Intégrales Généralisées Flashcards
Qu’appelle-t-on intégrale généralisée dans l’idée ?
Intégrale sur I qui n’est plus un segment fermé
Qu’appelle-t-on fonction continue par morceaux sur un segment ?
Si I est un intervalle quelconque, qu’appelle-t-on fonction continue par morceau sur I ?
Comment note-t-on f à valeurs positives intégrable sur I
Définir l’intégrale d’une fonction continue par morceau sur un segment
Qu’appelle-t-on une fonction positive intégrable sur un intervalle I ?
Qu’appelle-t-on son intégrale généralisée ?
Qu’est-ce que la propriété de linéarité de l’intégrale et le critère de comparaison des intégrales des fonctions positives ?
Justif le deuxième
Établir les résultats de l’intégrale de Riemann en 0
Établir les résultats de l’intégrale de Riemann en +∞
Déterminer l’intervalle de définition de la fonction Γ (sans envisager de nombre complexe)
Définir l’intégrabilité sur IK
Cette fonction est-elle intégrable sur [1,+∞[ ?
L’intégrale de Dirichlet est-elle intégrable sur IR*+ ?
Justif
Que peut-on dire de l’intégrale sur I d’une fonction à valeurs dans IK intégrable sur I ?
Elle existe (équivalent de l’absolue convergence)
Qu’appelle-t-on intégrale sur [a,b[ de f dans IK ?
(Si elle existe)
Est-ce que la convergence de l’intégrale implique que la fonction est intégrable ?
Non : une fonction intégrable est une fonction dont l’intégrale du module converge, pas l’intégrale elle-même !
Définir la convergence d’une intégrale
ln est-elle intégrable sur ]0,1] ? Si oui quelle est son intégrale ?
Justif
Il vaut mieux justifier tranquillement que c’est intégrable car -ln(t) est continue sur ]0,1] et est un O(√(t)) en 0, avant de calculer
Que sont les propriétés de linéarité, positivité et croissance de l’intégrale ?
Qu’est-ce que le caractère défini positif de l’intégrale ?
Justif
À quoi faut-il faire attention ?
Il faut que la fonction soit continue, pas par morceaux !
L’intégrale d’une fonction positive et continue est nulle ssi la fonction est nulle
Qu’est-ce que le théorème de Chasles généralisé ?
Comment faire une IPP sur un intervalle non fermé ?
Faire l’IPP avec x puis passer à la limite
Énoncer le théorème de changement de variable pour les intégrales généralisées
C1 bijectif
À quoi faut-il faire attention lorsqu’on fait un changement de variable ?
Préciser : de classe C1, strictement monotone (si généralisé)