Espaces Vectoriels Normés Flashcards
Définir une norme de manière générale
Donner trois exemples de normes sur IR²
Donner trois exemples de normes sur IK^n
Donner trois exemples de normes sur M_n(IK)
Donner trois exemples de normes sur l’ensemble des fonctions continues sur [a,b]
Montrer que c’est une norme
Comment encadrer ||x - y|| ?
Démontrer
Qu’appelle-t-on norme uniforme, quel est son intérêt ?
Elle fait passer à la limite toutes les propriétés
Définir deux normes équivalentes
Que vaut la diagonale de la puissance q€Z d’une matrice triangulaire ?
La puissance q€Z de la diagonale de la matrice initiale ! Pas que pour les diagonales, aussi pour les triangulaires de manière plus générale
Comment savoir quelle norme on utilise en dimension finie pour montrer une limite ?
Soit on nous en a donné une dans l’énoncé, soit on utilise celle qui nous arrange, car toutes les normes sont équivalentes en dimension finie
Faut-il démontrer que les normes 1, 2 et ∞ en sont si on nous le demande pas ?
Non
Montrer que la norme 1 et la norme ∞ sont équivalentes sur IRⁿ
Comment montre-t-on que deux normes ne sont pas équivalentes ?
On trouve une suite de vecteurs bornée pour l’une des normes et non bornée pour l’autre
Montrer que B(0,1) est un ouvert
Montrer que /B(0,1) est un fermé
E est-il un ouvert ?
Oui
∅ est-il un ouvert ?
Oui
Que peut-on dire de l’intersection et de l’union d’ensembles ouverts ?
- L’union quelconque d’ensembles ouverts reste ouverte
- L’intersection finie d’ensembles ouverts reste ouverte
E est-il un fermé ?
Oui car son complémentaire est ∅ qui est ouvert
∅ est-il un fermé ?
Oui car son complémentaire est E qui est ouvert
Que peut-on dire de l’union et de l’intersection de fermés ?
- L’union finie d’ensembles fermés reste fermée
- L’intersection quelconque d’ensembles fermé reste fermés
Quand dit-on que x€E est intérieur à A ⊂ E ?
Il faut qu’il existe un rayon à partir duquel on est complètement dedans
Qu’appelle-t-on intérieur de A ?
On prend A sans tous ses fermés
Quand dit-on qu’un point est adhérent à un ensemble A ⊂ E ?
Qu’appelle-t-on adhérence de A ?
On prend A et tous ses «bouts»
On considère A = [0,1[ U {2}, donner son intérieur et son adhérence
Intérieur : ]0,1[
Adhérence : [0,1] U {2}
Comment caractériser l’intérieur ? Justif
Comment caractériser l’adhérence ? Justif
Comment caractériser A fermé et A ouvert par l’adhérence et l’intérieur ?
Définir la densité
Qu’appelle-t-on un ensemble borné ? À quoi faut-il faire attention ?
Attention, cela dépend de la norme dans laquelle on se place. C’est par exemple le principe pour montrer que deux normes ne sont pas équivalentes.
Qu’appelle-t-on un ensemble convexe ?
Définir une suite dans un espace vectoriel normé
Que signifie-t-il de dire qu’une suite de E converge ?
Quelle est la méthode pour montrer qu’une application est une norme ?
- on montre qu’elle est positive
- on vérifie les trois propriétés du cours pour une norme
Comment montrer qu’un ensemble est un ouvert ?
- Introduire un élément de l’ensemble
- Poser δ la distance de cet élément au bord
- Montrer que la boule centrée en l’élément et de rayon δ/2 est incluse dans l’ensemble
Ou
- Montrer que son complémentaire est fermé (généralement plus simple)
Ou
- image réciproque d’un ouvert par une application continue
Comment montrer qu’un ensemble est un fermé ?
- Par caractérisation séquentielle (90% du temps)
OU
- Montrer que son complémentaire est un ouvert
OU
- Image réciproque d’un ouvert par une application continue
Comment déterminer l’intérieur et l’adhérence d’un ensemble simple ?
- déterminer intuitivement le «plus grand fermé contenu dans A» / A sans ses bornes fermées, c’est l’intérieur
- déterminer intuitivement le «plus petit fermé contenant A» / A avec ses bornes, c’est l’adhérence
A quoi faut-il faire attention pour les normes usuelles ?
Il ne faut pas oublier les modules, pour toutes les normes
Une partie qui n’est pas ouverte est-elle nécessairement fermée ? Justif
Non, par exemple [0,1[ dans IR
Quelle est la méthode pour montrer qu’il existe quelque chose dont on a aucune idée ?
On raisonne par analyse-synthèse
Quelle est la condition pour qu’un sup soit défini ? Dans le cas précis d’une fonction ?
Il faut que l’ensemble soit majoré et non vide. Pour une fonction, elle doit donc être bornée/majorée et l’ensemble sur lequel on le met doit être non vide.
Comment montrer qu’un maximum est inférieur à quelque chose ?
On introduit i€A et on montre que c’est inférieur à ce quelque chose.
Alors, le max(…)i€A est inférieur par définition.
Quelle information a-t-on constamment lorsqu’on cherche une suite pour montrer que deux normes ne sont pas équivalentes ?
Il faut que ce soit des suites de dimension infinies, sinon elles seraient toutes équivalentes
Lorsqu’on a des matrices symétriques et anti-symétriques, à quoi faut-il penser ?
À transposer
Comment écrire plus simplement ||.||2 dans Mn(IK) ?
Comment montrer qu’une partie n’est pas bornée ?
Trouver une suite d’éléments de la partie dont la norme tend vers +∞
Comment montrer qu’une partie n’est pas convexe ?
On cherche deux éléments de la partie tels que la demi-somme ne soit pas dans la partie (on cherche d’abord l’élément pas dans la partie, c’est plus simple)
Montrer après qu’elle ne converge pas selon la norme ∞
Que peut-on dire de la combinaison linéaire de deux suites qui convergent ?
Elle converge et sa limite et la combinaison linéaire des limites
Comment montrer qu’une suite tend vers un vecteur ?
On regarde la norme de la suite moins le vecteur et on montre que ça tend vers 0
A quelle condition la limite du produit de deux suites est-elle le produit des limites ? Pourquoi
Si l’une des suites est réelles
Car sinon, le produit de vecteur n’est pas forcément défini.
Lorsqu’on évalue une fonction en un certain point, que faut-il dire ?
«Pour x=…,»
La limite d’une suite de vecteurs est-elle unique ?
Oui, pour une norme donnée
Qu’est-ce que la caractérisation séquentielle d’un point adhérent ? Demo
x€/A ⇔ il existe une suite d’éléments de A qui tend vers x
Qu’est-ce que la caractérisation séquentielle d’un fermé ?
Démo
A fermé ⇔ toute suite d’éléments de A qui converge le fait vers un élément de A
Définir la limite et la continuité d’une fonction d’un evn dans un autre. À quoi faut-il faire attention ?
Attention : la limite et la continuité dépendent des normes utilisées !
Que peut-on dire de la combinaison linéaire de fonctions continues sur un evn ?
Leur combinaison linéaire est continue sur l’evn
Dans quel cas peut-on dire que le produit de deux fonctions continues sur un evn est continu ?
Si l’une des deux fonctions est à valeurs réelles
Que signifie-t-il de dire intuitivement qu’une application est continue sur un evn ?
Que si deux antécédents sont proches, leurs images sont proches
Comment lier continuité et ouvert/fermé ?
Démontrer
En gros, pour chaque élément de l’ensemble de départ, puisque l’ensemble d’arrivée est ouvert, on peut trouver une boule ouverte autour de son image. Comme f est continue, l’antécédent de cette boule est une boule dans l’ensemble de départ, autour de l’élément initial. Donc il existe une boule autour de chaque élément : cet ensemble de départ (f<-1>(0)) est ouvert.
Sur IR, que peut-on dire de l’ensemble des x tels que f(x) vérifier une inégalité stricte ? large ? Justif
(Avec f continue)
Quelles sont les deux équivalences à T continue sur E, si T€L(E,F) ? Démo
T continue sur E*
Les équivalences à φ continue sont-elles conservées si φ n’est pas linéaire mais multi-linéaire ?
Oui
(x,y)* au lieu de (x|y)
Que peut-on dire des applications linéaires en dimension finie ? Justif
En dimension finie, toutes les applications linéaires sont continues
Lorsqu’on utilise la sous-multiplicativité pour montrer quelque chose, à quoi peut-on l’appliquer ?
À M et son inverse, M et elle-même (M^k) etc
Comment montrer qu’un ensemble n’est pas fermé par caractérisation séquentielle ?
Trouver un vecteur qui n’est pas dans dans l’ensemble PUIS trouver une suite d’éléments de l’ensemble qui tend vers lui.
Comment montrer qu’une application linéaire de E dans F n’est pas continue ?
On cherche une suite (un) d’éléments de E telle que un → 0 et pas f(un).
On n’a alors pas de constante positive telle que la norme de l’image soit toujours inférieure au produit de cette constante et la norme de l’antécédent.
Que faut-il dire, la première fois, au lieu de dire «par passage au sup» ?
… est un majorant de l’ensemble A (dans le sup). La borne sup étant le plus petit des majorants, sup(A) ≤ …
Énoncer le TBA en dimension n
Que peut-on dire des normes d’un ensemble de dimension finie ?
Elles sont toutes équivalentes
Montrer
Donc, si on prend un sev, quelque soit la boule centrée dans cet sev que l’on choisit, on aura des éléments qui lui sont étrangers
Montrer
Ajouter des ||.|| sur la dernière ligne
Comment déterminer la limite d’une suite en dimension finie, par les coordonnées de ses éléments
Justif
Démontrer l’inégalité de Hölder
Avec p et q tels que 1/p + 1/q = 1
A quoi faut-il faire attention pour utiliser le TBA généralisé ?
Il faut être en dimension finie
Généralement, comment montre-t-on qu’une application linéaire est continue ?
On utilise le caractère lipschitzienne
A quoi faut-il faire attention lorsqu’on à une fonction à deux variables, niveau continuité ?
Il ne faut pas confondre la continuité par rapport à (x,y) et la continuité par rapport à x et à y. La première entraîne la seconde mais la réciproque est fausse.
Que signifie-t-il intuitivement de dire que l’intérieur de F est vide ?
Il n’existe pas de «plage continue» de valeurs de F, on a toujours des éléments de E entre chaque élément de notre ensemble
Une partie autre que E et ∅ peut-elle être ouverte et fermée à la fois ?
Non, mais on ne le sait pas
Est-il plus simple de montrer qu’un ensemble est un ouvert ou un fermé ?
Un fermé, car on a la caractérisation séquentielle
Quelles sont les deux caractérisations d’un hyperplan ?
- noyau d’une forme linéaire non nulle
Ou
- supplémentaire d’une droite vectorielle
Généralement, comment traduit-on l’appartenance à l’adhérence ?
Par l’existence d’une suite telle que décrite par la caractérisation séquentielle
Lorsqu’on a en hypothèse qu’un espace est de dimension finie, quel est le réflexe à avoir ?
Il faut tout de suite poser une base et penser à décomposer au fur et à mesure
Si on fait une analyse synthèse avec des fonctions, que faut-il nécessairement chercher à faire ?
Chercher des propriétés de la nouvelle fonction g introduite en fonction de f (valeurs en certains/infinité de points, de la dérivée etc…)
Qu’appelle-t-on une norme sous-multiplicative ?
C’est une norme sur les matrices telle que N(AB) ≤ N(A) × N(B)
Lorsqu’on essaye de montrer la sous-multiplicativité d’une norme définie par une somme, comment fait-on en général ?
On applique l’inégalité triangulaire, on essaye d’intervertir les sommes pour en mettre une le plus à droite possible et on majore par les normes
