Intégrales Généralisées

Question 1

Qu’appelle-t-on intégrale généralisée dans l’idée ?

Answer 1

Intégrale sur I qui n’est plus un segment fermé

Question 2

Qu’appelle-t-on fonction continue par morceaux sur un segment ?

Answer 2

Question 3

Si I est un intervalle quelconque, qu’appelle-t-on fonction continue par morceau sur I ?

Answer 3

Question 4

Qu’appelle-t-on une fonction positive sommable sur un intervalle ? Comment la décrit-on également ?

Answer 4

Question 5

Définir l’intégrale sur un segment d’une fonction positive

Answer 5

Question 6

Montrer que f est intégrable et calculer son intégrale sur [0,1]

Answer 6

Question 7

Comment note-t-on f à valeurs positives intégrable sur I

Answer 7

Question 8

Comment déterminer l’intégrale généralisée d’une fonction positive en passant par une suite ?

Answer 8

De segments de I*

Question 9

Comment déterminer que f est intégrable sur I en passant par une majoration ?

Answer 9

Équivalence*

Question 10

Définir l’intégrale d’une fonction continue par morceau sur un segment

Answer 10

Question 11

Comment lier intégrale d’une fonction positive sur un intervalle ouvert et limite d’intégrale ?

Answer 11

Question 12

Qu’est-ce que la propriété de linéarité de l’intégrale et le critère de comparaison des intégrales des fonctions positives ?

Justif le deuxième

Answer 12

Question 13

Établir les résultats de l’intégrale de Riemann en 0

Answer 13

Question 14

Établir les résultats de l’intégrale de Riemann en +∞

Answer 14

Question 15

Montrer que c’est intégrable sur ]0,1] si et seulement si x < 0

Answer 15

∫(0 → 1)* dans la conclusion

Question 16

Déterminer l’ensemble des x tels que l’intégrale de φx(t) sur [1,+∞[ soit définie

Answer 16

=o(1/t²)*

Question 17

Définir l’intégrabilité sur IK

Answer 17

Question 18

Cette fonction est-elle intégrable sur [1,+∞[ ?

Answer 18

Question 19

Montrer que cette application n’est pas intégrable sur [0,+∞[

Answer 19

Question 20

Si une fonction à valeurs dans IK est intégrable sur [a,b[, qu’est-ce que va nous permettre de définir son intégrale ?
Justif

Answer 20

Question 21

Qu’appelle-t-on intégrale sur [a,b[ de f dans IK ?

Answer 21

Question 22

Est-ce que la convergence de l’intégrale implique que la fonction est intégrable ?

Answer 22

Non : une fonction intégrable est une fonction dont l’intégrale du module converge, pas l’intégrale elle-même !

Question 23

Donner un exemple de fonction non intégrable dont l’intégrale converge, en justifiant

Answer 23

Question 24

Définir la convergence d’une intégrale

Answer 24

Question 25

Montrer que ln est intégrable sur ]0,1] et donner son intégrale.

Answer 25

Question 26

Que sont les propriétés de linéarité, positivité et croissance de l’intégrale ?

Answer 26

Question 27

Qu’est-ce que le caractère défini positif de l’intégrale ?
Justif

À quoi faut-il faire attention ?

Answer 27

Il faut que la fonction soit continue, pas par morceaux !

Question 28

Qu’est-ce que le théorème de Chasles généralisé ?

Answer 28

Question 29

Quelles sont les deux méthodes pour faire une IPP sur un intervalle non fermé ?

Answer 29

Question 30

Énoncer le théorème de changement de variable

Answer 30

Question 31

À quoi faut-il faire attention lorsqu’on fait un changement de variable ?

Answer 31

Préciser : strictement monotone, de classe C1

Question 32

Que vaut la limite de x → x^α × ln(x) en 0 ? Avec α€IN ?

Answer 32

0

Question 33

Quelle est la méthode pour déterminer si une fonction est intégrable sur I ?

Answer 33

Question 34

Qu’est-ce que le critère de domination ?
Justif

Answer 34

Question 35

Qu’est-ce que le critère d’équivalence ?
Justif

Answer 35

Question 36

Answer 36

Question 37

Quel est le théorème qui marche pour les séries mais ne marche pas pour les intégrales ?

Answer 37

La divergence grossière : on peut avoir une fonction intégrable dont l’intégrale ne tend pas vers 0 en +∞

Question 38

Qu’est-ce qu’il faut rajouter pour avoir une sorte de divergence grossière ?
Justif

Answer 38

Question 39

Montrer que f n’est pas intégrable mais que son intégrale converge (sur IR)

Answer 39

Question 40

Answer 40

Alors, f(Σ(k=1 → n+1)(λi.xi)) ≤ Σ(k=1 → n+1)(λi.f(xi)), donc P(n+1) est vraie. ✅

Question 41

Answer 41

Question 42

Quelle est la première chose à faire lorsqu’on traite une intégrale généralisée ?

Answer 42

Justifier sur quel intervalle la fonction est continue, et donc trouver là où ça marche pas

Question 43

Comment «forcer» la puissance de 1/t pour se ramener à une intégrale de Riemann ?

Answer 43

Par IPP

Question 44

Si on a une fonction dont le signe varie, dont l’intégrale n’est pas absolument convergente, comment déterminer si elle converge ?

Answer 44

On fait le DL de la fonction jusqu’à un terme dont l’intégrale est absolument convergente et on regarde la convergence des termes avant. Comme les séries.

Question 45

Quelle est la deuxième intégrale de référence ?

Answer 45

C’est celle de t → exp(-α.t), qui converge si et seulement si α > 0

Question 46

Que peut-on dire de la composée de deux fonctions continues par morceaux ?

Answer 46

Rien

Question 47

Quelle condition ne faut-il pas oublier pour dire que ∫|f|=0 ⇒ f=0 ?

Answer 47

Que f est continue, sinon on pourrait avoir un nombre finit de points de discontinuité et la fonction ne serait pas nulle

Question 48

À quoi faut-il faire attention lorsqu’on écrit la dérivée de ∫<a → x>(f(t).dt) ?

Answer 48

C’est x → f(x) et pas x → f(x) - f(a) !

La constante qui varie est justement celle de la primitive, l’autre borne de l’intégrale, le a. On n’a en aucun cas une dérivée à une constante près !

Question 49

Comment faire le développement asymptotique d’une fonction ?

Answer 49

On trouve l’équivalent, on factorise par cet équivalent, puis on fait des DL

Question 50

Answer 50

Poser xk(n)*