Convergence Dominée Flashcards
Qu’est-ce que le théorème de la convergence dominée ?
Qu’est-ce que le théorème d’intégration terme à terme ?
Montrer que In → 0 et trouver un équivalent
On sait que ça tend vers 0 mais on veut trouver un équivalent, être plus précis.
On essaye donc de faire «sortir» de l’intégrale le terme qui fait tendre vers 0 : 1/n, pour ensuite appliquer nos théorèmes à ce qu’il reste dans l’intégrale et avoir une idée plus précise de la vitesse à laquelle In tend vers 0.
En pratique, comment montre-t-on la continuité d’une intégrale à paramètre ?
Dans la pratique, on fait souvent une domination locale pour récupérer la continuité en presque partout, et on fait le reste à la main.
Quel est le principe des intégrales à paramètre ?
Qu’est-ce que le théorème de continuité des intégrales à paramètres ?
Justif
Montrer que cette application est définie et continue
Montrer que f est définie et continue sur IR*+.
Est-elle continue en 0 ? (on pourra utiliser la fonction x → ∫<x→+∞>(dt.sin(t)/t))
Qu’est-ce que le théorème de la classe C1 pour les intégrales à paramètres ?
Montrer que pour x>0, F(x) = π/2 - Arctan(x)
Démontrer
Déterminer le domaine de définition, la dérivabilité et l’équation différentielle sur F
Qu’est-ce que le théorème de classe Ck des intégrales à paramètres
Montrer que cette fonction généralise la factorielle
Comment montre-t-on que ln(Γ) est convexe ?
On dérive deux fois
Tracer ln(Γ)
Montrer que cette intégrale converge pour α<1, diverge pour α>1 et si α = 1, converge pour β > 1 et diverge pour β < 1
Montrer que cette intégrale converge si α > 1, diverge si α < 1 et si α = 1, converge si β > 1 et diverge si β < 1
Quels sont les deux types de paramètres que l’on peut rencontrer ?
- Les paramètres entiers (on note alors fn(t) mais on pourrait noter f(n,t))
- Les paramètres réels (on note alors f(x,t))
Quels sont les théorèmes pour un paramètre entier ? Quels sont les choses qu’ils permettent de faire ?
- le théorème de la convergence dominée (permet d’intervertir limite et intégrale pour une suite de fonctions de manière générale)
- le théorème d’intégration termes à termes (permet d’intervertir limite et intégrale pour une série de fonctions, donc somme et intégrale)
Quelle est la première chose à vérifier si on veut intervertir limite et intégrale pour une intégrale à paramètre entier ?
Il ne faut pas oublier les choses simples : si on est sur un segment et que la suite des fn converge uniformément c’est bon
Quels sont les théorèmes pour un intégrale à paramètre réel ? Que permettent-ils de faire ?
- Théorèmes de régularité : faire rentrer la dérivée devant l’intégrale en dérivée partielle dans l’intégrale
- Théorème de la CVD à paramètre continu : théorème de régularité C0 si f est continue, CVD + critère séquentiel sinon, permet d’intervertir limite et intégrale aux bornes
Énoncer le théorème de la CVD à paramètre continu
Même théorème que la continuité mais sur le bord
Démontrer
Quelle est la condition manquante ?
Il faut que f soit continue : c’est le théorème fondamental de l’analyse
Comment rédiger lorsqu’on fait apparaître une somme de série pour utiliser le théorème d’intégration termes à termes ?
Comment faire si on veut déterminer la limite en +∞ d’une intégrale de fn mais avec du n dans les bornes ?
On pose fn qui vaut son expression lors t est compris dans les bornes (dépendant de n donc) et 0 en dehors, on peut donc ensuite appliquer le théorème de la convergence dominée.
Si on a l’intégrale de la somme d’une série vérifiant le CSSA, la somme des normes 1 ne converge pas. On ne peut donc pas utiliser le théorème d’intégration termes à termes, comment faire ?
- On écrit l’intégrale de la somme infinie
- On décompose comme somme de l’intégrale de la somme partielle et de l’intégrale du reste, par linéarité de l’intégrale
- On peut intervertir l’intégrale et la somme dans la somme partielle
- D’après le CSSA, on majore le reste
- On utilise la croissance de l’intégrale
- Alors, le reste est majorée par quelque chose qui tend vers 0 lorsque N → +∞
- Donc on passe à la limite dans la dernière égalité qu’on avait et c’est bon
Comment calculer la limite d’une suite d’intégrales ?
Théorème de la convergence dominée
D’où vient le fait que la limite des fn soit intégrable dans le théorème de la convergence dominée ?
C’est en fait caché dans les hypothèses
Comment faire si on n’a pas la majoration par φ pour tout n€IN pour le théorème de la convergence dominée ?
Justif
Sur un segment, quel est le φ le plus simple que l’on puisse trouver pour le théorème de la convergence dominée ?
Car l’intégrale d’une constante sur un segment converge
En déduire l’expression de Γ sans intégrale
Comment faire lorsqu’on a des intégrales impropres et des sommes infinies ?
Théorème d’intégration terme à terme
Justif
Justif
Montrer que cette intégrale est égale à la somme de Σ1/n²
Comment et dans quel cas obtenir le même résultat qu’avec le théorème d’intégration terme à terme pour les séries alternées (qui ne vérifient pas la convergence de la série des intégrales en valeur absolue) ?
Justif
Utiliser l’autre preuve (deuxième), qui marche car f0 est intégrable (comme toutes les fn)
Calculer
On applique le théorème de la CVD à |Σ(-1)nxn| ≤ 1 d’après le CSSA et 1 est intégrable sur [0,1]
Rappeler la caractérisation séquentielle de la limite
Comment calculer la limite en un point d’une intégrale ?
Montrer que la limite de L(x) lorsque x tend vers +∞ est nulle
Montrer le théorème de Cesaro continu en passant par le théorème de la convergence dominée
Quel cas particulier faut-il reconnaître et savoir faire vite ?
Détailler l’idée
Trouver un équivalent de In en +∞
1/2* dans le dernier résultat, au lieu de 1/n
Trouver un équivalent de In en +∞
Trouver un équivalent de I(x) lorsque x tend vers +∞
Que peut-on dire de la limite en +∞ d’une transformée de Laplace ?
Justif
Que sont les théorèmes de la valeur initiale et de la valeur finale pour une transformée de Laplace ?
Justif
On appelle méthode de Laplace :
Justif
Comment montrer qu’une application définie par une intégrale impropre est continue ?
- il faut la continuité par morceaux par rapport à t pour que l’intégrale soit déjà définie
- alors, la domination conserve la continuité de f(•,t)
En pratique, comment montre-t-on qu’une application définie par une intégrale impropre est continue ?
Montrer que la transformée de Laplace d’une fonction continue par morceaux et bornée est continue sur IR+*
Comment dériver une fonction définie par une intégrale impropre ?
(Il suffit que l’hypothèse de domination soit vraie au voisinage de tout point x€A)
Comment dériver n fois une fonction définie par une intégrale impropre ?
Cf. dérivation simple
Montrer que Γ est de classe C∞ et déterminer l’expression de ses dérivées successives
Montrer que l’application g est de classe C∞ et déterminer ses dérivées successives
Calculer la somme de la série harmonique alternée en utilisant le théorème de la convergence dominée
Pas obligé de détailler autant
Calculer la limite de F en +∞
Montrer que F est de classe C1 sur ]0,+∞[
Calculer F(x) - ζ(x) et en déduire la limite de ζ en +∞, sachant que F(x → +∞) = 1
Seuls les termes pair sont conservés
On appelle (cn) le produit de Cauchy de la fonction F (= ζ alternée) par elle-même.
Justifier mieux
Déterminer la nature du produit de Cauchy Σcn de la fonction F (= ζ alternée) par elle-même, en x=1
On pourra passer par Hn
Justifier pour de vrai le c)
