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Maths SPE > Espaces Vectoriels Normés > Flashcards

Espaces Vectoriels Normés Flashcards

1
Q

Définir une norme de manière générale

A
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Q

Donner trois exemples de normes sur IR²

A
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Q

Donner trois exemples de normes sur IK^n

A
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4
Q

Donner trois exemples de normes sur M_n(IK)

A
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Q

Donner trois exemples de normes sur l’ensemble des fonctions continues sur [a,b]

A
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6
Q

Montrer que c’est une norme

A
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7
Q

Comment encadrer ||x - y|| ?

A
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8
Q

Démontrer

A
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9
Q

Qu’appelle-t-on norme uniforme, quel est son intérêt ?

A

Elle fait passer à la limite toutes les propriétés

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10
Q

Définir deux normes équivalentes

A
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11
Q

Que vaut la diagonale de la puissance q€Z d’une matrice triangulaire ?

A

La puissance q€Z de la diagonale de la matrice initiale ! Pas que pour les diagonales, aussi pour les triangulaires de manière plus générale

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12
Q

Comment savoir quelle norme on utilise en dimension finie pour montrer une limite ?

A

Soit on nous en a donné une dans l’énoncé, soit on utilise celle qui nous arrange, car toutes les normes sont équivalentes en dimension finie

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13
Q

Faut-il démontrer que les normes que l’on a introduites en sont si on nous le demande pas ?

A

Non

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14
Q

Montrer que la norme 1 et la norme ∞ sont équivalentes sur IR^n

A
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15
Q

Comment montre-t-on que deux normes ne sont pas équivalentes ?

A

On trouve une suite de vecteurs bornée pour l’une des normes et non bornée pour l’autre

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16
Q

Montrer que B(0,1) est un ouvert

A
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17
Q

Montrer que /B(0,1) est un fermé

A
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18
Q

E est-il un ouvert ?

A

Oui

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19
Q

∅ est-il un ouvert ?

A

Oui

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20
Q

Que peut-on dire de l’intersection et de l’union d’ensembles ouvert ? Justif l’intersection ? A quelle condition ?

A

Pour l’union aussi

Pour l’intersection, il faut qu’elle soit finie

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21
Q

E est-il un fermé ?

A

Oui car son complémentaire est ∅ qui est ouvert

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22
Q

∅ est-il un fermé ?

A

Oui car son complémentaire est E qui est ouvert

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23
Q

Que peut-on dire de l’union et de l’intersection de fermés ? Justif l’intersection ? A quelle condition ?

A

Pour l’union, il faut qu’elle soit finie

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24
Q

Quand dit-on que x€E est intérieur à A ⊂ E ?

A

Il faut qu’il existe un rayon à partir duquel on est complètement dedans

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25
Q

Qu’appelle-t-on intérieur de A ?

A

On prend A sans tous ses fermés

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26
Q

Quand dit-on qu’un point est adhérent à un ensemble A ⊂ E ?

A
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27
Q

Qu’appelle-t-on adhérence de A ?

A

On prend A et tous ses «bouts»

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28
Q

On considère A = [0,1[ U {2}, donner son intérieur et son adhérence

A

Intérieur : ]0,1[

Adhérence : [0,1] U {2}

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29
Q

Comment caractériser l’intérieur ? Justif

A
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30
Q

Comment caractériser l’adhérence ? Justif

A
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31
Q

Comment caractériser A fermé et A ouvert par l’adhérence et l’intérieur ?

A
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32
Q

Définir la densité

A
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33
Q

Qu’appelle-t-on un ensemble borné ? À quoi faut-il faire attention ?

A

Attention, cela dépend de la norme dans laquelle on se place. C’est par exemple le principe pour montrer que deux normes ne sont pas équivalentes.

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34
Q

Qu’appelle-t-on un ensemble convexe ?

A
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35
Q

Définir une suite dans un espace vectoriel normé

A
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36
Q

Que signifie-t-il de dire qu’une suite de E converge ?

A
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37
Q

Montrer que E\(/A) = (E\A)°

A
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38
Q

Quelle est la méthode pour montrer qu’une application est une norme ?

A
  • on montre qu’elle est positive
  • on vérifie les trois propriétés du cours pour une norme
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39
Q

Comment montrer qu’un ensemble est un ouvert ?

A
  1. Introduire un élément de l’ensemble
  2. Poser δ la distance de cet élément au bord
  3. Montrer que la boule centrée en l’élément et de rayon δ/2 est incluse dans l’ensemble

Ou

  • Montrer que son complémentaire est fermé (généralement plus simple)
40
Q

Comment montrer qu’un ensemble est un fermé ?

A

Par caractérisation séquentielle (90% du temps)

OU

Montrer que son complémentaire est un ouvert

41
Q

Comment déterminer l’intérieur et l’adhérence d’un ensemble simple ?

A
  • déterminer intuitivement le «plus grand fermé contenu dans A» / A sans ses bornes fermées, c’est l’intérieur
  • déterminer intuitivement le «plus petit fermé contenant A» / A avec ses bornes, c’est l’adhérence
42
Q

A quoi faut-il faire attention pour les normes usuelles ?

A

Il ne faut pas oublier les modules, pour toutes les normes

43
Q

Une partie qui n’est pas ouverte est-elle nécessairement fermée ? Justif

A

Non, par exemple [0,1[ dans IR

44
Q

Quelle est la méthode pour montrer qu’il existe quelque chose dont on a aucune idée ?

A

On raisonne par analyse-synthèse

45
Q

Quelle est la condition pour qu’un sup soit défini ? Dans le cas précis d’une fonction ?

A

Il faut que l’ensemble soit majoré et non vide. Pour une fonction, elle doit donc être bornée/majorée et l’ensemble sur lequel on le met doit être non vide.

46
Q

Comment montrer qu’un maximum est inférieur à quelque chose ?

A

On introduit i€A et on montre que c’est inférieur à ce quelque chose.

Alors, le max(…)i€A est inférieur par définition.

47
Q

Quelle information a-t-on constamment lorsqu’on cherche une suite pour montrer que deux normes ne sont pas équivalentes ?

A

Il faut que ce soit des suites de dimension infinies, sinon elles seraient toutes équivalentes

48
Q

Lorsqu’on a des matrices symétriques et anti-symétriques, à quoi faut-il penser ?

A

À transposer

49
Q

Comment écrire plus simplement ||.||² dans Mn(IK) ?

A
50
Q

Comment montrer qu’une partie n’est pas bornée ?

A

Trouver une suite de la partie dont la norme tend vers +∞

51
Q

Comment montrer qu’une partie n’est pas convexe ?

A

On cherche deux éléments de la partie tels que la demi-somme ne soit pas dans la partie (on cherche d’abord l’élément pas dans la partie, c’est plus simple)

52
Q

Montrer après qu’elle ne converge pas selon la norme ∞

A
53
Q

Que peut-on dire de la combinaison linéaire de deux suites qui convergent ?

A

Elle converge et sa limite et la combinaison linéaire des limites

54
Q

Comment montrer qu’une suite tend vers un vecteur ?

A

On regarde la norme de la suite moins le vecteur et on montre que ça tend vers 0

55
Q

A quelle condition la limite du produit de deux suites est-elle le produit des limites ? Pourquoi

A

Si l’une des suites est réelles

Car sinon, le produit de vecteur n’est pas forcément défini.

56
Q

Lorsqu’on évalue une fonction en un certain point, que faut-il dire ?

A

«Pour x=…,»

57
Q

La limite d’une suite de vecteurs est-elle unique ?

A

Oui, pour une norme donnée

58
Q

Qu’est-ce que la caractérisation séquentielle d’un point adhérent ? Demo

A

x€/A ⇔ il existe une suite d’éléments de A qui tend vers x

59
Q

Qu’est-ce que la caractérisation séquentielle d’un fermé ? Demo

A

A fermé ⇔ toute suite d’éléments de A qui converge le fait vers un élément de A

60
Q
A
61
Q

Définir la limite et la continuité d’une fonction d’un evn dans un autre. À quoi faut-il faire attention ?

A

Attention : la limite et la continuité dépendent des normes utilisées !

62
Q

Que peut-on dire de la combinaison linéaire de fonctions continues sur un evn ?

A

Leur combinaison linéaire est continue sur l’evn

63
Q

Dans quel cas peut-on dire que le produit de deux fonctions continues sur un evn est continu ?

A

Si l’une des deux fonctions est à valeurs réelles

64
Q

Que signifie-t-il de dire intuitivement qu’une application est continue sur un evn ?

A

Que si deux antécédents sont proches, leurs images sont proches

65
Q

Comment lier continuité et ouvert/fermé ?

A
66
Q
A
67
Q

Démontrer

A

En gros, pour chaque élément de l’ensemble de départ, puisque l’ensemble d’arrivée est ouvert, on peut trouver une boule ouverte autour de son image. Comme f est continue, l’antécédent de cette boule est une boule dans l’ensemble de départ, autour de l’élément initial. Donc il existe une boule autour de chaque élément : cet ensemble de départ (f<-1>(0)) est ouvert.

68
Q

Sur IR, que peut-on dire de l’ensemble des x tels que f(x) vérifier une inégalité stricte ? large ? Justif

(Avec f continue)

A
69
Q

Quelles sont les deux équivalences à T continue sur E, si T€L(E,F) ? Démo

A

T continue sur E*

70
Q

Les équivalences à φ continue sont-elles conservées si φ n’est pas linéaire mais multi-linéaire ?

A

Oui

71
Q

(x,y)* au lieu de (x|y)

A
72
Q

Que peut-on dire des applications linéaires en dimension finie ? Justif

A

En dimension finie, toutes les applications linéaires sont continues

73
Q

Lorsqu’on utilise la sous-multiplicativité pour montrer quelque chose, à quoi peut-on l’appliquer ?

A

À M et son inverse, M et elle-même (M^k) etc

74
Q

Comment montrer qu’un ensemble n’est pas fermé par caractérisation séquentielle ?

A

Trouver un vecteur qui n’est pas dans dans l’ensemble PUIS trouver une suite d’éléments de l’ensemble qui tend vers lui.

75
Q

Comment montrer qu’une application linéaire de E dans F n’est pas continue ?

A

On cherche une suite (un) d’éléments de E telle que un → 0 et pas f(un).

On n’a alors pas de constante positive telle que la norme de l’image soit toujours inférieure au produit de cette constante et la norme de l’antécédent.

76
Q

Que faut-il dire, la première fois, au lieu de dire «par passage au sup» ?

A

… est un majorant de l’ensemble A (dans le sup). La borne sup étant le plus petit des majorants, sup(A) ≤ …

77
Q

Énoncer le TBA en dimension n

A
78
Q

Que peut-on dire des normes d’un ensemble de dimension finie ?

A

Elles sont toutes équivalentes

79
Q

Montrer

A

Donc, si on prend un sev, quelque soit la boule centrée dans cet sev que l’on choisit, on aura des éléments qui lui sont étrangers

80
Q

Montrer

A

Ajouter des ||.|| sur la dernière ligne

81
Q

Comment déterminer la limite d’une suite en dimension finie, par les coordonnées de ses éléments
Justif

A
82
Q
A
83
Q

Démontrer l’inégalité de Hölder

Avec p et q tels que 1/p + 1/q = 1

A
84
Q
A
85
Q

A quoi faut-il faire attention pour utiliser le TBA généralisé ?

A

Il faut être en dimension finie

86
Q

Généralement, comment montre-t-on qu’une application linéaire est continue ?

A

On utilise le caractère lipschitzienne

87
Q

A quoi faut-il faire attention lorsqu’on à une fonction à deux variables, niveau continuité ?

A

Il ne faut pas confondre la continuité par rapport à (x,y) et la continuité par rapport à x et à y. La première entraîne la seconde mais la réciproque est fausse.

88
Q

Que signifie-t-il intuitivement de dire que l’intérieur de F est vide ?

A

Il n’existe pas de «plage continue» de valeurs de F, on a toujours des éléments de E entre chaque élément de notre ensemble

89
Q

Une partie autre que E et ∅ peut-elle être ouverte et fermée à la fois ?

A

Non, mais on ne le sait pas

90
Q

Est-il plus simple de montrer qu’un ensemble est un ouvert ou un fermé ?

A

Un fermé, car on a la caractérisation séquentielle

91
Q

Quelles sont les deux caractérisations d’un hyperplan ?

A
  • noyau d’une forme linéaire non nulle

Ou

  • supplémentaire d’une droite vectorielle
92
Q

Généralement, comment traduit-on l’appartenance à l’adhérence ?

A

Par l’existence d’une suite telle que décrite par la caractérisation séquentielle

93
Q

Lorsqu’on a en hypothèse qu’un espace est de dimension finie, quel est le réflexe à avoir ?

A

Il faut tout de suite poser une base et penser à décomposer au fur et à mesure

94
Q

Si on fait une analyse synthèse avec des fonctions, que faut-il nécessairement chercher à faire ?

A

Chercher des propriétés de la nouvelle fonction g introduite en fonction de f (valeurs en certains/infinité de points, de la dérivée etc…)

95
Q

Qu’appelle-t-on une norme sous-multiplicative ?

A

C’est une norme sur les matrices telle que N(AB) ≤ N(A) × N(B)

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