Convergence Dominée Flashcards
Qu’est-ce que le théorème de la convergence dominée ?
C’est juste le théorème de la double limite (on n’a pas l’hypothèse +∞€/IN car elle est toujours vraie)
Qu’est-ce que le théorème d’intégration terme à terme ?
En pratique, comment montre-t-on la continuité d’une intégrale à paramètre ?
Dans la pratique, on fait souvent une domination locale pour récupérer la continuité en presque partout, et on fait le reste à la main.
Montrer la continuité de la fonction Γ d’Euler
On peut aussi majorer par (ea-1 + eb-1) × e-t
Quel est le principe des intégrales à paramètre ?
Qu’est-ce que le théorème de continuité des intégrales à paramètres ?
Justif
Même chose que pour les séries
Montrer que cette application est définie et continue sur IR
Montrer que f est définie et continue sur IR*+
Qu’est-ce que le théorème de la classe C1 pour les intégrales à paramètres ?
Montrer que pour x>0, F(x) = π/2 - Arctan(x)
En 0 on retrouve l’intégrale de Dirichlet
Déterminer le domaine de définition, la dérivabilité et l’équation différentielle sur F
Qu’est-ce que le théorème de classe Ck des intégrales à paramètres
Montrer que la fonction Γ d’Euler est de classe C∞ sur IR*+
Comment montre-t-on que ln(Γ) est convexe ?
On dérive deux fois
Tracer ln(Γ)
Montrer que cette intégrale converge pour α<1, diverge pour α>1 et si α = 1, converge pour β > 1 et diverge pour β < 1
Étudier la convergence selon les valeurs de α et β
Quels sont les deux types de paramètres que l’on peut rencontrer ?
- Les paramètres entiers (on note alors fn(t) mais on pourrait noter f(n,t))
- Les paramètres réels (on note alors f(x,t))
Quels sont les théorèmes pour un paramètre entier ? Quels sont les choses qu’ils permettent de faire ?
- le théorème de la convergence dominée (permet d’intervertir limite et intégrale pour une suite de fonctions de manière générale)
- le théorème d’intégration termes à termes (permet d’intervertir limite et intégrale pour une série de fonctions, donc somme et intégrale)
Quelle est la première chose à vérifier si on veut intervertir limite et intégrale pour une intégrale à paramètre entier ?
Il ne faut pas oublier les choses simples : si on est sur un segment et que la suite des fn converge uniformément c’est bon
Quels sont les théorèmes pour un intégrale à paramètre réel ? Que permettent-ils de faire ?
- Théorèmes de régularité : faire rentrer la dérivée devant l’intégrale en dérivée partielle dans l’intégrale
- Théorème de la CVD à paramètre continu : théorème de régularité C0 si f est continue, CVD + critère séquentiel sinon, permet d’intervertir limite et intégrale aux bornes
Énoncer le théorème de la CVD à paramètre continu
C’est juste le théorème de la double limite
Quelle est la condition manquante ?
Il faut que f soit continue : c’est le théorème fondamental de l’analyse
Comment rédiger lorsqu’on fait apparaître une somme de série pour utiliser le théorème d’intégration termes à termes ?
+ dire que t → …1 est continu par morceaux
Comment faire si on veut déterminer la limite en +∞ d’une intégrale de fn mais avec du n dans les bornes ?
On pose fn qui vaut son expression lors t est compris dans les bornes (dépendant de n donc) et 0 en dehors, on peut donc ensuite appliquer le théorème de la convergence dominée.
Lorsqu’on veut montrer la continuité d’une fonction définie par une intégrale, pourquoi n’a-t-on pas d’abord besoin de montrer qu’elle est bien définie ?
Car c’est un résultat du théorème de continuité
Rappeler les résultats de convergence des intégrales de Bertrand
Comment montrer l’égalité de deux intégrales à paramètre ?
- Montrer qu’elles sont C1/C2
- Montrer qu’elles vérifient la même équation différentielle/ont la même dérivée
- En déduire qu’elles ne diffèrent que d’une constante
- Montrer que cette constante est nulle
Comment calculer la limite d’une suite d’intégrales ?
Théorème de la convergence dominée
Première étape de la rédaction : «pour n€IN, on pose fn = t → …»
Il faut aussi que les fn soient continues par morceaux
D’où vient le fait que la limite des fn soit intégrable dans le théorème de la convergence dominée ?
C’est en fait caché dans les hypothèses
Comment faire si on n’a pas la majoration par φ pour tout n€IN pour le théorème de la convergence dominée ?
Justif
Sur un segment, quel est le φ le plus simple que l’on puisse trouver pour le théorème de la convergence dominée ?
Car l’intégrale d’une constante sur un segment converge
Déterminer l’expression de la fonction Γ d’Euler sans intégrale
Pour la dernière égalité, on intègre n fois par parties (on intègre le t et on dérive la parenthèse)
On prend l’intégrale jusqu’à n pour ne pas avoir de trucs négatifs
Comment faire lorsqu’on a des intégrales impropres et des sommes infinies ?
À quoi faut-il faire attention ?
Théorème d’intégration terme à terme
Attention : la première chose à vérifier est si l’intégrale est impropre ! Si on peut juste utiliser la CVU on le fait…
Sauf si série semi-convergente : le TITAT ne marche pas et on doit appliquer le théorème de la convergence dominée à la suite des sommes partielles
(Les deux premières hypothèses permettent de vérifier que le terme de gauche peut exister, les deux suivantes assurent que celui de droite existe, et on obtient finalement l’existence de celui de gauche et l’égalité des deux)
Première étape de rédaction : «pour n€IN, on pose fn = t → ….»
Justif
n+1* partout
Comment et dans quel cas obtenir le même résultat qu’avec le théorème d’intégration terme à terme pour les séries alternées (qui ne vérifient pas la convergence de la série des intégrales en valeur absolue) ?
Justif
Utiliser l’autre preuve (deuxième), qui marche car f0 est intégrable (comme toutes les fn)
Calculer en passant par les intégrales à paramètre
On applique le théorème de la CVD à |Σ(-1)nxn| ≤ 1 d’après le CSSA et 1 est intégrable sur [0,1]
Rappeler la caractérisation séquentielle de la limite
En gros on tend bien vers la limite quelle que soit la manière d’approche
Comment calculer la limite en un point d’une intégrale ?
Montrer que la limite en +∞ d’une transformée de Laplace d’une fonction intégrable est nulle
Quel est le principe de l’utilisation du théorème de convergence dominée pour obtenir un équivalent ?
Si on utilise le théorème de convergence dominée, on arrive à une limite nulle. On veut un équivalent pour préciser.
On fait donc un changement de variable afin de «normaliser» l’intégrale : on factoriser par le terme qui la fait tendre vers 0 et on applique le théorème de la convergence dominée pour trouver une limite finie non nulle à ce qu’il reste.
Du coup c’est bon.
Montrer que la limite lorsque n → +∞ vaut 0, puis trouver un équivalent lorsque n → +∞ grâce à un changement de variable u = t. √(n)
1/2* dans le dernier résultat, au lieu de 1/n
Trouver un équivalent de In en +∞
Trouver un équivalent de I en +∞
Que peut-on dire de la limite en +∞ d’une transformée de Laplace ?
Justif
Que sont les théorèmes de la valeur initiale et de la valeur finale pour une transformée de Laplace ?
Justif
En gros à chaque fois l’équivalent est en 1/x et le coefficient devant est la limite opposée, si elle est non nulle.
Sous réserve qu’elle soit bornée.
On appelle méthode de Laplace :
Expliquer l’idée pour justifier cela ?
- on fait un changement de variable t = u/nα, pour faire sortir du 1/nα de l’intégrale : In = 1/nα × Jn
- on fait un DL en n → +∞ de ce qu’il y a à l’intérieur de Jn en utilisant (ii) pour montrer que ça admet une limite pour tout u
- on utilise donc le théorème de la convergence dominée sur Jn, en montrant la domination avec (iii)
- on obtient alors directement le résultat
Comment faire si on n’a pas la domination uniforme sur tout x€A pour le théorème de la convergence dominée à paramètre continu ?
Il suffit que l’hypothèse de domination uniforme soit vraie au voisinage de a
Comment montrer qu’une application définie par une intégrale impropre est continue ?
- il faut la continuité par morceaux par rapport à t pour que l’intégrale soit déjà définie
- alors, la domination conserve la continuité de f(•,t)
En pratique, comment montre-t-on qu’une application définie par une intégrale impropre est continue ?
Montrer que la transformée de Laplace d’une fonction continue par morceaux et bornée est continue sur IR+*
Comment dériver une fonction définie par une intégrale impropre ?
(Il suffit que l’hypothèse de domination soit vraie au voisinage de tout point x€A)
(Pas besoin de montrer que ∂f/∂x est L1, on l’a grâce à la domination…, juste qu’elle est continue par morceaux)
Conclusion : alors, … est dérivable et …
Comment dériver n fois une fonction définie par une intégrale impropre ?
Cf. dérivation simple
Montrer que Γ est de classe C∞ et déterminer l’expression de ses dérivées successives
Comment utiliser les théorèmes des intégrales à paramètre sur un segment ?
C’est beaucoup plus simple : il suffit de prendre comme φ la borne supérieure de f (ou de ses dérivées par rapport à x en fonction du théorème que l’on utilise), d’après le TBA
Montrer que l’application g est de classe C∞ et déterminer ses dérivées successives
Si on veut utiliser tous les théorèmes de convergence dominée etc…, quelle est la première chose à faire ?
Il faut vérifier si on est sur un segment. Si oui, regarder si les propriétés des suites et séries de fonctions ne sont pas suffisantes ?
Que faut-il retenir sur le théorème de la convergence dominée ?
Il permet d’intervertir une limite de fn et une intégrale impropre, à condition que (fn) CVS vers f €C0m et qu’elle vérifie une hypothèse de domination
Calculer la limite de F en +∞
On pouvait aussi utiliser le CSSA
Montrer que F est de classe C1 sur ]0,+∞[
Calculer F(x) - ζ(x) et en déduire la limite de ζ en +∞, sachant que F(x → +∞) = 1
Seuls les termes pair sont conservés
On appelle (cn) le produit de Cauchy de la fonction F (= ζ alternée) par elle-même.
Justifier mieux
Déterminer la nature du produit de Cauchy Σcn de la fonction F (= ζ alternée) par elle-même, en x=1
On pourra passer par Hn
Justifier pour de vrai le c)
Comment faire le DL à un petit ordre d’une fonction quelconque, lorsqu’on ne peut pas passer par les DL usuels ?
On calcule les dérivées successives et on applique Taylor-Young
Si on voit une dérivée dans une intégrale et qu’on ne sait pas trop d’où elle sort à quoi faut-il penser ?
IPP
Comment résoudre une équation différentielle du second ordre à coefficients complexes ?
Et on ajoute une solution particulière
Comment résoudre une équation différentielle du second ordre à coefficients réels ?
C’est comme en complexe, juste si Δ < 0, le exp(α + i.β) et le exp(α - i.β) se décomposent
Quelles sont les méthodes de détermination d’une solution particulière pour une équation différentielle du premier ordre ?
y’ + a(x) × y = b(x)
- solution évidente
- superposition des solutions
- si a(x) = a = cste : solution du même type que b(x)
- si a(x) ≠ cste : variation de la constante, on cherche une solution yp(x) = c(x).y0(x), avec y0 une solution de l’équation homogène
Quelle est la méthode de résolution d’une équation différentielle du premier ordre ?
- résolution de l’équation homogène (x → λ.exp(-A(x)), λ€IR ou λ€C)
- détermination d’une solution particulière (cf flashcard précédente)
- somme des deux
Quelle est la méthode de résolution d’une différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants ?
- résolution équation homogène (équation caractéristique, discriminant, formes de solutions)
- détermination d’une solution particulière (cf flashcard suivante)
- on somme les deux
Quels sont les types de solutions particulières à connaitre pour la résolution d’équation différentielles linéaires d’ordre 2 à coefficients constants ?
y’’(x) + a.y’(x) + b.y(x) = f(x)
- si f est un polynôme : on cherche une solution particulière polynomiale
- si f est de la forme A.exp(λ.x) : on cherche une solution particulière B.exp(λ.x)
- si f est sinusoïdale : on cherche une solution particulière sinusoïdale (combinaison linéaire de cos et sin)
- si f est le produit d’un polynôme et d’une exponentielle (produit des deux cas précédents) : on cherche une solution particulière de la forme le produit des solutions particulières précédentes
Si à un moment une résolution ne marche pas, multiplier par un x la forme de la solution particulière et recommencer
Quelle est la première question à se poser à chaque fois qu’on utilise un théorème du type de la convergence dominée etc… ?
Est-ce qu’on ne peut pas le faire juste avec les théorèmes de convergence uniforme etc… ?
Comment retenir les théorèmes avec les intégrales (CVD etc…), si on connait ceux avec les séries (CVU etc…) ?
- CVS ⇔ L1(I) (somme existe ⇔ intégrale existe)
- CVU ⇔ domination + continuité par morceaux de ce qu’on domine et de la limite de ce qu’on domine (il existe une vitesse maximale de convergence de la somme ⇔ il existe une vitesse maximale de convergence de l’intégrale)
Quelles sont toujours les hypothèses associées aux théorèmes pour faire rentrer des limites ?
Énoncer les différents théorèmes pour cela
- existence de toutes les limites que l’on veut rentrer
- hypothèse «forte» sur A
- avec le point où on fait la limite dans l’adhérent de A
Quelles sont toujours les hypothèses associées aux théorèmes pour montrer la continuité d’une fonction définie par sommation ?
Énoncer les différents théorèmes pour cela
- continuité déjà de chacun des éléments que l’on somme
- hypothèse «forte» sur l’ensemble où on veut faire passer la continuité
Quelles sont toujours les hypothèses associées aux théorèmes pour montrer la classe Ck d’une fonction définie par sommation ?
Énoncer les différents théorèmes pour cela
- classe Ck déjà de chacun des éléments que l’on somme
- hypothèse «faible» sur toutes les dérivés d’avant, sur l’ensemble où on veut faire passer la classe Ck
- hypothèse «forte» sur la k-ième dérivée, sur l’ensemble où on veut faire passer la classe Ck
Comment trouver une solution particulière lorsque la forme du truc à droite est une exponentielle × un cos/sin ?
- on écrit tout ça comme une partie réelle/partie imaginaire d’une exponentielle complexe
- on résoud comme on sait faire pour l’exponentielle complexe
- on prend la partie réelle/imaginaire
Déterminer la limite de l’intégrale de Wallis lorsque n → +∞
D’après le théorème de la convergence dominée
On a pas besoin de L1 mais juste de continue par morceau pour la fonction limite
C’est un peu con ce que j’ai fait : il faut faire ∫<A→1> plutôt que ∫<0→A> : on a pas de problème en A car c’est prolongeable par continuité, alors qu’en 0 on doit justement justifier par la croissance comparée
Ne pas faire un changement d’indice puis le théorème de classe C1 sur g, c’est absurde ! Si on voit une intégrale jusqu’à x on utilise juste le théorème fondamental de l’analyse…
Plutôt faire les hypothèses de la classe C1 dans l’ordre 2./1./3./4.
Conclusion : 0 = -I² + π/4 et I = √(π)/2
Comment retrouver la valeur de l’intégrale de Gauss grâce aux intégrales à paramètre ?
Pour se souvenir qu’on utilise cette intégrale, on se souvient qu’on utiliser arctan
Si on nous demande de calculer f’(0) dans une question, à quoi faut-il penser dans les questions d’après ?
Faire un DL en 0
Pour la Q2 : on peut faire un DL car F est de classe C1 au voisinage 0.
Conclusion : la limite recherchée est exp(∫<0→1>(ln(f(t)).dt)
- soit ν€IR, ∀t€IR, |…| = |f(t)|, dont l’intégrale converge par hypothèse, donc bien défini
- soit ν€IR, utiliser l’inégalité triangulaire sur f^, donc f^ bornée
- théorème de continuité, avec |…| = |f(t)| pour la domination
- linéarité découle directement de la linéarité de l’intégrale
- soit f€L1(IR, ℂ), on appelle φ l’application, écrire la norme infinie de φ(f) et la norme 1 de f
- ∀ν€IR, utiliser l’inégalité triangulaire sur φ(f)(ν) pour le majorer par la norme 1 de f
- le sup est le plus petit des majorants, on passe au sup
- critère de Lipschitz : puisque φ est linéaire, elle est continue
- théorème de classe Ck, majoration (attention, en module) des tj par (1+tk) (on a alors la continuité du truc sur ]-∞,+∞[ et en -∞, +∞ le 1 n’a pas d’influence donc ça découle de l’hypothèse de l’énoncé) et la majoration finale est directe par hypothèse de l’énoncé
- on n’a pas l’égalité, il faut trouver un contre-exemple
5.
- juste intégrale d’une exponentielle entre -1 et 1
- convergence dominée à paramètre continu avec p dans [1,+∞[ par exemple, on trouve une limite nulle en +∞
- soit a>0, théorème de la classe C1 sur [a,+∞[ (attention à bien dériver par rapport à p et donc faire sortir un -t)
- pour exprimer F’(p) sans intégrale, soit on fait une double IPP un peu comme Wallis, soit on exprime comme une partie imaginaire (beaucoup plus simple), on trouve F’(p) = -1/(1+p²)
(Attention : le conjugué de i - p est - i - p, pas i + p !!)
3.
- F = - Arctan + cste
- on trouve cste = π/2 en +∞
- F(0) = lim(p → 0+)(F(p)), par continuité, = π/2
À quoi faut-il penser quand on a des produits d’exponentielles et de sin/cos ?
Passer en complexe (partie réelle / imaginaire)
Comment retrouver l’intégrale de Dirichlet avec une transformée de Laplace ?
(On admet la continuité en 0)
Sous quelles hypothèses connait-on l’équivalent en +∞ d’une transformée de Laplace ? En 0 ?
Quel sont ces équivalents ?
Justif
À quoi faut-il penser si on nous donne une transformée de Laplace en pratique et qu’on nous demande son équivalent en 0 ou en +∞ ?
Si la fonction f dont on fait la transformée est … et que f(0) ≠ 0, on sait que l’équivalent sera f(0)/x et on peut appliquer en pratique la démonstration aûon ek avaitnfaite
