Suites Et Séries De Fonctions Flashcards
Définir une suite de fonction, B(I, IK) et une norme dessus
Définir la convergence simple et traduire en quantificateurs
Chaque élément a une limite par fn, indépendamment des autres
Déterminer la limite simple
Définir la convergence uniforme et traduire en quantificateurs
On peut toujours trouver un rang à partir duquel, en tout x, la fonction est assez proche de sa limite. C’est différent de la convergence simple car on peut avoir une suite qui tend en tout point vers une fonction mais pour chaque rang on peut aller un peu plus loin et dépasser ε en un certain point.
Il faut donc que fn converge vers f à la même vitesse en tout point.
Comment fait-on généralement pour déterminer la limite uniforme d’une suite de fonctions fn ?
Déterminer si cette suite converge uniformément
Montrer que cette fonction tend uniformément vers 0 sur [a,1], a>0
On peut juste majorer par n.e-n.a
Montrer que fn ne converge pas uniformément sur [0,1] et trouver un intervalle sur lequel elle converge uniformément
Comment passer par une suite auxiliaire pour montrer que fn converge uniformément ?
Comment passer par une suite auxiliaire pour montrer que (fn)n€N ne converge pas uniformément vers f ?
Alors on a M tel que, quelque soit n, on aura toujours un endroit où la fonction est supérieure à M, le sup sera donc toujours supérieur à M et ne peut pas tendre vers 0
C’est-à-dire : trouver une suite (xn) telle que sup|fn - f| ≥ xn pour tout n€IN et xn ne tendant pas vers 0
Montrer que la limite uniforme d’une suite de fonctions continues est continue
Sur quel ensemble et à quelle condition peut-on récupérer la continuité de f ?
Justif
Qu’est-ce que la conservation de la classe C1 par la convergence uniforme ?
- toutes les fonctions de classe C1
- hypothèse faible sur les fn
- hypothèse forte sur les fn’
Qu’est-ce que la conservation de la convergence uniforme par primitivation ? Quel résultat va avec ?
Justif
Soit ε>0, il existe alors n0 tel que … (car CVU),
Soit n ≥ n0, x€I,*
Justif la conservation de la classe C1 par la convergence uniforme
Car fn’…* au lieu de «Et»
Qu’est-ce que le théorème de la double limite ?
- hypothèse forte sur I
- a€/I
- la limite en a existe pour chaque fonction
(Pas convergence simple mais juste convergence lorsque n → +∞)
Justif
(1+z/n)^n*
Définir les trois types de convergence pour une série de fonctions
Définir les convergences simple et uniforme sur les séries
Quelle est la méthode pour montrer qu’une série converge uniformément sur un intervalle I ?
Avant tout, essayer de montrer la CVN
Définir la convergence normale pour les séries
Étudier la convergence normale puis uniforme
∀x€V1 au lieu de ∀x€]1,+∞[*
(V1 = voisinage de 1)
Il aurait d’abord fallu dire que Σ1/n^x CVS (Riemann) pour avoir le droit d’écrire la somme de la série !
Définir et montrer la régularité de la continuité par la convergence uniforme pour les séries.
Justif
Comment peut-on montrer que la limite d’une série de fonctions est continue, sans avoir la convergence uniforme sur tout l’intervalle ?
À quoi faut-il faire attention ?
Ça donne l’idée, car si continue sur J, continue en x0€J, il faut re démontrer en deux lignes à chaque fois