Ensembles Dénombrables Flashcards

1
Q

Qu’appelle-t-on A ⊂ IN fini ? Qu’appelle-t-on son cardinal ?

A

A est fini s’il existe p€IN et φ : A → [|1,p|] bijective. Alors, p est unique et on l’appelle cardinal de A

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Q

Qu’appelle-t-on A ⊂ IN infini ?

A

On dit que A est infini s’il n’est pas fini

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Q

Qu’appelle-t-on un ensemble dénombrable ?

A

A est dénombrable s’il existe une bijection de A sur IN

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4
Q

Qu’appelle-t-on un ensemble au plus dénombrable ?

A

A est au plus dénombrable si A est fini ou s’il existe une bijection de A sur IN

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5
Q

Montrer que IN* est dénombrable

A

φ : p → p -1 est une bijection de IN* dans IN

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6
Q

Montrer que Z est dénombrable

A

…5|3|1|0|2|4|6…

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7
Q

Qu’appelle-t-on cardinal d’un ensemble dénombrable ?

A
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8
Q

Que peut-on dire du cardinal de Z ?

A

Card(Z) = card(IN) = ℵ0, car il existe une bijection entre les deux !

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9
Q

Qu’est-ce que le premier critère de au plus dénombrabilité ?
Justif

A
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10
Q

Montrer que Q est dénombrable

A
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11
Q

Montrer que IN² est dénombrable

A
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12
Q

Que peut-on dire du produit cartésien fini d’ensembles dénombrables ?
Justif

A
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13
Q

Qu’est-ce que le deuxième critère d’au plus dénombrabilité ?
Justif

A

Pas par unicité du min, juste parce que ψ(g(x)) = ψ(g(x’)) ⇒ x = x’ par def de g

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14
Q

Que peut-on dire de la réunion et de la dénombrabilité ?
Justif

A
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15
Q

Définir un famille de réels/complexes sommables

A
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16
Q

Quel est l’équivalent de l’absolue convergence généralisée ?

A
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17
Q

Qu’est-ce que le théorème de la sommation par paquet ?

A
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18
Q

Qu’est-ce que le théorème de Fubini faible ?

A

En gros si ça existe dans un sens ça existe aussi dans l’autre et on peut échanger

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19
Q

Qu’est-ce que le théorème de Fubini fort ?

22
Q

Calculer

23
Q

Définir un ensemble fini et un ensemble dénombrable

24
Q

Comment montrer qu’un ensemble est dénombrable par une bijection ne portant pas sur IN ?

25
Q

Que peut-on dire d’une partie d’un ensemble dénombrable ?
Justif

26
Q

Rappeler les deux critères qui permettent de montrer qu’un ensemble est dénombrable sans passer par une bijection

27
Q

Proposer deux preuves différentes de la non-dénombrabilité de IR

28
Q

Définir la somme de réels positifs sur un ensemble dénombrable

29
Q

Montrer l’indépendance de φ

A

Car ils sont positifs, attention c’est pour ça que le Sn ≤ Tm marche

30
Q

Rappeler Fubini faible et donner une idée de la preuve

A

Cad qu’on peut toujours échanger (l’égalité reste vraie en cas de divergence)

31
Q

Rappeler ce qu’est la sommation par paquet et démontrer

32
Q

À quelle condition une somme infinie de réels positifs est-elle nulle ?

A

S’ils sont tous nuls

33
Q

Que peut-on dire de la somme de réels positifs sur deux ensembles J ⊂ I ?

34
Q

Définir la somme de réels sur une famille dénombrable

35
Q

Que sont les propriétés d’ordre et de linéarité des familles sommables ?

36
Q

Qu’est-ce que la propriété de sommation par paquet sur les familles sommables réelles ?

37
Q

Qu’est-ce que le théorème de Fubini sur les familles sommables réelles ?

A

Ça revient à celui qu’on a écrit en cours

38
Q

Quel est le cas particulier de Fubini avec deux suites ?

39
Q

Définir l’espérance d’une variable aléatoire réelle discrète

40
Q

Calculer la Σ1/n, pour n€A

41
Q

Avec log le logarithme en base 2. Calculer

42
Q

À quelle condition peut-on dire que l’ordre de sommation sur un ensemble n’importe pas ?

Quel est le corolaire et la terminologie associée ?

43
Q

Comment démontrer simplement Fubini ?

46
Q

Montrer qu’il n’existe aucune surjection de E sur P(E) (théorème de Cantor, HP), si E est un ensemble quelconque