu’on traite une somme géométrique ?
Bien faire attention au cas où la raison vaut 1 et sinon bien préciser |q| < 1
A quoi faut-il faire attention dans le critère d’équivalence ?
Il faut bien que la série soit à termes positifs
A quoi faut-il faire attention lorsqu’on applique la règle de d’Alembert ?
Il ne faut pas oublier de montrer et préciser que an > 0 à partir d’un certain rang
Quel est l’équivalent de cos(x) -1 en 0 ?
-x²/2
Comment vérifier directement si on a le droit d’effectuer une opération sur les équivalents ?
Refaire très rapidement le quotient et regarder s’il tend vers 1 (ça va vite)
Lorsqu’on utilise la méthode du n^α × un, que ne faut-il pas oublier de dire pour conclure ?
« Donc un = o(1/n^α) »
Si on passe à la puissance dans un équivalent, avec la puissance αn dépend de n, que ne faut-il pas oublier de préciser ?
«Car αn est bornée»
Comment remontrer que |sin(x)| < |x| ?
- |sin’| = |cos| ≤ 1
- Donc, d’après l’inégalité des accroissements finis, …
- En particulier, pour y = 0, |sin(x)| < |X|
Lorsqu’on a du sin dans une série, qu’utilise-t-on fréquemment pour montrer la convergence ?
|sin(x)| ≤ |x|
Lorsqu’on fait un DL, comment savoir à quel ordre on s’arrête ?
Il faut faire attention aux multiplications etc… après, pour finalement avoir dans le o() un terme dont la série est absolument convergente (pas juste convergente)
Définir le produit de Cauchy
Quel est le théorème de Cauchy ?
Démontrer le théorème de Cauchy dans le cas des séries positives
Montrer le cas général
A quoi faut-il faire attention lorsqu’on utilise le produit de Cauchy ?
Il faut bien vérifier que les deux sont absolument convergentes (et pas juste convergentes)
Qu’appelle-t-on série semi-convergente ?
Que vaut la somme de la série « harmonique alternée » ?
-ln(2)
Comment re démontrer la somme de la série «harmonique alternée» ?
DSE de ln(1-x) appliqué en x = -1
Qu’est-ce que le critère spécial des séries alternées ?
Justif
Donc (S2n) est décroissante et (S2n+1) croissante,
Or S(2n+1) - S(2n) → 0
Donc les deux suites sont adjacentes et par théorème admettent une même limite.
Étudier la nature de Σun
Cela montre qu’il faut faire attention, en réalité (un) n’est pas décroissant
Signe variable : développement asymptotique jusqu’à un ordre absolument convergent
À quoi faut-il faire attention dans une majoration ?
On met les valeurs absolues (surtout pour avoir du sens dans les complexes)
Que peut-on dire, dans quel cas, du reste d’une série semi-convergente ?
Justif
Comment déterminer le signe de la somme d’une série alternée ?
On utilise la propriété avec le reste en partant de 0 (ou de 1 si la série commence à 1) : la série est du même signe que son premier terme
Que vaut le signe de cette fonction ?
C’est le signe de v0(x)
Comment montrer que cette fonction est bornée ?
|f(x)| ≤ |v0(x)|, il faut majorer v0(x)
Démontrer
Méthode :
- effectuer une transformation d’Abel sur le «reste» non-infini
- majorer alors le reste en faisant disparaître tous les terme en um, il ne reste que du un
- passer en la limite en m
- conclure que le reste tend vers 0
Alors, la série converge
Analogie suite - fonction
À quelle condition peut-on utiliser la formule de Moivre ?
Si et seulement si l’exposant est un entier ! Attention
Même si le transformation d’Abel n’est pas au programme, comment peut-on l’utiliser ?
Si on reconnait le produit d’une suite donc les sommes partielles de la série sont bornées et d’une suite qui tend vers 0, on peut refaire la démo en l’appliquant à ce cas particulier
Comment montrer dans des séries que, dans le terme général, l’exponentielle ou le logarithme l’emportent ou non et donc font converger ou diverger ?
Utiliser la technique du n^α ou du n et la croissance comparée
À quoi faut-il penser lorsqu’on voit une série avec du …/n! ?
Aux DSE, à la formule de Stirling (donc au critère de Raabe-Duhamel) et au critère de D’Alembert
Qu’est-ce qui indique qu’on va peut-être devoir utiliser un produit de Cauchy ?
S’il y a déjà une somme dans le un
Comment encadrer la limite d’une série alternée qui respecte le critère spécial des séries alternées
Justif
Car les sous-suites paires et impaires sont adjacentes !
Lorsqu’on a une somme de quelques fractions dans un gros produit Π, que peut-on faire rapidement qui peut faire gagner beaucoup de temps ?
Tout mettre au même dénominateur si c’est rapide pour voir si l’on n’a pas un télescopage multiplicatif
Quand a-t-on ln(1+n) ~ ln(n) ?
En +∞ : ln(1+n)/ln(n) = [ln(n) + ln(1+1/n)]/ln(n) = 1 + ln(1+1/n)/ln(n) → 1
Démontrer Césaro
Quelles sont les trois techniques pour étudier le terme général d’une série non absolument convergente ?
- Le critère spécial des séries alternées
- La transformation d’Abel
- L’égalité de Taylor-Lagrange
Dans quel cas peut-on exploiter l’analogie suite-fonction pour trouver un équivalent/un DL ?
Si on a un = f(n) et f(n) ~ f(n+1) en +∞, on appelle F une primitive de f et on étudie la dérivée discrète F(n+1) - F(n), en faisant des DL etc…
À quoi faut-il penser si on a du cos(Arctan) ou du tan(Arccos) ?
On peut utiliser l’égalité 1 + tan² = 1/cos² pour simplifier
À quoi faut-il faire attention lorsqu’on utilise la partie entière ?
C’est la partie entière INFÉRIEURE, donc x - 1 < ⌊x⌋ ≤ x (et pas x ≤ ⌊x⌋ < x +1)
Comment montrer qu’une série de la forme Σa/b^n converge, à quelle condition ?
Elle vaut a × Σ1/b^n , qui converge à condition que -1 < 1/b < 1
Lorsqu’on a une suite de type u(n+1) = f(un), comment l’étudier ?
- On commence par vérifier que la suite est bien définie, c’est-à-dire qu’il existe un intervalle I stable par f et contenant le premier terme
- Puis, l’étude du signe de f(x) - x pour x€I fournit la monotonie de la suite, et donc la convergence (ou divergence) par théorème de la monotone
- Une fois la convergence acquise, la limite est déterminée par une équation de point fixe si la fonction f est continue en la valeur de la limite
Comment justifier si on veut utiliser les inégalités : ln(1+x) ≤ x ou e^x ≥ x +1 ?
«Par convexité de la fonction exp sur IR, en utilisant l’équation de la tangente à exp en x=0 : ∀x€IR, e^x ≥ x + 1»
Si on a une suite de type u(n+1) = f(un) et qu’on a établi que f(x) ≥ x, comment dire que (un) est croissante ?
«En x = un, u(n+1) ≥ un, donc (un) est croissante»
Quel argument ne faut-il pas oublier pour dire que f(l) = l, avec l€I la limite d’une suite de type u(n+1) = f(un) ?
«Par continuité de f sur I, f(l) = l»
Si on a établi que f(l) = l pour une suite définie par u(n+1) = f(un) et que la limite est évidente, comment rédiger ?
«Or, g : x → f(x) - x est strictement croissante/décroissante et continue sur IR, par théorème de bijection elle y est donc aussi bijective.
Ainsi, l’équation g(x) = 0 admet une unique solution.
Puisque l=0 est solution, lim(n → +∞)(un) = l»
Lorsqu’on veut faire une somme dans un DL pour télescoper et avoir la nature de la série, mais qu’on ne peut pas car il y a le o(…), comment faire ?
C’est tout simple ! On dit seulement que :
- an ~ u(n+1) - u(n)
- Donc Σan est de même nature que Σ(u(n+1) - un), qui est de la même nature que (un)
- Donc Σ(u(n+1) - u(n)) converge/diverge et par critère suite-série, Σan converge/diverge par critère de comparaison des STP
On repasse par les équivalents pour s’affranchir du o(…) et on utilise le critère d’équivalence comme d’habitude, car on est arrivé au but voulu : il ne faut pas oublier qu’on repasse par le terme général de la série simplement pour trouver un équivalent dont la série converge, et là c’est bon
Comment rédiger lorsqu’on utilise le théorème de Cauchy ?
«wn = …, on reconnaît le terme général de la série produit de Cauchy des séries Σun et Σvn qui sont absolument convergentes. Alors, …»
Comment caractériser la convergence d’une série numérique à partir de son reste ?
Elle converge si son reste tend vers 0
Comment savoir qu’on doit utiliser une comparaison série intégrale ?
Que peut-on alors dire ?
Justif
Alors, vn converge vers un réel λ>0
Qu’est-ce que la règle de Raabe-Duhamel ? (HP)
Justif
- poser vn = un/nα
- faire le DL de v(n+1)/vn
- en déduire le DL que ln(v(n+1)) - ln(vn) = O(1/n²)
- en déduire que ln(vn) converge vers a€IR
- donc un/λ.nα → 1, avec λ = exp(a) > 0
Quand la règle de Raabe-Duhamel est-elle particulièrement utile ?
Pour étudier les produits infinis
À quoi doit-on penser si on veut un équivalent d’un produit infini ?
À la règle de Raabe-Duhamel
(On fait le quotient du produit en n+1 et du produit en n)
Comment étudier la convergence du produit ?
Comment étudier une intégrale par une série ?
Comment déterminer la valeur d’une somme infinie par Taylor-Lagrange ? Dans quel cas ?
Souvent lorsqu’on reconnaît la forme d’un DL usuel (c’est ce qu’on fait avec les DSE)
Montrer la somme de la série harmonique alternée par Taylor-Lagrange
Récapitulatif du chapitre
- divergence grossière
- série géométrique
- série de Riemann
- télescopage
- produit de Cauchy
- Taylor-Lagrange
- multiplication par n² et → 0
- comparaisons série/intégrale sur la somme partielle et le reste
- convergence d’une STP si majorée
- convergence d’une STP par comparaison et comparaison des sommes
- convergence d’une STP par domination, négligeabilité et équivalence
- formule de Stirling
- divergence d’une STP par comparaison
- convergence absolue
- convergence d’une série alternée par le CSSA
- majoration du reste par le CSSA
- encadrement de Sn par le CSSA
- transformation d’Abel (pour la série du produit d’une suite décroissante vers 0 et d’une suite bornée en module)
- détermination d’une CNS de convergence par le critère d’équivalence des STP
- montrer la convergence/divergence de chaque terme pour conclure sur la convergence/divergence de la somme
- en particulier, pour les séries de signes variable, faire un DL jusqu’à un ordre ACV et montrer la convergence/divergence de chaque terme
- lien suite/série
- règle de Raabe-Duhamel
- étude d’un produit infini
Comment calculer la somme des cos(k.x) ou des sin(k.x) ?
- Exprimer cos ou sin comme une partie réelle ou imaginaire
- Distinguer les cas selon la valeur de x :
- Somme d’une série géométrique
- Arc-moitié
- Formules de produits de sin et cos si on veut se ramener à une forme différente
Si on a une inégalité avec du |x|k + |x|l et qu’on veut la majorer par un seul |x|? sur tout IR, on a un problème car au passage sous 1 l’ordre de l’inégalité s’inverse. Comment faire ?
On majore par 1 + |x|?
Qu’est-ce qu’en fait juste l’inégalité des accroissement finis ?
C’est juste une inégalité triangulaire
Faire un récapitulatif des méthodes pour montrer la convergence d’une série à termes positifs
Faire un récapitulatif des méthodes pour montrer la convergence d’une série quelconque
Quels sont les méthodes/théorèmes correspondant à certains types de suites, que l’on peut utiliser (à redémontrer pour la plupart) pour montrer une convergence ou une divergence de série ?
Comment faire ?
Puisque Σ1/n² converge absolument, par sommation par paquets sur les termes pairs et impairs, on calcule la première comme différence de tout et des paires, et la seconde comme les impairs - les pairs
Qu’est-ce que le théorème de sommation des équivalents pour les séries positives ?
Justif
Comment démontrer les théorèmes de sommations des équivalents pour les termes positifs ?
- Pour les o :
- pour celui de la convergence on traduit juste l’hypothèse en quantificateurs et on utilise l’inégalité triangulaire
- pour celui de la divergence on fait à peu près pareil en faisant une preuve de type Cesaro
- Pour les ~ :
- on utilise juste les trucs précédents en disant que an ~ bn ⇔ an - bn = o(bn)
Ficher l’exo 15 du td
Montrer que la série harmonique alternée converge puis calculer sa somme de quatre manières différentes
exo 16 du TD + DSE de ln(1-x)
Comment montrer cela ?
- pour k€[|2, +∞[|, on exprime (ζ(k) - 1)/k
- on somme sur k
- on utilise Fubini car tous les termes sont positifs
- on reconnait ln(1 - 1/n) - 1/n (DSE - 1er terme)
- pour n dans IN, n ≥ 2, on développe l’expression
- on en déduit que ça vaut γ en sommant jusqu’à N puis en faisant tendre N → +∞
De toute façon, dès qu’on a du ζ dans une somme on utilise Fubini
