Ensembles Dénombrables

Question 1

Qu’appelle-t-on A ⊂ IN fini ? Qu’appelle-t-on son cardinal ?

Answer 1

A est fini s’il existe p€IN et φ : A → [|1,p|] bijective. Alors, p est unique et on l’appelle cardinal de A

Question 2

Qu’appelle-t-on A ⊂ IN infini ?

Answer 2

On dit que A est infini s’il n’est pas fini

Question 3

Qu’appelle-t-on un ensemble dénombrable ?

Answer 3

A est dénombrable s’il existe une bijection de A sur IN

Question 4

Qu’appelle-t-on un ensemble au plus dénombrable ?

Answer 4

A est au plus dénombrable si A est fini ou s’il existe une bijection de A sur IN

Question 5

Montrer que IN* est dénombrable

Answer 5

φ : p → p -1 est une bijection de IN* dans IN

Question 6

Montrer que Z est dénombrable

Answer 6

…5|3|1|0|2|4|6…

Question 7

Qu’appelle-t-on cardinal d’un ensemble dénombrable ?

Answer 7

Question 8

Que peut-on dire du cardinal de Z ?

Answer 8

Card(Z) = card(IN) = ℵ0, car il existe une bijection entre les deux !

Question 9

Qu’est-ce que le premier critère de au plus dénombrabilité ?
Justif

Answer 9

Question 10

Montrer que Q est dénombrable

Answer 10

Question 11

Montrer que IN² est dénombrable

Answer 11

Question 12

Que peut-on dire du produit cartésien fini d’ensembles dénombrables ?
Justif

Answer 12

Question 13

Qu’est-ce que le deuxième critère d’au plus dénombrabilité ?
Justif

Answer 13

Pas par unicité du min, juste parce que ψ(g(x)) = ψ(g(x’)) ⇒ x = x’ par def de g

Question 14

Que peut-on dire de la réunion et de la dénombrabilité ?
Justif

Answer 14

Question 15

Définir un famille de réels/complexes sommables

Answer 15

Question 16

Quel est l’équivalent de l’absolue convergence généralisée ?

Answer 16

Question 17

Qu’est-ce que le théorème de la sommation par paquet ?

Answer 17

Question 18

Qu’est-ce que le théorème de Fubini faible ?

Answer 18

En gros si ça existe dans un sens ça existe aussi dans l’autre et on peut échanger

Question 19

Qu’est-ce que le théorème de Fubini fort ?

Answer 19

Question 20

Answer 20

Question 21

Answer 21

Question 22

Calculer

Answer 22

Question 23

Définir un ensemble fini et un ensemble dénombrable

Answer 23

Question 24

Comment montrer qu’un ensemble est dénombrable par une bijection ne portant pas sur IN ?

Answer 24

Question 25

Que peut-on dire d’une partie d’un ensemble dénombrable ? Justif

Answer 25

Question 26

Rappeler les deux critères qui permettent de montrer qu’un ensemble est dénombrable sans passer par une bijection

Answer 26

Question 27

Proposer deux preuves différentes de la non-dénombrabilité de IR

Answer 27

Question 28

Définir la somme de réels positifs sur un ensemble dénombrable

Answer 28

Question 29

Montrer l’indépendance de φ

Answer 29

Car ils sont positifs, attention c’est pour ça que le S_n ≤ T_m marche

Question 30

Rappeler Fubini faible et donner une idée de la preuve

Answer 30

Cad qu’on peut toujours échanger (l’égalité reste vraie en cas de divergence)

Question 31

Rappeler ce qu’est la sommation par paquet et démontrer

Answer 31

Question 32

À quelle condition une somme infinie de réels positifs est-elle nulle ?

Answer 32

S’ils sont tous nuls

Question 33

Que peut-on dire de la somme de réels positifs sur deux ensembles J ⊂ I ?

Answer 33

Question 34

Définir la somme de réels sur une famille dénombrable

Answer 34

Question 35

Que sont les propriétés d’ordre et de linéarité des familles sommables ?

Answer 35

Question 36

Qu’est-ce que la propriété de sommation par paquet sur les familles sommables réelles ?

Answer 36

Question 37

Qu’est-ce que le théorème de Fubini sur les familles sommables réelles ?

Answer 37

Ça revient à celui qu’on a écrit en cours

Question 38

Quel est le cas particulier de Fubini avec deux suites ?

Answer 38

Question 39

Définir l’espérance d’une variable aléatoire réelle discrète

Answer 39

Question 40

Calculer la Σ1/n, pour n€A

Answer 40

Question 41

Avec log le logarithme en base 2. Calculer

Answer 41

Question 42

À quelle condition peut-on dire que l’ordre de sommation sur un ensemble n’importe pas ? Quel est le corolaire et la terminologie associée ?

Answer 42

Question 43

Comment démontrer simplement Fubini ?

Answer 43

Question 44

Answer 44

Question 45

Answer 45

Question 46

Montrer qu’il n’existe aucune surjection de E sur P(E) (théorème de Cantor, HP), si E est un ensemble quelconque

Answer 46