Suites Et Séries De Fonctions Flashcards
Définir une suite de fonction, B(I, IK) et une norme dessus
Définir la convergence simple et traduire en quantificateurs
Chaque élément a une limite par fn, indépendamment des autres
Déterminer la limite simple
Définir la convergence uniforme et traduire en quantificateurs
On peut toujours trouver un rang à partir duquel, en tout x, la fonction est assez proche de sa limite. C’est différent de la convergence simple car on peut avoir une suite qui tend en tout point vers une fonction mais pour chaque rang on peut aller un peu plus loin et dépasser ε en un certain point.
Il faut donc que fn converge vers f à la même vitesse en tout point.
Comment fait-on généralement pour déterminer la limite uniforme d’une suite de fonctions fn ?
Déterminer si cette suite converge uniformément
Montrer que cette fonction tend uniformément vers 0 sur [a,1], a>0
On peut juste majorer par n.e-n.a
Montrer que fn ne converge pas uniformément sur [0,1] et trouver un intervalle sur lequel elle converge uniformément
Comment passer par une suite auxiliaire pour montrer que fn converge uniformément ?
Comment passer par une suite auxiliaire pour montrer que (fn)n€N ne converge pas uniformément vers f ?
Alors on a M tel que, quelque soit n, on aura toujours un endroit où la fonction est supérieure à M, le sup sera donc toujours supérieur à M et ne peut pas tendre vers 0
C’est-à-dire : trouver une suite (xn) telle que sup|fn - f| ≥ xn pour tout n€IN et xn ne tendant pas vers 0
Montrer que la limite uniforme d’une suite de fonctions continues est continue
Sur quel ensemble et à quelle condition peut-on récupérer la continuité de f ?
Justif
Qu’est-ce que la conservation de la classe C1 par la convergence uniforme ?
- toutes les fonctions de classe C1
- hypothèse faible sur les fn
- hypothèse forte sur les fn’
Qu’est-ce que la conservation de la convergence uniforme par primitivation ? Quel résultat va avec ?
Justif
Soit ε>0, il existe alors n0 tel que … (car CVU),
Soit n ≥ n0, x€I,*
Justif la conservation de la classe C1 par la convergence uniforme
Car fn’…* au lieu de «Et»
Qu’est-ce que le théorème de la double limite ?
- hypothèse forte sur I
- a€/I
- la limite en a existe pour chaque fonction
(Pas convergence simple mais juste convergence lorsque n → +∞)
Justif
(1+z/n)^n*
Définir les trois types de convergence pour une série de fonctions
Définir les convergences simple et uniforme sur les séries
Quelle est la méthode pour montrer qu’une série converge uniformément sur un intervalle I ?
Avant tout, essayer de montrer la CVN
Définir la convergence normale pour les séries
Étudier la convergence normale puis uniforme
∀x€V1 au lieu de ∀x€]1,+∞[*
(V1 = voisinage de 1)
Il aurait d’abord fallu dire que Σ1/n^x CVS (Riemann) pour avoir le droit d’écrire la somme de la série !
Définir et montrer la régularité de la continuité par la convergence uniforme pour les séries.
Justif
Comment peut-on montrer que la limite d’une série de fonctions est continue, sans avoir la convergence uniforme sur tout l’intervalle ?
À quoi faut-il faire attention ?
Ça donne l’idée, car si continue sur J, continue en x0€J, il faut re démontrer en deux lignes à chaque fois
Montrer que la fonction ζ est continue sur ]1, +∞[
Qu’est-ce que le théorème d’interversion série-intégrale sur un segment ? À quoi faut-il faire attention ?
Attention : ce n’est vrai que sur un segment !
Calculer une primitive de la suite limite
Définir la régularité de la classe C1 par la convergence uniforme pour les séries
- toutes les fonctions de classe C1
- hypothèse faible sur Σfn
- hypothèse forte sur Σfn’
Montrer que la fonction ζ est de classe C1 sur ]1, +∞[ et en déduire ses variations
ln(n)/n^a* au lieu de ln(n)/a à chaque fois
Définir la régularité de la classe Ck par la convergence uniforme pour les séries.
- toutes les fonctions sont de classe Ck
- hypothèse faible pour tout j€[|0, k-1|]
- hypothèse forte pour k
Qu’est-ce que le théorème de la double limite pour les séries, à quoi faut-il faire attention ?
Il faut bien que a€/I
- a€/I
- existence de la limite en a pour chaque fonction
- hypothèse forte
Que vaut la limite en +∞ de la fonction ζ ?
Justif
∀n≥2*
Si, intuitivement, on voit que la fonction limite d’une série va diverger vers +∞, en un point où on ne peut pourtant pas utiliser la double limite, comment faire ?
Dans le cas d’une série à termes positifs
Quel est l’équivalent de la fonction ζ en 1 ?
Justif
Quelle est la limite de la fonction ζ en 1 ?
Justif
Intégrale de 0 à x*
Montrer que la limite de cette série de fonctions est définie sur IR+, qu’elle est C1 sur IR*+, qu’elle n’admet pas de «dérivée par la droite» en 0
A quoi faut-il faire attention lorsqu’on utilise la double limite ?
Il faut bien faire tendre vers a€/I, avec f qui converge uniformément sur I ! On ne peut pas du tout l’utiliser dès qu’on veut calculer une limite
Donner, sans justification, la limite de (1 + z/n)^n lorsque n → +∞
C’est e^z = Σ(k=1 → +∞)(z^k/n!), que z soit un réel ou un complexe (c’est en fait comme ça qu’on le définit). Il faut le savoir mais c’est à redémontrer.
Comment utiliser les propriétés de régularité pour montrer qu’une suite de fonctions (fn) ne converge pas uniformément sur un ensemble ?
- on détermine sa limite simple f, on voit qu’elle a un problème
- on suppose par l’absurde que (fn) converge uniformément vers f
- on utilise la propriété de régularité qui nous intéresse
- on a alors une information sur f (par rapport à f’, ∫f, ou quoi que ce soit), qui est absurde
Si la limite simple d’une suite de fonctions fn continues est discontinue, comment montrer que la suite de fonction ne converge pas uniformément ?
- supposer par l’absurde qu’elle converge uniformément vers f
- alors elle converge simplement vers f
- donc f est discontinue
- or, ∀n€IN, fn est continue, donc par théorème de continuité, f est continue
- c’est absurde
Si on veut majorer |fn(t) - f(t)| par un terme qui tend vers 0 lorsque n tend vers +∞, pour passer à la borne supérieure et montrer la convergence uniforme de fn vers f, à quoi faut-il faire attention ?
Il ne faut pas que le terme majorant dépende de t, sinon ça ne marche pas : la définition d’un majorant d’une fonction (ici de t !) nécessite justement qu’il soit une constante de cette variable
Si une suite de fonction fn converge uniformément vers 0 et que la série des fn vérifie les hypothèses du critère spécial des séries alternées pour tout x, comment montrer que la série converge uniformément ?
- Soit x€R+, Σfk(x) vérifie les hypothèse du CSdSA (à justifier) et donc converge simplement
- De plus, |Rn(x)| ≤ |fn+1(x)|, avec Rn(x) = …
- Donc |Rn(x)| ≤ … → 0 lorsque n → +∞ (possible car fn+1 elle même y est inférieure puisqu’elle converge)
- Passer au sup et conclure par encadrement
Sur IR+
Quelles sont les deux méthodes générales pour justifier la convergence normale d’une série de fonctions ?
- Déterminer ||fn||∞ par une étude de fonctions et montrer que sa série est convergente
- Trouver une suite γn telle que |fn(x)| ≤ γn, pour tout x, et Σγn est convergente
Quelle est la première chose à faire pour montrer la convergence uniforme d’une série ?
On étudie sa convergence normale en premier
Généralement, comment montre-t-on qu’une suite de fonctions fn convergeant simplement vers f n’est pas uniformément convergente ?
On trouve une suite xn telle que fn(xn) - f(xn) ne tende pas vers 0 en +∞. On écrit alors :
||fn - f||∞ = sup(x€IR)|fn(x) - f(x)|
≥ |fn(xn) - f(xn)|/→ 0,
Donc ||fn - f||∞ /→ 0 et fn ne CVU pas vers f
Comment rédiger un télescopage en +∞ ?
Écrire Σ∞ = lim(N → +∞)(ΣN) = lim(N → +∞)(…) = …
Si on a S la fonction limite d’une série, monotone, et que S(x+1) + S(x) = f(x), avec f(x) ~ f(x+1) en +∞, quelle est la méthode pour trouver un équivalent de S en +∞ ?
- On utilise la monotonie sur x-1 < x < x+1,
- On remplace S(x-1) et S(x+1) pour faire apparaitre S(x)
- On ajoute S(x) partout pour ne l’avoir plus qu’au milieu
- On utilise le théorème d’encadrement des équivalents
Si on a S la fonction limite d’une série, monotone, et que S(x+1) + S(x) = f(x), avec f → +∞ en a≠+∞, quelle est la méthode pour trouver un équivalent de S en a ?
- On montre la continuité de S en a+1
- lim(x → a)(S(x+1)) = S(a+1)
- S(x) = f(x) - S(x+1) ~ f(x) lorsque x → a
Si on rencontre une fonction polynomiale, bornée sur un intervalle non borné, dans un exercice, que peut-on en dire ?
Elle est constante
Si u(n+1) = f(un) avec f monotone, que peut-on dire de u ?
- Si f est croissante : u est monotone, on peut se ramener à étudier u0 et u1
- Si f est décroissante : (u(2n)) et (u(2n+1)) sont monotones de sens de variation opposés
Si on est sur un intervalle fermé et qu’on cherche à majorer le sup, comment peut-on faire disparaître la dépendance en x ?
- si la fonction est croissante/décroissante, comparer aux bornes
- si la fonction est continue, utiliser le TBA
- si la fonction est lipzitschienne, utiliser cette inégalité
- inégalités classiques
- identités remarquables (≥ 0)
Comment tracer facilement la courbe d’un polynôme du second degré à partir de son expression ?
- parabole orientée en fonction du signe du coefficient dominant
- “centre” de la parabole à la moyenne des racines
- trois points définissant une parabole, on a la courbe du polynôme
Comment “tracer” les différents termes d’une suite définie par récurrence ? Expliquer pourquoi
Si on a : u(n+1) = f(un)
- on trace f et Id
- on a u0, on le ramène verticalement sur la Cf, on a la valeur de u1
- on ramène horizontalement u1 sur Id et on ramène ce point verticalement sur Cf, on a u2
- etc…
En effet, ramener le point verticalement sur Cf revient à calculer son image par f, et ramener cette image sur Id revient à replacer cette valeur à sa valeur selon x, on recommence ainsi de suite. Comme l’image par f fait à chaque fois monter d’un rang, on monte à chaque fois d’un rang.
Plus exactement, cela permet d’avoir la valeur de la composée n-ième, qui n’est autre que un
Si on a une égalité vérifiée entre la suite et sa série et qu’on a réussi à déterminer que la série converge, qu’on veut déterminer sa limite, comment peut-on faire ?
On utilise les équivalents en remplaçant la suite par 0 et la série par l sa limite puisqu’elle converge
Définir la continuité uniforme sur E
Quelle est la différence entre la continuité et la continuité uniforme ?
Pour être continue, il faut que pour tout ε>0, on puisse trouver en chaque point x0 un rectangle (donc une longueur δ>0) tel que la courbe reste contenue dans ce rectangle de dimension εxδ centré en x0.
Pour être continue uniforme, il faut qu’on ait un unique rectangle qui marche pour tous les points !
Donner, en expliquant, un exemple de fonction continue mais non continue uniformément
Ici la fonction est bien continue, c’est ok. Par contre, si on fixe un rectangle qui marche à un pic, il y aura forcément un pic plus tard qui se sera tellement resserré qu’il «percera» le rectangle
Quelles sont propriétés supérieures de la convergence uniforme par rapport à la convergence simple ?
- Conservation de la continuité (limite reste continue)
- Conservation de la dérivabilité (limite reste C1)
- Conservation de manière générale de la classe Ck (limite reste Ck)
- Conservation de la primitive (primitive de la limite = limite des primitives)
- Conservation de l’intégrale (interconversion limite/intégrale)
- Théorème de la double limite (interconversion limite sur n/limite sur x)
Quelles sont les propriétés stables par convergence simple ?
La positivité, la croissance et la convexité (les propriétés d’ordre, car le passage à la limite conserve les inégalités)
Montrer que la positivité, la croissance et la convexité sont des propriétés stables par convergence simple
Que faut-il vérifier si on veut faire la limite en a de la limite d’une suite de fonctions ?
Théorème de la double limite
Que faut-il vérifier si on veut montrer qu’une fonction limite est continue ?
Quel est le lien entre le théorème de la double limite et le théorème de continuité ?
Que faut-il vérifier si on veut calculer l’intégrale de la limite d’une suite de fonctions ?
Donner un exemple de suite de fonctions C1 qui converge uniformément et dont la limite n’est pas C1
Comment faire si on veut dériver la limite d’une suite de fonction ? (Pour déterminer ses variations par exemple)
Si on veut dériver k fois ?
Pour dériver k fois, c’est pareil. Il faut :
- une classe Ck pour chaque fn
- une convergence simple pour toutes les dérivées d’avant
- une convergence uniforme de la suite des dérivés k-ième
Faire un récapitulatif de ce qu’il faut savoir sur les suites de fonctions
- CVS/CVU
- majorer le sup par la croissance de la fonction / le TBA / les inégalités classiques / les identités remarquables (supérieures à 0)
- montrer qu’une suite de fonction ne converge pas uniformément en utilisant une suite auxiliaire
- Calculer la limite au bord de l’intervalle de CVU par le théorème de la double limite
- Continuité de la limite
- Savoir quand on peut intégrer la limite
- Savoir quand on peut dériver (k fois) la limite
- Utiliser par l’absurde les propriétés de régularité pour montrer qu’une suite de fonction ne converge pas uniformément
- Continuité uniforme
Montrer
En premier : CVS d’après le CSSA
Montrer
Comment calculer la limite de la somme d’une série ?
(Théorème de la double limite)
À quelle condition la somme d’une série de fonction est-elle continue ?
Montrer que ζ est continue sur son intervalle de définition
Comment faire pour calculer l’intégrale d’une somme infinie sur un segment ?
Comment faire pour calculer la dérivée d’une somme infinie ?
La dérivée k-ième ?
Pour la dérivée k-ième c’est analogue, il faut que :
- toutes les fn soient de classe Ck
- toutes les dérivées d’avant converge simplement
- la dérivée k-ième converge uniformément
Déterminer l’expression de la dérivée k-ième de ζ. Est-elle croissante ? Convexe ?
S est-elle continue sur IR+* ? croissante ? Que vaut sa limite en +∞ ?
Montrer que S est continue sur IR+\IN
Montrer que S est continue sur IR+*
Donner puis montrer l’équivalent de ζ en 1+
Déterminer un équivalent en +∞
Trouver un équivalent en +∞
On ne peut pas faire une comparaison série intégrale avec fn directement car tous les fn ne sont pas de même monotonie à cause du (-1)n, en revanche tous les f2n + f2n+1 sont de même monotonie, on peut donc faire la comparaison série intégrale en sommant de cette manière.
On n’a pas de problème changement de l’ordre de sommation car on somme toujours les fn dans le même sens.
Faire un récapitulatif des séries de fonction
- Savoir utiliser le reste pour montrer la CVU
- CVN (toujours commencer par CVN pour montrer la CVU)
- Savoir intervertir limite et somme infinie (théorème de la double limite)
- Montrer qu’une série positive diverge vers +∞ lorsqu’on ne peut pas utiliser le théorème de la double limite
- Théorème du continuité
- Savoir intervertir intégrale et somme infinie
- Théorème de classe Ck
- Savoir déterminer un équivalent par comparaison série - intégrale
Comment montrer la croissance ou la décroissance d’une fonction somme de série ?
- définition de la croissance
- signe de la dérivée (théorème de la classe C1)
Si on veut montrer la CVU d’une série alternée, comment fait-on généralement ?
On majore le reste par le CSSA et on montre qu’il tend vers 0
Comment obtenir un équivalent de la somme d’un série de fonctions ?
- On fait une comparaison série / intégrale
- Parfois, en multipliant S (la somme) par x ou x², ou quelque chose comme ça (ce à quoi «équivaut en x» fn(x) lorsque x → +∞), on peut montrer que cette nouvelle somme vers une limite finie λ et donc S est équivalente à λ/x (ou λ/x² etc…). On fait ça quand on veut trouver l’équivalent d’un truc qui tend vers 0 et où on peut «décorreler» le x et le n
Montrer que cette série converge uniformément mais pas normalement et qu’elle est C1
Montrer que G est C1
Rappeler l’inégalité des accroissements finis
Déterminer un équivalent de S en +∞
Pour montrer qu’elle CNV, on pose les fn, on regarde leur dérivée, on remarque qu’elle est toujours positive et on en déduit que le sup|fn| est la limite de fn en +∞, que l’on trouve être 1/n²
À quoi faut-il penser ? Comment faire ?
Au théorème des accroissements finis, il faut montrer que :
- φ est continue sur [a,b] (donc [1,+∞[)
- φ est dérivable sur ]a,b[ (donc ]1,+∞[)
- |φ’| est majorée par le truc
Donc, on montre qu’on peut etc puis on calcule φ’ est on voit
Lorsqu’on fait une comparaison série intégrale et qu’il y a plusieurs variables, laquelle prend en entrée le f que l’on pose ?
Il prend en entrée la variable de sommation (on veut intégrer fn(t), donc bien une dépendance en ce sur quoi on intègre ⇔ on somme)
Quel est l’intérêt des polynômes de Lagrange ?
Ils permettent de définir une base des polynômes à partir de points qu’on choisit nous-mêmes.
On connaît l’expression concrète d’un polynôme dans cette base.
Comment montrer la CVS, la CVU, la CVN, pour les séries ?
- CVS : montrer que ∀x, Σfn(x) converge
- CVU : montrer la CVS puis montrer que sup|Rn| → 0
- CVN : montrer que Σsup|fn| converge
Comment montrer qu’une série à termes positifs ne converge pas uniformément ?
(Méthode supplémentaire par rapport aux méthodes générales)
Comment calculer une primitive F sur I de la somme d’une série de fonctions ?
Soit x€I, calculer ∫<0 → x>Σ en intervertissant (en vérifiant les hypothèses du théorème, bien sur un segment), on a alors F(x) pour tout x, donc F
Comment montrer la convergence uniforme d’une série de fonctions qui respecte le CCSA pour x€I ?
- CVS par le CSSA
- CVU : pour tout n€IN, pour tout x€I, |Rn(x)| ≤ |fn+1(x)| d’après le CSSA, de là on majore par un truc indépendant de t qui tend vers 0 en +∞
Comment déterminer un équivalent d’une somme qui respecte le CSSA pour tout x€I ?
Que peut-on dire si une suite (Pn) de polynômes converge uniformément vers une fonction f sur IR ?
Justif
- quantifier la CVU
- utiliser l’inégalité triangulaire pour montrer que |PN - Pn| est borné sur IR
- en déduire l’expression de PN - Pn
- passer à la limite en n → +∞
Les deux normes infinies × (b-a)*
Comment se décompose un polynôme de degré n dans la base des polynômes de Lagrange (L0, …, Ln), associés à des points (λ0, …, λn) ?
Déterminer une expression simple de S(x+1) + S(x), pour x€IR*+
Montrer que la fonction ζ ne converge pas uniformément sur ]1, +∞[
Comment appliquer tous les théorèmes de suites et séries de fonctions à un produit infini au lieu d’une somme infinie (continuité, classe Ck, double limite etc…)
On applique le ln, on se ramène ainsi à une somme, et ensuite on utilise la croissance du ln, la continuité de exp etc…
