Suites Et Séries De Fonctions

Question 1

Définir une suite de fonction, B(I, IK) et une norme dessus

Answer 1

Question 2

Définir la convergence simple et traduire en quantificateurs

Answer 2

Chaque élément a une limite par fn, indépendamment des autres

Question 3

Déterminer la limite simple

Answer 3

Question 4

Définir la convergence uniforme et traduire en quantificateurs

Answer 4

On peut toujours trouver un rang à partir duquel, en tout x, la fonction est assez proche de sa limite. C’est différent de la convergence simple car on peut avoir une suite qui tend en tout point vers une fonction mais pour chaque rang on peut aller un peu plus loin et dépasser ε en un certain point.

Il faut donc que fn converge vers f à la même vitesse en tout point.

Question 5

Comment fait-on généralement pour déterminer la limite uniforme d’une suite de fonctions fn ?

Answer 5

• on détermine sa limite simple f
• on montre que la borne supérieure de |fn - f| tend vers 0 lorsque n → +∞
• alors la suite de fonction fn tend uniformément vers f

Question 6

Déterminer si cette suite converge uniformément

Answer 6

Question 7

Montrer que cette fonction tend uniformément vers 0 sur [a,1], a>0

Answer 7

Question 8

Montrer que fn ne converge pas uniformément sur [0,1] et trouver un intervalle sur lequel elle converge uniformément

Answer 8

Question 9

Comment passer par une suite auxiliaire pour montrer que fn converge uniformément ?

Answer 9

Question 10

Comment passer par une suite auxiliaire pour montrer que (fn)n€N ne converge pas uniformément vers f ?

Answer 10

Alors on a M tel que, quelque soit n, on aura toujours un endroit où la fonction est supérieure à M, le sup sera donc toujours supérieur à M et ne peut pas tendre vers 0

Question 11

Montrer que la limite uniforme d’une suite de fonctions continues est continue

Answer 11

Question 12

Sur quel ensemble et à quelle condition peut-on récupérer la continuité de f ?
Justif

Answer 12

Question 13

Qu’est-ce que la conservation de la classe C1 par la convergence uniforme ?

Answer 13

Question 14

Qu’est-ce que la conservation de la convergence uniforme par primitivation ? Quel résultat va avec ?

Justif

Answer 14

Soit ε>0, il existe alors n0 tel que … (car CVU),
Soit n ≥ n0, x€I,*

Question 15

Justif la conservation de la classe C1 par la convergence uniforme

Answer 15

Car fn’…* au lieu de «Et»

Question 16

Qu’est-ce que le théorème de la double limite ?

Answer 16

Question 17

(Pas convergence simple mais juste convergence lorsque n → +∞)

Justif

(1+z/n)^n*

Answer 17

Erreurs dans les signes et les indices des sommes mais c’est ça

Question 18

Définir les trois types de convergence pour une série de fonctions

Answer 18

Question 19

Définir les convergences simple et uniforme sur les séries

Answer 19

Question 20

Quelle est la méthode pour montrer qu’une série converge uniformément sur un intervalle I ?

Answer 20

Avant tout, essayer de montrer la CVN

Question 21

Définir la convergence normale pour les séries

Answer 21

Question 22

Étudier la convergence normale puis uniforme

Answer 22

∀x€V1 au lieu de ∀x€]1,+∞[*

(V1 = voisinage de 1)

Il aurait d’abord fallu dire que Σ1/n^x CVS (Riemann) pour avoir le droit d’écrire la somme de la série !

Question 23

Définir et montrer la régularité de la continuité par la convergence uniforme pour les séries.
Justif

Answer 23

Question 24

Comment peut-on montrer que la limite d’une série de fonctions est continue, sans avoir la convergence uniforme sur tout l’intervalle ?
À quoi faut-il faire attention ?

Answer 24

Ça donne l’idée, car si continue sur J, continue en x0€J, il faut re démontrer en deux lignes à chaque fois

Question 25

En déduire que la limite simple f est continue sur l’intervalle

Answer 25

Question 26

Montrer que la fonction limite est continue de IR sur IR

Answer 26

Question 27

Qu’est-ce que le théorème d’interversion limite-intégrale sur un segment ? À quoi faut-il faire attention ?

Answer 27

Attention : ce n’est vrai que sur un segment !

Question 28

Calculer une primitive de la suite limite

Answer 28

Question 29

Définir la régularité de la classe C1 par la convergence uniforme pour les séries

Answer 29

Question 30

Montrer que ξ est décroissante sur ]1, +∞[

Answer 30

ln(n)/n^a* au lieu de ln(n)/a à chaque fois

Question 31

Définir la régularité de la classe Ck par la convergence uniforme pour les séries.

Answer 31

Question 32

Qu’est-ce que le théorème de la double limite pour les séries, à quoi faut-il faire attention ?

Answer 32

Il faut bien que a€/I

Question 33

Déterminer la limite en +∞ de la fonction limite de cette série

Answer 33

Question 34

Si, intuitivement, on voit que la fonction limite d’une série va diverger vers +∞, en un point où on ne peut pourtant pas utiliser la double limite, comment faire ?
Dans le cas d’une série à termes positifs

Answer 34

Question 35

En 1

Answer 35

Question 36

Answer 36

Car lim(x → 1+)(ξ(x)) ≥ lim(x → 1+)(Σ(k=1 → n)(1/k^x)

En fait, on étudie la limite de x, tandis qu’on exploite celle de n

Question 37

Answer 37

Question 38

Montrer que la limite de la série est définie sur IR+, qu’elle est C1 sur IR*+, qu’elle n’admet pas de «dérivée par la droite» en 0

Answer 38

Question 39

A quoi faut-il faire attention lorsqu’on utilise la double limite ?

Answer 39

Il faut bien faire tendre vers a€/I, avec f qui converge uniformément sur I

Question 40

Donner, sans justification, la limite de (1 + z/n)^n lorsque n → +∞

Answer 40

C’est e^z = Σ(k=1 → +∞)(z^k/n!), que z soit un réel ou un complexe (c’est en fait comme ça qu’on le définit). Il faut le savoir mais c’est à redémontrer.

Question 41

Comment utiliser les propriétés de régularité pour montrer qu’une fonction ne converge pas uniformément sur un ensemble ?

Answer 41

• on suppose par l’absurde qu’elle y converge vers une fonction f
• on utilise la propriété de régularité qui nous intéresse
• on a alors une information sur f (par rapport à f’, ∫f, ou quoi que ce soit), qui est absurde

Question 42

Si la limite simple d’une suite de fonctions fn continues est discontinue, comment montrer que la suite de fonction ne converge pas uniformément ?

Answer 42

• supposer par l’absurde qu’elle converge uniformément vers f
• alors elle converge simplement vers f
• donc f est discontinue
• or, ∀n€IN, fn est continue, donc par théorème de continuité, f est continue
• c’est absurde

Question 43

Si on veut majorer |fn(t) - f(t)| par un terme qui tend vers 0 lorsque n tend vers +∞, pour passer à la borne supérieure et montrer la convergence uniforme de fn vers f, à quoi faut-il faire attention ?

Answer 43

Il ne faut pas que le terme majorant dépende de t, sinon ça ne marche pas : la définition d’un majorant d’une fonction (ici de t !) nécessite justement qu’il soit une constante de cette variable

Question 44

Si une suite de fonction fn converge uniformément vers 0 et que la série des fn vérifie les hypothèses du critère spécial des séries alternées pour tout x, comment montrer que la série converge uniformément ?

Answer 44

• Soit x€R+, Σfk(x) vérifie les hypothèse du CSdSA (à justifier) et donc converge simplement
• De plus, |Rn(x)| ≤ |fn+1(x)|, avec Rn(x) = …
• Donc |Rn(x)| ≤ … → 0 lorsque n → +∞ (possible car fn+1 elle même y est inférieure puisqu’elle converge)
• Passer au sup et conclure par encadrement

Question 45

Sur IR+

Answer 45

Question 46

Quelles sont les deux méthodes générales pour justifier la convergence normale d’une série de fonctions ?

Answer 46

• Déterminer ||fn||∞ par une étude de fonctions et montrer que sa série est convergente
• Trouver une suite γn telle que |fn(x)| ≤ γn, pour tout x, et Σγn est convergente

Question 47

Quelle est la première chose à faire pour montrer la convergence uniforme d’une série ?

Answer 47

On étudie sa convergence normale en premier

Question 48

Généralement, comment montre-t-on qu’une suite de fonctions fn convergeant simplement vers f n’est pas uniformément convergente ?

Answer 48

On trouve une suite xn telle que fn(xn) - f(xn) ne tende pas vers 0 en +∞. On écrit alors :

||fn - f||∞ = sup(x€IR)|fn(x) - f(x)|
≥ |fn(xn) - f(xn)|/→ 0,

Donc ||fn - f||∞ /→ 0 et fn ne CVU pas vers f

Question 49

Comment rédiger un télescopage en +∞ ?

Answer 49

Écrire Σ∞ = lim(N → +∞)(ΣN) = lim(N → +∞)(…) = …

Question 50

Si on a S la fonction limite d’une série, monotone, et que S(x+1) + S(x) = f(x), avec f(x) ~ f(x+1) en +∞, quelle est la méthode pour trouver un équivalent de S en +∞ ?

Answer 50

• On utilise la monotonie sur x-1 < x < x+1,
• On remplace S(x-1) et S(x+1) pour faire apparaitre S(x)
• On ajoute S(x) partout pour ne l’avoir plus qu’au milieu
• On utilise le théorème d’encadrement des équivalents

Question 51

Si on a S la fonction limite d’une série, monotone, et que S(x+1) + S(x) = f(x), avec f → +∞ en a≠+∞, quelle est la méthode pour trouver un équivalent de S en a ?

Answer 51

• On montre la continuité de S en a+1
• lim(x → a)(S(x+1)) = S(a+1)
• S(x) = f(x) - S(x+1) ~ f(x) lorsque x → a

Question 52

Si on rencontre une fonction polynomiale, bornée sur un intervalle non borné, dans un exercice, que peut-on en dire ?

Answer 52

Elle est constante

Question 53

Si u(n+1) = f(un) avec f monotone, que peut-on dire de u ?

Answer 53

• Si f est croissante : u est monotone, on peut se ramener à étudier u0 et u1
• Si f est décroissante : (u(2n)) et (u(2n+1)) sont monotones de sens de variation opposés

Question 54

Si on est sur un intervalle fermé et qu’on cherche à majorer le sup, comment peut-on faire disparaître la dépendance en x ?

Answer 54

• si la fonction est croissante/décroissante, comparer aux bornes
• si la fonction est continue, utiliser le TBA
• si la fonction est lipzitschienne, utiliser cette inégalité
• inégalités classiques
• identités remarquables (≥ 0)

Question 55

Comment tracer facilement la courbe d’un polynôme du second degré à partir de son expression ?

Answer 55

• parabole orientée en fonction du signe du coefficient dominant
• “centre” de la parabole à la moyenne des racines
• trois points définissant une parabole, on a la courbe du polynôme

Question 56

Comment “tracer” les différents termes d’une fonction définie par récurrence ? Expliquer pourquoi

Answer 56

Si on a : u(n+1) = f(un)

• on trace f et Id
• on a u0, on le ramène verticalement sur la Cf, on a la valeur de u1
• on ramène horizontalement u1 sur Id et on ramène ce point verticalement sur Cf, on a u2
• etc…

En effet, ramener le point verticalement sur Cf revient à calculer son image par f, et ramener cette image sur Id revient à replacer cette valeur à sa valeur selon x, on recommence ainsi de suite. Comme l’image par f fait à chaque fois monter d’un rang, on monte à chaque fois d’un rang.

Plus exactement, cela permet d’avoir la valeur de la composée n-ième, qui n’est autre que un

Question 57

Si on a une égalité vérifiée entre la suite et sa série et qu’on a réussi à déterminer que la série converge, qu’on veut déterminer sa limite, comment peut-on faire ?

Answer 57

On utilise les équivalents en remplaçant la série par l sa limite puisqu’elle converge

Question 58

Définir la continuité uniforme sur E

Answer 58

Question 59

Quelle est la différence entre la continuité et la continuité uniforme ?

Answer 59

Pour être continue, il faut que pour tout ε>0, on puisse trouver en chaque point x0 un rectangle (donc une longueur δ>0) tel que la courbe reste contenue dans ce rectangle de dimension εxδ centré en x0.

Pour être continue uniforme, il faut qu’on ait un unique rectangle qui marche pour tous les points !

Question 60

Donner, en expliquant, un exemple de fonction continue mais non continue uniformément

Answer 60

Ici la fonction est bien continue, c’est ok. Par contre, si on fixe un rectangle qui marche à un pic, il y aura forcément un pic plus tard qui se sera tellement resserré qu’il «percera» le rectangle

Question 61

Quelles sont propriétés supérieures de la convergence uniforme par rapport à la convergence simple ?

Answer 61

• Conservation de la continuité (limite reste continue)
• Conservation de la dérivabilité (limite reste C1)
• Conservation de manière générale de la classe Ck (limite reste Ck)
• Conservation de la primitive (primitive de la limite = limite des primitives)
• Conservation de l’intégrale (interconversion limite/intégrale)
• Théorème de la double limite (interconversion limite sur n/limite sur x)

Question 62

Quelles sont les propriétés stables par convergence simple ?

Answer 62

La positivité, la croissance et la convexité

Question 63

Montrer que la positivité, la croissance et la convexité sont des propriétés stables par convergence simple

Answer 63

Question 64

Que faut-il vérifier si on veut faire la limite en a de la limite d’une suite de fonctions ?

Answer 64

Théorème de la double limite

Question 65

Que faut-il vérifier si on veut montrer qu’une fonction limite est continue ?

Answer 65

Question 66

Quel est le lien entre le théorème de la double limite et le théorème de continuité ?

Answer 66

Question 67

Que faut-il vérifier si on veut calculer l’intégrale de la limite d’une suite de fonctions ?

Answer 67

Question 68

Donner un exemple de suite de fonctions C1 qui converge uniformément et dont la limite n’est pas C1

Answer 68

Question 69

Comment faire si on veut dériver la limite d’une suite de fonction ? (Pour déterminer ses variations par exemple)

Si on veut dériver k fois ?

Answer 69

Pour dériver k fois, c’est pareil. Il faut :

• une classe Ck pour chaque fn
• une convergence simple pour toutes les dérivées d’avant
• une convergence uniforme de la suite des dérivés k-ième

Question 70

Faire un récapitulatif de ce qu’il faut savoir sur les suites de fonctions

Answer 70

• CVS/CVU
• majorer le sup par la croissance de la fonction / le TBA / les inégalités classiques / les identités remarquables (supérieures à 0)
• montrer qu’une suite de fonction ne converge pas uniformément en utilisant une suite auxiliaire
• Calculer la limite au bord de l’intervalle de CVU par le théorème de la double limite
• Continuité de la limite
• Savoir quand on peut intégrer la limite
• Savoir quand on peut dériver (k fois) la limite
• Utiliser par l’absurde les propriétés de régularité pour montrer qu’une suite de fonction ne converge pas uniformément
• Continuité uniforme

Question 71

Montrer

Answer 71

Question 72

Montrer

Answer 72

Question 73

Comment calculer la limite de la somme d’une série ?

Answer 73

(Théorème de la double limite)

Question 74

À quelle condition la somme d’une série de fonction est-elle continue ?

Answer 74

Question 75

Montrer que ζ est continue sur son intervalle de définition

Answer 75

Question 76

Comment faire pour calculer l’intégrale d’une somme infinie ?

Answer 76

Question 77

Comment faire pour calculer la dérivée d’une somme infinie ?
La dérivée k-ième ?

Answer 77

Pour la dérivée k-ième c’est analogue, il faut que :

• toutes les fn soient de classe Ck
• toutes les dérivées d’avant converge simplement
• la dérivée k-ième converge uniformément

Question 78

Déterminer l’expression de la dérivée k-ième de ζ. Est-elle croissante ? Convexe ?

Answer 78

Question 79

S est-elle continue ? croissante ? Que vaut sa limite en +∞ ?

Answer 79

Question 80

Montrer que S est continue sur IR+\IN

Answer 80

Question 81

Montrer que S est continue sur IR₊*

Answer 81

Question 82

Donner puis montrer l’équivalent de ζ en 1+

Answer 82

Question 83

Déterminer un équivalent en +∞

Answer 83

Question 84

Trouver un équivalent en +∞

Answer 84

Question 85

Déterminer l’unique fonction f continue sur [0,1] vérifiant ces conditions.

0 < a < 1

Answer 85

Analyse - Synthèse, d’abord faire la deuxième partie

Question 86

Faire un récapitulatif des séries de fonction

Answer 86

• Savoir utiliser le reste pour montrer la CVU
• CVN (toujours commencer par CVN pour montrer la CVU)
• Savoir intervertir limite et somme infinie (théorème de la double limite)
• Montrer qu’une série positive diverge vers +∞ lorsqu’on ne peut pas utiliser le théorème de la double limite
• Théorème du continuité
• Savoir intervertir intégrale et somme infinie
• Théorème de classe Ck
• Savoir déterminer un équivalent par comparaison série - intégrale

Question 87

Comment montrer la croissance ou la décroissance d’une fonction somme de série ?

Answer 87

• définition de la croissance
• signe de la dérivée (théorème de la classe C1)

Question 88

Si on veut montrer la CVU d’une série alternée, comment fait-on généralement ?

Answer 88

On majore le reste par le CSSA et on montre qu’il tend vers 0

Question 89

Comment obtenir un équivalent de la somme d’un série de fonctions ?

Answer 89

On fait une comparaison série / intégrale

Question 90

Montrer que cette série converge uniformément mais pas normalement et qu’elle est C1

Answer 90

Question 91

Montrer que G est C1

Answer 91

Question 92

Déterminer un équivalent de S en 0 et en +∞

Answer 92

Question 93

Rappeler l’inégalité des accroissements finis

Answer 93

Question 94

À quoi faut-il penser ? Comment faire ?

Answer 94

Au théorème des accroissements finis, il faut montrer que :

• φ est continue sur [a,b] (donc [1,+∞[)
• φ est dérivable sur ]a,b[ (donc ]1,+∞[)
• |φ’| est majorée par le truc

Donc, on montre qu’on peut etc puis on calcule φ’ est on voit

Question 95

Lorsqu’on fait une comparaison série intégrale et qu’il y a plusieurs variables, laquelle prend en entrée le f que l’on pose ?

Answer 95

Il prend en entrée la variable de sommation

Answer 96

Question 97

Quel est l’intérêt des polynômes de Lagrange ?

Answer 97

Ils permettent de définir une base des polynômes à partir de points qu’on choisit nous-mêmes.

On connaît l’expression concrète d’un polynôme dans cette base.