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Maths SPE > Intégrales Généralisées > Flashcards

Intégrales Généralisées Flashcards

1
Q

Qu’appelle-t-on intégrale généralisée dans l’idée ?

A

Intégrale sur I qui n’est plus un segment fermé

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Q

Qu’appelle-t-on fonction continue par morceaux sur un segment ?

A
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3
Q

Si I est un intervalle quelconque, qu’appelle-t-on fonction continue par morceau sur I ?

A
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Q

Qu’appelle-t-on une fonction positive sommable sur un intervalle ? Comment la décrit-on également ?

A
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Q

Définir l’intégrale sur un segment d’une fonction positive

A
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6
Q

Montrer que f est intégrable et calculer son intégrale sur [0,1]

A
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7
Q

Comment note-t-on f à valeurs positives intégrable sur I

A
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8
Q

Comment déterminer l’intégrale généralisée d’une fonction positive en passant par une suite ?

A

De segments de I*

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9
Q

Comment déterminer que f est intégrable sur I en passant par une majoration ?

A

Équivalence*

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10
Q

Définir l’intégrale d’une fonction continue par morceau sur un segment

A
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11
Q

Comment lier intégrale d’une fonction positive sur un intervalle ouvert et limite d’intégrale ?

A
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12
Q

Qu’est-ce que la propriété de linéarité de l’intégrale et le critère de comparaison des intégrales des fonctions positives ?

Justif le deuxième

A
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13
Q

Établir les résultats de l’intégrale de Riemann en 0

A
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14
Q

Établir les résultats de l’intégrale de Riemann en +∞

A
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15
Q

Montrer que c’est intégrable sur ]0,1] si et seulement si x < 0

A

∫(0 → 1)* dans la conclusion

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16
Q

Déterminer l’ensemble des x tels que l’intégrale de φx(t) sur [1,+∞[ soit définie

A

=o(1/t²)*

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17
Q

Définir l’intégrabilité sur IK

A
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18
Q

Cette fonction est-elle intégrable sur [1,+∞[ ?

A
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19
Q

Montrer que cette application n’est pas intégrable sur [0,+∞[

A
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20
Q

Si une fonction à valeurs dans IK est intégrable sur [a,b[, qu’est-ce que va nous permettre de définir son intégrale ?
Justif

A
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21
Q

Qu’appelle-t-on intégrale sur [a,b[ de f dans IK ?

A
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22
Q

Est-ce que la convergence de l’intégrale implique que la fonction est intégrable ?

A

Non : une fonction intégrable est une fonction dont l’intégrale du module converge, pas l’intégrale elle-même !

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23
Q

Donner un exemple de fonction non intégrable dont l’intégrale converge, en justifiant

A
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24
Q

Définir la convergence d’une intégrale

A
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25
Q

Montrer que ln est intégrable sur ]0,1] et donner son intégrale.

A
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26
Q

Que sont les propriétés de linéarité, positivité et croissance de l’intégrale ?

A
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27
Q

Qu’est-ce que le caractère défini positif de l’intégrale ?
Justif

À quoi faut-il faire attention ?

A

Il faut que la fonction soit continue, pas par morceaux !

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28
Q

Qu’est-ce que le théorème de Chasles généralisé ?

A
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29
Q

Quelles sont les deux méthodes pour faire une IPP sur un intervalle non fermé ?

A
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30
Q

Énoncer le théorème de changement de variable

A
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31
Q

À quoi faut-il faire attention lorsqu’on fait un changement de variable ?

A

Préciser : de classe C1, strictement monotone (si généralisé)

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32
Q

Que vaut la limite de x → x^α × ln(x) en 0 ? Avec α€IN ?

A

0

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33
Q

Quelle est la méthode pour déterminer si une fonction est intégrable sur I ?

A
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34
Q

Qu’est-ce que le critère de domination ?
Justif

A
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35
Q

Qu’est-ce que le critère d’équivalence ?
Justif

A
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36
Q
A
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37
Q

Quel est le théorème qui marche pour les séries mais ne marche pas pour les intégrales ?

A

La divergence grossière : on peut avoir une fonction intégrable dont l’intégrale ne tend pas vers 0 en +∞

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38
Q

Qu’est-ce qu’il faut rajouter pour avoir une sorte de divergence grossière ?
Justif

A
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39
Q

Montrer que f n’est pas intégrable mais que son intégrale converge (sur IR)

A
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40
Q
A

Alors, f(Σ(k=1 → n+1)(λi.xi)) ≤ Σ(k=1 → n+1)(λi.f(xi)), donc P(n+1) est vraie. ✅

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41
Q
A
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42
Q

Quelle est la première chose à faire lorsqu’on traite une intégrale généralisée ?

A

Justifier sur quel intervalle la fonction est continue, et donc trouver là où ça marche pas

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43
Q

Comment «forcer» la puissance de 1/t pour se ramener à une intégrale de Riemann ?

A

Par IPP

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44
Q

Si on a une fonction dont le signe varie, dont l’intégrale n’est pas absolument convergente, comment déterminer si elle converge ?

A

On fait le DL de la fonction jusqu’à un terme dont l’intégrale est absolument convergente et on regarde la convergence des termes avant. Comme les séries.

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45
Q

Quelle est la deuxième intégrale de référence ?

A

C’est celle de t → exp(-α.t), qui converge si et seulement si α > 0

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46
Q

Que peut-on dire de la composée de deux fonctions continues par morceaux ?

A

Rien

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47
Q

Quelle condition ne faut-il pas oublier pour dire que ∫|f|=0 ⇒ f=0 ?

A

Que f est continue, sinon on pourrait avoir un nombre fini de points de discontinuité et la fonction ne serait pas nulle

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48
Q

À quoi faut-il faire attention lorsqu’on écrit la dérivée de x → ∫<a → x>(f(t).dt) ?

A

C’est x → f(x) et pas x → f(x) - f(a) !

La constante qui varie est justement celle de la primitive, l’autre borne de l’intégrale, le a. On n’a en aucun cas une dérivée à une constante près !

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49
Q

Comment faire le développement asymptotique d’une fonction ?

A

On trouve l’équivalent, on factorise par cet équivalent, puis on fait des DL

50
Q
A

Poser xk(n)*

51
Q

Comment montrer qu’une intégrale converge par majoration ?

A
52
Q

À quelle condition peut-on dire que lim(fog) = f(lim(g)) en un point a ?

A

Si et seulement si f est continue en : lim(g) en a

53
Q

Qu’est-ce que la technique d’«alourdissement du dénominateur» ?

(Ce n’est pas un nomination officielle)

A

Si le dénominateur n’est pas assez grand pour converger (Riemann), on peut faire une IPP pour augmenter artificiellement sa puissance, en s’assurant que le crochet converge

54
Q

Pourquoi ne faut-il pas être gêné si on a des exp imaginaires dans les intégrales ?

A

Car elles sont de module 1, donc disparaissent lorsqu’on applique le module

55
Q

Quelle est la manière la plus simple de faire une IPP sur une intégrale généralisée ?

(Rédaction)

A
  • on pose u = t → … et v = t → …
  • u et v sont de classe C1 sur I
  • u’ = t → … et v’ = t → …
  • lim(u(t).v(t)) = lim(…) = C (s’assurer que ça converge)
  • Alors, par intégration par partie (IPP) : …
56
Q

Si on a trouvé k€IN tel que k ≤ x < k + 1, que peut-on conclure, comment ?

A

Par unicité de la partie entière, ⌊x⌋ = k

57
Q

Comment montrer qu’une fonction est continue par morceau sur un intervalle I qui n’est pas un segment ?

A

On prend [a,b] avec a < b et on montre que f est continue par morceau sur [a,b]

58
Q

Lorsqu’on cherche l’expression d’une suite/de la limite d’une suite et qu’on ne voit rien d’évident, quelle est la première chose à faire ?

A

Regarder u(n+1)

59
Q

Comment se ramener en 0 pour regarder si x → f(x) est intégrable en a+ ?

A

Si x → f(a+x) est intégrable en 0+ (changement de variable)

60
Q

Définir une subdivision et son pas

A
61
Q

Définir une subdivision adaptée à une fonction continue par morceau

A
62
Q

D’où vient le fait que si f et g sont continues par morceaux, f+g et f.g sont continues par morceaux ?

A
63
Q

Que donne l’hypothèse ∫f = 0, avec f une fonction positive, si on n’ajoute pas l’hypothèse de continuité ?

A
64
Q

Définir une fonction continue par morceaux sur un intervalle quelconque

A
65
Q

Une fonction continue par morceaux sur un segment peut-elle diverger ?
Justif

A

Une fonction continue par morceaux sur un segment est bornée.

Chaque restriction est bornée d’après le TBA car continue, on prend le max des bornes.

66
Q

Que peut-on dire de l’intégrale d’une fonction continue par morceaux ?

A
67
Q

Que peut-on préciser sur un segment ?

A

≤

68
Q

Peut-on faire une IPP sur des fonctions continues par morceaux ?
Justif

A
69
Q

Si α < β, quelles négligeabilités peut-on établir entre x^α et xβ

A
70
Q

Quelle comparaison peut-on faire entre la puissance et l’exponentielle au voisinage de +∞ ?

A
71
Q

Quelle comparaison peut-on faire entre le ln et la puissance au voisinage de +∞ ?

A
72
Q

Quelle comparaison peut-on faire entre le ln et la puissance au voisinage de 0 ?

A
73
Q

Quelle est la forme utile de la définition de f = Ob(g) ?

A
74
Q

De quoi dépend uniquement la convergence de l’intégrale ?
Qu’est-ce que cela entraine ?

A
75
Q

Qu’est-ce que le reste d’une intégrale convergente ? Quelle propriété de l’intégrale permet de le définir ? Quelle propriété vérifie-t-il ?

A
76
Q

Quelle est l’interprétation de la convergence d’une intégrale impropre (en une borne) en terme de primitive ?
Justif

A
77
Q

Quelle est l’interprétation d’une intégrale impropre (en deux bornes) en terme de primitive ?

A
78
Q

Calculer

A
79
Q

Qu’est-ce que la linéarité de l’intégrale impropre, à quoi faut-il faire attention ?

A
80
Q

Si f : [a, +∞[, on suppose que l’intégrale de f converge sur [a,+∞[, exprimer l’unique primitive de f qui s’annule en +∞

A
81
Q

Comment montrer la convergence de l’intégrale d’une fonction positive par une propriété simple sur sa primitive ?
Justif

A
82
Q

Comment montrer simplement le caractère défini positif de l’intégrale pour une fonction continue ?

A
83
Q

Que sont les théorèmes de comparaison pour les intégrales de fonctions positives ?
Justif

A
84
Q

Comment utiliser les théorèmes sur les intégrales de fonctions positives si f n’est pas positive sur tout l’intervalle I ?

A
85
Q

Quelles sont les comparaisons utiles avec l’intégrale de Riemann en +∞ ?

A
86
Q

Quelles sont les comparaisons utiles avec l’intégrale de Riemann en b€IR ?

A
87
Q

Quel est le corollaire (portant sur les fonctions intégrables) du théorème de comparaison ?

A
88
Q

Montrer l’intervalle de définition de la fonction Γ d’Euler

A
89
Q

Justif

A
90
Q

Justif

A
91
Q

Justif

A
92
Q

Étudier la convergence selon les valeurs de α et β

A
93
Q

Montrer que Γ(x+1) = x.Γ(x) et en déduire de Γ généralise la factorielle

A
94
Q

Comment faire lorsqu’on fait une IPP sur une intégrale impropre ?

A
95
Q

Qu’est-ce que l’intégrale de Gauss ?

A

Attention : sur ]-∞, +∞[, sinon on divise par 2

96
Q

Quelle changement d’indice simple permet de se ramener à une intégrale connue ?

A

Avec un changement de variable t = tan(u), on se ramène à une intégrale de Wallis

97
Q

Définir une intégrale semi-convergente et donner l’exemple le plus connu. Comment s’appelle-t-il ?
Justif

A
98
Q

Déterminer la valeur, pour a>0

A
99
Q

Déterminer la valeur

A

Converge car…

100
Q

c≠0, calculer la valeur

A
101
Q

Calculer la valeur

A
102
Q

Calculer

A
103
Q

Donner un exemple de fonction qui tend vers 0 en +∞ mais dont l’intégrale diverge en +∞

A
104
Q

Donner un exemple de fonction f telle que f(t) = o+∞(1/t) et son intégrale ne converge pas

A

Il faut o(1/tα), avec α>1.

(En fait O(1/tα) suffit)

105
Q

Que peut-on dire d’une fonction positive, décroissante, dont l’intégrale converge ?

A
106
Q

Quel est le critère de convergence d’une fonction de classe C1 faisant intervenir les intégrales à paramètres ?
Justif

A
107
Q

Montrer que f converge vers 0

A
108
Q

Justif

A
109
Q

Si f est continue, comment peut-on préciser l’inégalité triangulaire sur les intégrales ?

A

Il y a égalité ssi f est de signe constant

110
Q

Justif

A
111
Q

Justif

A
112
Q

Justif

A
113
Q

Justif

A
114
Q

Quelle est la valeur de l’intégrale de Dirichlet ?

A

π/2

115
Q

Justifier que son intégrale est semi-convergente

A
116
Q

Justif

A
117
Q

Justif

A
118
Q

Justif le corollaire

A
119
Q

Qu’est-ce que cela donne si an ~ 1/nα, selon les valeurs de α ?

A
120
Q

Justif

A

Cf. cas des séries

121
Q

Qu’est-ce que le corollaire ?
Comment le démontrer ?

A

Démo cf. séries

122
Q

Qu’est-ce que le théorème de Cesaro en continu ?
Justif

A

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