Intégrales Généralisées Flashcards
Qu’appelle-t-on intégrale généralisée dans l’idée ?
Intégrale sur I qui n’est plus un segment fermé
Qu’appelle-t-on fonction continue par morceaux sur un segment ?
Si I est un intervalle quelconque, qu’appelle-t-on fonction continue par morceau sur I ?
Comment note-t-on f à valeurs positives intégrable sur I
Définir l’intégrale d’une fonction continue par morceau sur un segment
Qu’appelle-t-on une fonction positive intégrable sur un intervalle I ?
Qu’appelle-t-on son intégrale généralisée ?
Qu’est-ce que la propriété de linéarité de l’intégrale et le critère de comparaison des intégrales des fonctions positives ?
Justif le deuxième
Établir les résultats de l’intégrale de Riemann en 0
Établir les résultats de l’intégrale de Riemann en +∞
Déterminer l’intervalle de définition de la fonction Γ (sans envisager de nombre complexe)
Définir l’intégrabilité sur IK
Cette fonction est-elle intégrable sur [1,+∞[ ?
L’intégrale de Dirichlet est-elle intégrable sur IR*+ ?
Justif
Que peut-on dire de l’intégrale sur I d’une fonction à valeurs dans IK intégrable sur I ?
Elle existe (équivalent de l’absolue convergence)
Qu’appelle-t-on intégrale sur [a,b[ de f dans IK ?
(Si elle existe)
Est-ce que la convergence de l’intégrale implique que la fonction est intégrable ?
Non : une fonction intégrable est une fonction dont l’intégrale du module converge, pas l’intégrale elle-même !
Définir la convergence d’une intégrale
ln est-elle intégrable sur ]0,1] ? Si oui quelle est son intégrale ?
Justif
Il vaut mieux justifier tranquillement que c’est intégrable car -ln(t) est continue sur ]0,1] et est un O(√(t)) en 0, avant de calculer
Que sont les propriétés de linéarité, positivité et croissance de l’intégrale ?
Qu’est-ce que le caractère défini positif de l’intégrale ?
Justif
À quoi faut-il faire attention ?
Il faut que la fonction soit continue, pas par morceaux !
L’intégrale d’une fonction positive et continue est nulle ssi la fonction est nulle
Qu’est-ce que le théorème de Chasles généralisé ?
Comment faire une IPP sur un intervalle non fermé ?
Faire l’IPP avec x puis passer à la limite
Énoncer le théorème de changement de variable pour les intégrales généralisées
C1 bijectif
À quoi faut-il faire attention lorsqu’on fait un changement de variable ?
Préciser : de classe C1, strictement monotone (si généralisé)
Que vaut la limite de x → x^α × ln(x) en 0 ? Avec α€IN* ?
0
Quelle est la méthode pour déterminer si une fonction est intégrable sur I ?
Qu’est-ce que le critère de domination ?
Justif
Qu’est-ce que le critère d’équivalence ?
Justif
Quel est le théorème qui marche pour les séries mais ne marche pas pour les intégrales ?
La divergence grossière : on peut avoir une fonction intégrable dont l’intégrale ne tend pas vers 0 en +∞
Qu’est-ce qu’il faut rajouter pour avoir une sorte de divergence grossière ?
Justif
Montrer que f n’est pas intégrable mais que son intégrale converge (sur IR)
Alors, f(Σ(k=1 → n+1)(λi.xi)) ≤ Σ(k=1 → n+1)(λi.f(xi)), donc P(n+1) est vraie. ✅
(Pour trouver λn’ et xn’, on sait qu’il faut :
- λn + λn+1 = λn’
- λn.xn + λn+1.xn+1 = λn’.xn’)
Qu’appelle-t-on le Cesaro continu ?
Justif
Si F → λ en +∞,
Alors 1/x × ∫<0→x>(F) → λ en +∞
Démo :
Quelle est la première chose à faire lorsqu’on traite une intégrale généralisée ?
Justifier sur quel intervalle la fonction est continue, et donc trouver là où ça marche pas
Comment «forcer» la puissance de 1/t pour se ramener à une intégrale de Riemann ?
Par IPP, en dérivant du 1/t ou en intégrant du exp(-t) par exemple
Si on a une fonction dont le signe varie, dont l’intégrale n’est pas absolument convergente, comment déterminer si elle converge ?
On fait le DL de la fonction jusqu’à un terme dont l’intégrale est absolument convergente et on regarde la convergence des termes avant. Comme les séries.
Quelle est la deuxième intégrale de référence ?
C’est celle de t → exp(-α.t) sur IR+, qui converge si et seulement si α > 0
Que peut-on dire de la composée de deux fonctions continues par morceaux ?
Rien
Quelle condition ne faut-il pas oublier pour dire que ∫|f|=0 ⇒ f=0 ?
Que |f| est continue, sinon on pourrait avoir un nombre fini de points de discontinuité et la fonction ne serait pas nulle
À quoi faut-il faire attention lorsqu’on écrit la dérivée de x → ∫<a → x>(f(t).dt) ?
C’est x → f(x) et pas x → f(x) - f(a) !
La constante qui varie est justement celle de la primitive, l’autre borne de l’intégrale, le a. On n’a en aucun cas une dérivée à une constante près !
Comment faire le développement asymptotique d’une fonction ?
On trouve l’équivalent, on factorise par cet équivalent, puis on fait des DL
Poser xk(n)*
Comment montrer qu’une intégrale de fonction positive converge par majoration ?
À quelle condition peut-on dire que lim(fog) = f(lim(g)) en un point a ?
Si et seulement si f est continue en : lim(g) en a
Qu’est-ce que la technique d’«alourdissement du dénominateur» ?
(Ce n’est pas un nomination officielle)
Si le dénominateur n’est pas assez grand pour converger (Riemann), on peut faire une IPP pour augmenter artificiellement sa puissance, en s’assurant que le crochet converge (en dérivant du 1/t ou en intégrant du exp(-t) par exemple)
Pourquoi ne faut-il pas être gêné si on a des exp imaginaires dans les intégrales ?
Car elles sont de module 1, donc disparaissent lorsqu’on applique le module
Si on a trouvé k€IN tel que k ≤ x < k + 1, que peut-on conclure, comment ?
Par unicité de la partie entière, ⌊x⌋ = k
Comment montrer qu’une fonction est continue par morceau sur un intervalle I qui n’est pas un segment ?
On prend [a,b] avec a < b et on montre que f est continue par morceau sur [a,b]
Lorsqu’on cherche l’expression d’une suite/de la limite d’une suite et qu’on ne voit rien d’évident, quelle est la première chose à faire ?
Regarder u(n+1)
Comment se ramener en 0 pour regarder si x → f(x) est intégrable en a+ ?
Si x → f(a+x) est intégrable en 0+ (changement de variable)
Définir une subdivision et son pas
Définir une subdivision adaptée à une fonction continue par morceau
D’où vient le fait que si f et g sont continues par morceaux, f+g et f.g sont continues par morceaux ?
Que donne l’hypothèse ∫f = 0, avec f une fonction positive, si on n’ajoute pas l’hypothèse de continuité ?
Définir une fonction continue par morceaux sur un intervalle quelconque
Une fonction continue par morceaux sur un segment peut-elle diverger ?
Justif
Une fonction continue par morceaux sur un segment est bornée.
Chaque restriction est bornée d’après le TBA car continue, on prend le max des bornes.
Que peut-on dire de la primitive d’une fonction continue par morceaux ?
Que peut-on préciser sur un segment ?
≤
Peut-on faire une IPP sur des fonctions continues par morceaux ?
Justif
Si α < β, quelles négligeabilités peut-on établir entre x^α et xβ
Quelle comparaison peut-on faire entre la puissance et l’exponentielle au voisinage de +∞ ?
Quelle comparaison peut-on faire entre le ln et la puissance au voisinage de +∞ ?
Quelle comparaison peut-on faire entre le ln et la puissance au voisinage de 0 ?
Quelle est la forme utile de la définition de f = Ob(g) ?
De quoi dépend uniquement la convergence de l’intégrale ?
Qu’est-ce que cela entraine ?
Qu’est-ce que le reste d’une intégrale convergente ? Quelle propriété de l’intégrale permet de le définir ? Quelle propriété vérifie-t-il ?
Quelle est l’interprétation de la convergence d’une intégrale impropre (en une borne) en terme de primitive ?
Justif
Quelle est l’interprétation d’une intégrale impropre (en deux bornes) en terme de primitive ?
Calculer
Qu’est-ce que la linéarité de l’intégrale impropre, à quoi faut-il faire attention ?
Si f : [a, +∞[, on suppose que l’intégrale de f converge sur [a,+∞[, exprimer l’unique primitive de f qui s’annule en +∞
Comment montrer la convergence de l’intégrale d’une fonction positive par une propriété simple sur sa primitive ?
Justif
Comment montrer simplement le caractère défini positif de l’intégrale pour une fonction continue ?
Ce que donne la fonction positive c’est que pour tout intervalle inclus dans [a,b], l’intégrale est positive et inférieure à celle sur [a,b], donc elle est nulle. Donc F est bien constante
Que sont les théorèmes de comparaison pour les intégrales de fonctions positives ?
Justif
Comment utiliser les théorèmes sur les intégrales de fonctions positives si f n’est pas positive sur tout l’intervalle I ?
Quelles sont les comparaisons utiles avec l’intégrale de Riemann en +∞ ?
Quelles sont les comparaisons utiles avec l’intégrale de Riemann en b€IR ?
Quel est le corollaire (portant sur les fonctions intégrables) du théorème de comparaison ?
Montrer l’intervalle de définition de la fonction Γ d’Euler (sans considérer de nombres complexe)
Justif
Étudier la convergence selon les valeurs de α et β
Montrer que la fonction Γ généralise la factorielle
Donc Γ(n+1) = n!
- IPP pour la relation de récurrence
- Γ(1) = 1 pour l’initialisation
Comment faire lorsqu’on fait une IPP sur une intégrale impropre ?
Qu’est-ce que l’intégrale de Gauss ?
Combien vaut-elle ?
(Justif pas)
Attention : sur ]-∞, +∞[, sinon on divise par 2
Quelle changement d’indice simple permet de se ramener à une intégrale connue ?
Avec un changement de variable t = tan(u), on se ramène à une intégrale de Wallis
Définir une intégrale semi-convergente et donner l’exemple le plus connu. Comment s’appelle-t-il ?
Justif
Pour montrer qu’elle converge, il vaut mieux faire une IPP en intégrant sin(t) et en dérivant 1/t (technique d’alourdissement du dénominateur)
Déterminer la valeur, pour α>0
Déterminer la valeur
- IPP
- changement d’indice u = -ln(t)
- utiliser la fonction gamma d’Euler
Pour c≠0, calculer la valeur
Calculer la valeur
Calculer
Donner un exemple de fonction qui tend vers 0 en +∞ mais dont l’intégrale diverge en +∞
Donner un exemple de fonction f telle que f(t) = o+∞(1/t) et son intégrale ne converge pas
Il faut o(1/tα), avec α>1.
(En fait O(1/tα) suffit)
Que peut-on dire d’une fonction positive, décroissante, dont l’intégrale converge ?
Justif
Quel est le critère de convergence d’une fonction de classe C1 faisant intervenir les intégrales à paramètres ?
Justif
Montrer que f converge vers 0
Justif
Si f est continue, comment peut-on préciser l’inégalité triangulaire sur les intégrales ?
Il y a égalité ssi f est de signe constant
Justif
C’est souvent ça qu’on utilise pour montrer qu’un produit est définit sachant que les deux carrés le sont
Justif
Justif
Justif
Quelle est la valeur de l’intégrale de Dirichlet ?
π/2
Justifier que son intégrale est semi-convergente
Qu’est-ce que le théorème de Cesaro en continu ?
Justif
Que signifie az, avec z€ℂ ?
az = aRe(z) × ai.Im(z)
Montrer que sin(t)/t n’est pas intégrable
On prend le diagramme de sin(t)/t, on le met en valeur absolue, et on somme les bosses
Comment retenir les expressions de cos et sin en fonction de t = tan(t/2) ?
Ce sont les mêmes que les coefficients de réflexion en amplitude
Montrer la convergence de l’intégrale puis calculer sa valeur (intégrale d’Euler)
Montrer l’existence de cette intégrale et calculer sa valeur
Il faut l’exprimer comme une série
Comment montrer que :
- Écrire (1 + x/n)n sous forme exponentielle de ln de …
- Faire un DL
Qu’est-ce que l’inégalité de Jensen ?
Comment la montre-t-on ?
On la montre par récurrence, en bidouillant un xn~ en fonction de xn et x(n+1) et un λn~ en fonction de λn et λ(n+1), et en vérifiant que toutes les hypothèses de Pn sont bien vérifiées
Comment montrer que l’intégrale de Dirichlet converge ?
- Poser x€IR*+
- Faire une IPP avec u = 1 - cos(t) et v = 1/t, qui sont de classe C1 sur [1/x , x]
- Faire tendre x vers +∞
Quelle est la valeur de Γ(1/2) ?
Justif
Si on ne trouve pas de changement de variable ni d’IPP qui permette de calculer la valeur d’une intégrale, quelle doit être la troisième chose à laquelle on pense directement ?
DSE
