Espaces Vectoriels Normés Flashcards
Définir une norme de manière générale
Donner trois exemples de normes sur IR²
Donner trois exemples de normes sur IK^n
Donner trois exemples de normes sur M_n(IK)
Donner trois exemples de normes sur l’ensemble des fonctions continues sur [a,b]
Montrer que c’est une norme
Comment encadrer ||x - y|| ?
Démontrer
Qu’appelle-t-on norme uniforme, quel est son intérêt ?
Elle fait passer à la limite toutes les propriétés
Définir deux normes équivalentes
Que vaut la diagonale de la puissance q€Z d’une matrice triangulaire ?
La puissance q€Z de la diagonale de la matrice initiale ! Pas que pour les diagonales, aussi pour les triangulaires de manière plus générale
Comment savoir quelle norme on utilise en dimension finie pour montrer une limite ?
Soit on nous en a donné une dans l’énoncé, soit on utilise celle qui nous arrange, car toutes les normes sont équivalentes en dimension finie
Faut-il démontrer que les normes 1, 2 et ∞ en sont si on nous le demande pas ?
Non
Montrer que la norme 1 et la norme ∞ sont équivalentes sur IRⁿ
Comment montre-t-on que deux normes ne sont pas équivalentes ?
On trouve une suite de vecteurs bornée pour l’une des normes et non bornée pour l’autre
Montrer que B(0,1) est un ouvert
Montrer que /B(0,1) est un fermé
E est-il un ouvert ?
Oui
∅ est-il un ouvert ?
Oui
Que peut-on dire de l’intersection et de l’union d’ensembles ouverts ?
- L’union quelconque d’ensembles ouverts reste ouverte
- L’intersection finie d’ensembles ouverts reste ouverte
E est-il un fermé ?
Oui car son complémentaire est ∅ qui est ouvert
∅ est-il un fermé ?
Oui car son complémentaire est E qui est ouvert
Que peut-on dire de l’union et de l’intersection de fermés ?
- L’union finie d’ensembles fermés reste fermée
- L’intersection quelconque d’ensembles fermé reste fermés
Quand dit-on que x€E est intérieur à A ⊂ E ?
Il faut qu’il existe un rayon à partir duquel on est complètement dedans