Rappels De SUP Du Cours De LLG Flashcards
Quel raisonnement utiliser si on veut montrer quelque chose qui s’exprime comme une négation (par exemple qu’un nombre est irrationnel) ?
On raisonne par l’absurde
Quel raisonnement utiliser si on veut montrer l’existence d’un objet qu’on ne peut pas expliciter, on sait juste qu’il existe ?
On raisonne par l’absurde
Quel raisonnement utiliser pour déterminer l’ensemble des éléments qui vérifient une certaines propriété ?
On raisonne par analyse-synthèse
Si on n’a pas directement la démarche à suivre pour montrer une propriété, que faire ?
- la comprendre : essayer pour des petites valeurs
- expliciter mathématiquement les hypothèses et la propriété qu’on veut montrer
Comment montrer les propriétés du type «il existe un unique …» ?
On sépare existence et unicité :
- si c’est un truc théorique, formel, l’existence se montre par l’absurde
- si c’est un truc pratique, l’existence peut se montrer en explicitant l’élément (analyse-synthèse)
- pour l’unicité, on suppose qu’on a deux éléments qui vérifient la propriété et on montre qu’ils sont égaux
Si z ≠ λ, développer en série entière 1/(z-λ)
Développer en série entière 1/(a-exp(i.θ)), si a≠1, pour tout θ dans IR
À quoi faut-il penser pour calculer une somme avec des coefficients binomiaux ?
À la formule de binôme de Newton, appliquée en certains points
Comment exprimer la somme des pairs à partir de la somme de tous ?
Soit (ai)i€[|1,n|], exprimer la somme des ai, le tout au carré
C’est comme la covariance de la somme : c’est parce que le produit aussi est bilinéaire (on fait le produit de la somme)
Si on rencontre le polynôme X² + a.X + 1, a€IR, que peut-il être intéressant de poser ?
Quelles sont les racines du polynôme translaté ?
Justif
Visuellement c’est évident
Quelles sont les racines du polynôme «miroir» ?
Justif
Comment montrer qu’un polynôme non nul de degré n admet au plus n racine comptées avec multiplicité ?
Sinon il serait divisible par tous les (X-λ)mλ, avec λ les racines et mλ leurs multiplicités, et il serait de degré supérieur à n
Donner la forme factorisée de Xⁿ - 1
Donner les trois caractérisation de la multiplicité d’une racine
Montrer l’équivalence entre les propriétés
Comment lier la multiplicité d’une racine de P à sa multiplicité en tant que racine de P’ ?
Justif
Montrer l’unicité des polynômes de Tchebychev
Que peut-on dire de P de degré n si on lui a trouvé n racines ?
Quel est le comportement d’un polynôme au voisinage d’une de ses racines ? Qu’en déduit-on ?
Si on a un polynôme de degré supérieur à 2, on ne peut en général pas le factoriser, mais on peut déterminer son nombre de racines et les localiser, comment ?
On dérive et selon les cas on regarde les variations de la dérivée.
Une fois qu’on a ces intervalles, on peut regarder si P est au-dessus ou en-dessous de 0 aux bornes de chacun et en déduire d’après le théorème de la bijection le nombre de racines et les intervalles auxquels elles appartiennent.
Que peut-on dire de P’ si P est un polynôme réel scindé à racines simples ?
Justif
Montrer que si P est scindé à racines simples :
Que peut-on dire de la dérivée d’un polynôme scindé ?
Justif
Écrire l’ensemble des racines n-ième de l’unité
Comment trouver les racines n-ième d’un nombre complexe ?
Ainsi : si on a une racine on les a toutes
Comment résoudre z² = a + i.b ?
On pose z = a’ + i.b’, on développe tout et on a l’égalité des parties réelles et imaginaires.
Factoriser le polynôme Xⁿ - z0ⁿ
D’après les racines n-ième de z0ⁿ, car z0 est lui-même solution
Factoriser le polynôme X² + X + 1 en justifiant. Que peut-on dire de manière plus générale ?
Justif
Que peut-on dire des racines d’un polynôme pair ?
Justif
Que peut-on dire de particulier des racines d’un polynôme à coefficients réels ?
Justif
Car alors ak = ak\ pour tout k et donc P =P\
Factoriser ce polynôme
Comment effectuer la décomposition en polynômes irréductibles d’un polynôme dans IR ?
Que peut-on dire du nombre de racines réelles d’un polynôme réel en fonction de son degré ?
Justif
Le nombre de racines réelles, comptées avec multiplicité, est de même parité que le degré du polynôme.
En effet, le nombre de racines complexes est pair puisqu’elles sont conjuguées deux à deux, celles qui restent sont les racines réelles
Que peut-on dire de particulier des racines d’un polynôme réel de degré impair ?
Il est admet au moins une, puisque le nombre de racine est de la même parité que le degré il ne peut pas en avoir 0
Factoriser Xⁿ - 1 dans IR[X]
Exprimer le déterminant de l’image d’une famille
Qu’est-ce que la matrice de Van Der Monde ? Que représente-t-elle ? En déduire l’expression de son inverse, si elle est inversible.
Qu’est-ce que le déterminant de Van der Monde ?
Démontrer par récurrence
Justifier l’existence et l’unicité des polynômes de Lagrange
Qu’est-ce que le déterminant de Van der Monde ?
Démontrer par récurrence
Quel est le lien entre les polynômes de Lagrange et la base canonique de IKⁿ ?
(u(L1), …, u(Ln)) est la base canonique de IKⁿ et (u-1(e1), …, u-1(en)) est la base des polynômes de Lagrange de IKn-1[X]
Avec u qui à P dans IKn-1[X] associe (P(a1), …, P(an))
u le polynôme d’évaluation en n points (a1, …, an) déterminer l’unique polynôme P tel que u(P) = Y
Avec Li les polynômes de Lagrange des points d’évaluation de u
Quelles sont les coordonnées d’un polynôme P dans la base des polynômes de Lagrange ?
Montrer
(C’est un exemple d’utilisation)
Quel est le lien entre les polynômes de Lagrange et la division euclidienne ?
Par unicité du polynôme d’interpolation
Autrement dit : le polynôme d’interpolation de P en les points (a1, …, an) est le reste de la division euclidienne de P par B = …
Qu’est-ce que la base de Newton et quand l’utilise-t-on ?
On l’utilise pour trouver les points où un polynôme coincide avec une fonction
Qu’est-ce que l’interpolation de Taylor ?
Justif
Expliciter un polynôme P dans la base des polynômes de Taylor
Quel est le lien entre les polynômes de Taylor et la formule de Taylor-Lagrange ?
Les yk sont les f(k)(a)
Qu’est-ce que le principe des polynômes d’interpolation de Hermite ?
Comment exprimer l’ensemble des solutions d’une équation u(x) = b en fonction d’une solution particulière x0 ?
Justif
Rappeler la formule de Grassman
Montrer matriciellement que deux formes linéaires de même noyau sont proportionnelles
À quelle condition de stabilité a-t-on MatB(u) triangulaire supérieure ?
Quelle est le lien entre stabilité et matrice compagnon ?
Que vaut det(λ.A) ?
λⁿ.det(A)
Montrer que sup(A+B) = sup(A) + sup(B)
Justif
Comment montrer que |x| < a ?
On montre que x<a et -x<a
Justif
Comment majorer un pour n≥p ?
Qu’est-ce que l’inégalité de la moyenne ?
Quelle inégalité sur n réels obtient-on par la concavité du ln ?
