Ensembles Dénombrables Flashcards
Qu’appelle-t-on A ⊂ IN fini ? Qu’appelle-t-on son cardinal ?
A est fini s’il existe p€IN et φ : A → [|1,p|] bijective. Alors, p est unique et on l’appelle cardinal de A
Qu’appelle-t-on A ⊂ IN infini ?
On dit que A est infini s’il n’est pas fini
Qu’appelle-t-on un ensemble dénombrable ?
A est dénombrable s’il existe une bijection de A sur IN
Qu’appelle-t-on un ensemble au plus dénombrable ?
A est au plus dénombrable si A est fini ou s’il existe une bijection de A sur IN
Montrer que IN* est dénombrable
φ : p → p -1 est une bijection de IN* dans IN
Montrer que Z est dénombrable
…5|3|1|0|2|4|6…
Qu’appelle-t-on cardinal d’un ensemble dénombrable ?
Que peut-on dire du cardinal de Z ?
Card(Z) = card(IN) = ℵ0, car il existe une bijection entre les deux !
Qu’est-ce que le premier critère de au plus dénombrabilité ?
Justif
Montrer que Q est dénombrable
Montrer que IN² est dénombrable
Que peut-on dire du produit cartésien fini d’ensembles dénombrables ?
Justif
Qu’est-ce que le deuxième critère d’au plus dénombrabilité ?
Justif
Pas par unicité du min, juste parce que ψ(g(x)) = ψ(g(x’)) ⇒ x = x’ par def de g
Que peut-on dire de la réunion et de la dénombrabilité ?
Justif
Définir un famille de réels/complexes sommables
Quel est l’équivalent de l’absolue convergence généralisée ?
Qu’est-ce que le théorème de la sommation par paquet ?
Qu’est-ce que le théorème de Fubini faible ?
En gros si ça existe dans un sens ça existe aussi dans l’autre et on peut échanger
Qu’est-ce que le théorème de Fubini fort ?
Calculer
Définir un ensemble fini et un ensemble dénombrable
Comment montrer qu’un ensemble est dénombrable par une bijection ne portant pas sur IN ?
Que peut-on dire d’une partie d’un ensemble dénombrable ?
Justif
Rappeler les deux critères qui permettent de montrer qu’un ensemble est dénombrable sans passer par une bijection
Proposer deux preuves différentes de la non-dénombrabilité de IR
Définir la somme de réels positifs sur un ensemble dénombrable
Montrer l’indépendance de φ
Car ils sont positifs, attention c’est pour ça que le Sn ≤ Tm marche
Rappeler Fubini faible et donner une idée de la preuve
Cad qu’on peut toujours échanger (l’égalité reste vraie en cas de divergence)
Rappeler ce qu’est la sommation par paquet et démontrer
À quelle condition une somme infinie de réels positifs est-elle nulle ?
S’ils sont tous nuls
Que peut-on dire de la somme de réels positifs sur deux ensembles J ⊂ I ?
Définir la somme de réels sur une famille dénombrable
Que sont les propriétés d’ordre et de linéarité des familles sommables ?
Qu’est-ce que la propriété de sommation par paquet sur les familles sommables réelles ?
Qu’est-ce que le théorème de Fubini sur les familles sommables réelles ?
Ça revient à celui qu’on a écrit en cours
Quel est le cas particulier de Fubini avec deux suites ?
Définir l’espérance d’une variable aléatoire réelle discrète
Calculer la Σ1/n, pour n€A
Avec log le logarithme en base 2. Calculer
À quelle condition peut-on dire que l’ordre de sommation sur un ensemble n’importe pas ?
Quel est le corolaire et la terminologie associée ?
Comment démontrer simplement Fubini ?
Montrer qu’il n’existe aucune surjection de E sur P(E) (théorème de Cantor, HP), si E est un ensemble quelconque
