Suites Et Séries De Fonction

Question 1

Définir une suite de fonction, B(I, IK) et une norme dessus

Answer 1

Question 2

Définir la convergence simple et traduire en quantificateurs

Answer 2

Chaque élément a une limite par f, indépendamment des autres

Question 3

Déterminer la limite simple

Answer 3

Question 4

Définir la convergence uniforme et traduire en quantificateurs

Answer 4

On peut toujours trouver un rang à partir duquel, en tout x, la fonction est assez proche de sa limite. C’est différent de la convergence simple car on peut avoir une suite qui tend en tout point vers une fonction mais pour chaque rang on peut aller un peu plus loin et dépasser ε en un certain point.

Il faut donc que fn converge vers f à la même vitesse en tout point.

Question 5

Comment fait-on généralement pour déterminer la limite uniforme d’une suite de fonctions fn ?

Answer 5

• on détermine sa limite simple f
• on montre que la borne supérieure de |fn - f| tend vers 0 lorsque n → +∞
• alors la suite de fonction fn tend uniformément vers f

Question 6

Déterminer si cette suite converge uniformément

Answer 6

Question 7

Montrer que cette fonction tend uniformément vers 0 sur [a,1], a>0

Answer 7

Question 8

Montrer que fn ne converge pas uniformément sur [0,1] et trouver un intervalle sur lequel elle converge uniformément

Answer 8

Question 9

Comment passer par une suite auxiliaire pour montrer que fn converge uniformément ?

Answer 9

Question 10

Comment passer par une suite auxiliaire pour montrer que (fn)n€N ne converge pas uniformément vers f ?

Answer 10

Alors on a M tel que, quelque soit n, on aura toujours un endroit où la fonction est supérieure à M, le sup sera donc toujours supérieur à M et ne peut pas tendre vers 0

Question 11

Montrer que la limite uniforme d’une suite de fonctions continues est continue

Answer 11

Question 12

Sur quel ensemble et à quelle condition peut-on récupérer la continuité de f ?
Justif

Answer 12

Question 13

Qu’est-ce que la conservation de la classe C1 par la convergence uniforme ?

Answer 13

Question 14

Qu’est-ce que la conservation de la convergence uniforme par primitivation ? Quel résultat va avec ?

Justif

Answer 14

Soit ε>0, il existe alors n0 tel que … (car CVU),
Soit n ≥ n0, x€I,*

Question 15

Justif la conservation de la classe C1 par la convergence uniforme

Answer 15

Car fn’…* au lieu de «Et»

Question 16

Qu’est-ce que le théorème de la double limite ?

Answer 16

Question 17

(Pas convergence simple mais juste convergence lorsque n → +∞)

Justif

(1+z/n)^n*

Answer 17

Erreurs dans les signes et les indices des sommes mais c’est ça

Question 18

Définir les trois types de convergence pour une série de fonctions

Answer 18

Question 19

Définir les convergences simple et uniforme sur les séries

Answer 19

Question 20

Quelle est la méthode pour montrer qu’une série converge uniformément sur un intervalle I ?

Answer 20

Question 21

Définir la convergence normale pour les séries

Answer 21

Question 22

Étudier la convergence normale puis uniforme

Answer 22

∀x€V1 au lieu de ∀x€]1,+∞[*

(V1 = voisinage de 1)

Il aurait d’abord fallu dire que Σ1/n^x CVS (Riemann) pour avoir le droit d’écrire la somme de la série !

Question 23

Définir et montrer la régularité de la continuité par la convergence uniforme pour les séries.
Justif

Answer 23

Question 24

Comment peut-on montrer que la limite d’une série de fonctions est continue, sans avoir la convergence uniforme sur tout l’intervalle ?
À quoi faut-il faire attention ?

Answer 24

Ça donne l’idée, car si continue sur J, continue en x0€J, il faut re démontrer en deux lignes à chaque fois

Question 25

En déduire que la limite simple f est continue sur l’intervalle

Answer 25

Question 26

Montrer que la fonction limite est continue de IR sur IR

Answer 26

Question 27

Qu’est-ce que le théorème d’interversion limite-intégrale sur un segment ? À quoi faut-il faire attention ?

Answer 27

Attention : ce n’est vrai que sur un segment !

Question 28

Calculer une primitive de la suite limite

Answer 28

Question 29

Définir la régularité de la classe C1 par la convergence uniforme pour les séries

Answer 29

Question 30

Montrer que ξ est décroissante sur ]1, +∞[

Answer 30

Question 31

Définir la régularité de la classe Ck par la convergence uniforme pour les séries.

Answer 31

Question 32

Qu’est-ce que le théorème de la double limite pour les séries, à quoi faut-il faire attention ?

Answer 32

Il faut bien que a€/I

Question 33

Déterminer la limite en +∞ de la fonction limite de cette série

Answer 33

Question 34

Si, intuitivement, on voit que la fonction limite d’une série va diverger vers +∞, en un point où on ne peut pourtant pas utiliser la double limite, comment faire ?
Dans le cas d’une série à termes positifs

Answer 34

Question 35

En 1

Answer 35

Question 36

Answer 36

Car lim(x → 1+)(ξ(x)) ≥ lim(x → 1+)(Σ(k=1 → n)(1/k^x)

En fait, on étudie la limite de x, tandis qu’on exploite celle de n

Question 37

Answer 37

Question 38

Montrer que la limite de la série est définie sur IR+, qu’elle est C1 sur IR*+, qu’elle n’admet pas de «dérivée par la droite» en 0

Answer 38

Question 39

A quoi faut-il faire attention lorsqu’on utilise la double limite ?

Answer 39

Il faut bien faire tendre vers a€/I, avec f qui converge uniformément sur I

Question 40

Donner, sans justification, la limite de (1 + z/n)^n lorsque n → +∞

Answer 40

C’est e^z = Σ(k=1 → +∞)(z^k/n!), que z soit un réel ou un complexe (c’est en fait comme ça qu’on le définit). Il faut le savoir mais c’est à redémontrer.

Question 41

Comment utiliser les propriétés de régularité pour montrer qu’une fonction ne converge pas uniformément sur un ensemble ?

Answer 41

• on suppose par l’absurde qu’elle y converge vers une fonction f
• on utilise la propriété de régularité qui nous intéresse
• on a alors une information sur f (par rapport à f’, ∫f, ou quoi que ce soit), qui est absurde

Question 42

Si la limite simple d’une suite de fonctions fn continues est discontinue, comment montrer que la suite de fonction ne converge pas uniformément ?

Answer 42

• supposer par l’absurde qu’elle converge uniformément vers f
• alors elle converge simplement vers f
• donc f est discontinue
• or, ∀n€IN, fn est continue, donc par théorème de continuité, f est continue
• c’est absurde

Question 43

Si on veut majorer |fn(t) - f(t)| par un terme qui tend vers 0 lorsque n tend vers +∞, pour passer à la borne supérieure et montrer la convergence uniforme de fn vers f, à quoi faut-il faire attention ?

Answer 43

Il ne faut pas que le terme majorant dépende de t, sinon ça ne marche pas : la définition d’un majorant d’une fonction (ici de t !) nécessite justement qu’il soit une constante de cette variable

Question 44

Si une suite de fonction fn converge uniformément vers 0 et que la série des fn vérifie les hypothèses du critère spécial des séries alternées pour tout x, comment montrer que la série converge uniformément ?

Answer 44

• Soit x€R+, Σfk(x) vérifie les hypothèse du CSdSA (à justifier) et donc converge simplement
• De plus, |Rn(x)| ≤ |fn+1(x)|, avec Rn(x) = …
• Donc |Rn(x)| ≤ … → 0 lorsque n → +∞ (possible car fn+1 elle même y est inférieure puisqu’elle converge)
• Passer au sup et conclure par encadrement

Question 45

Sur IR+

Answer 45

Question 46

Quelles sont les deux méthodes générales pour justifier la convergence normale d’une série de fonctions ?

Answer 46

• Déterminer ||fn||∞ par une étude de fonctions et montrer que sa série est convergente
• Trouver une suite γn telle que |fn(x)| ≤ γn, pour tout x, et Σγn est convergente

Question 47

Quelle est la première chose à faire pour montrer la convergence uniforme d’une série ?

Answer 47

On étudie sa convergence normale en premier

Question 48

Généralement, comment montre-t-on qu’une suite de fonctions fn convergeant simplement vers f n’est pas uniformément convergente ?

Answer 48

On trouve une suite xn telle que fn(xn) - f(xn) ne tende pas vers 0 en +∞. On écrit alors :

||fn - f||∞ = sup(x€IR)|fn(x) - f(x)|
≥ |fn(xn) - f(xn)|/→ 0,

Donc ||fn - f||∞ /→ 0 et fn ne CVU pas vers f

Question 49

Comment rédiger un télescopage en +∞ ?

Answer 49

Écrire Σ∞ = lim(N → +∞)(ΣN) = lim(N → +∞)(…) = …

Question 50

Si on a S la fonction limite d’une série, monotone, et que S(x+1) + S(x) = f(x), avec f(x) ~ f(x+1) en +∞, quelle est la méthode pour trouver un équivalent de S en +∞ ?

Answer 50

• On utilise la monotonie sur x-1 < x < x+1,
• On remplace S(x-1) et S(x+1) pour faire apparaitre S(x)
• On ajoute S(x) partout pour ne l’avoir plus qu’au milieu
• On utilise le théorème d’encadrement des équivalents

Question 51

Si on a S la fonction limite d’une série, monotone, et que S(x+1) + S(x) = f(x), avec f → +∞ en a≠+∞, quelle est la méthode pour trouver un équivalent de S en a ?

Answer 51

• On montre la continuité de S en a+1
• lim(x → a)(S(x+1)) = S(a+1)
• S(x) = f(x) - S(x+1) ~ f(x) lorsque x → a

Question 52

Si on rencontre une fonction polynomiale, bornée sur un intervalle non borné, dans un exercice, que peut-on en dire ?

Answer 52

Elle est constante

Question 53

Si u(n+1) = f(un) avec f monotone, que peut-on dire de u ?

Answer 53

• Si f est croissante : u est monotone, on peut se ramener à étudier u0 et u1
• Si f est décroissante : (u(2n)) et (u(2n+1)) sont monotones de sens de variation opposés

Question 54

Si on est sur un intervalle fermé et qu’on cherche à majorer le sup, comment peut-on faire disparaître la dépendance en x ?

Answer 54

• si la fonction est croissante/décroissante, comparer aux bornes
• si la fonction est continue, utiliser le TBA
• si la fonction est lipzitschienne, utiliser cette inégalité
• inégalités classiques
• identités remarquables (≥ 0)

Question 55

Comment tracer facilement la courbe d’un polynôme du second degré à partir de son expression ?

Answer 55

• parabole orientée en fonction du signe du coefficient dominant
• “centre” de la parabole à la moyenne des racines
• trois points définissant une parabole, on a la courbe du polynôme

Question 56

Comment “tracer” les différents termes d’une fonction définie par récurrence ? Expliquer pourquoi

Answer 56

Si on a : u(n+1) = f(un)

• on trace f et Id
• on a u0, on le ramène verticalement sur la Cf, on a la valeur de u1
• on ramène horizontalement u1 sur Id et on ramène ce point verticalement sur Cf, on a u2
• etc…

En effet, ramener le point verticalement sur Cf revient à calculer son image par f, et ramener cette image sur Id revient à replacer cette valeur à sa valeur selon x, on recommence ainsi de suite. Comme l’image par f fait à chaque fois monter d’un rang, on monte à chaque fois d’un rang.

Plus exactement, cela permet d’avoir la valeur de la composée n-ième, qui n’est autre que un

Question 57

Si on a une égalité vérifiée entre la suite et sa série et qu’on a réussi à déterminer que la série converge, qu’on veut déterminer sa limite, comment peut-on faire ?

Answer 57

On utilise les équivalents en remplaçant la série par l sa limite puisqu’elle converge

Question 58

Définir la continuité uniforme sur E

Answer 58

Question 59

Quelle est la différence entre la continuité et la continuité uniforme ?

Answer 59

Pour être continue, il faut que pour tout ε>0, on puisse trouver en chaque point x0 un rectangle (donc une longueur δ>0) tel que la courbe reste contenue dans ce rectangle de dimension εxδ centré en x0.

Pour être continue uniforme, il faut qu’on ait un unique rectangle qui marche pour tous les points !

Question 60

Donner, en expliquant, un exemple de fonction continue mais non continue uniformément

Answer 60

Ici la fonction est bien continue, c’est ok. Par contre, si on fixe un rectangle qui marche à un pic, il y aura forcément un pic plus tard qui se sera tellement resserré qu’il «percera» le rectangle

Question 61

Quelles sont propriétés supérieures de la convergence uniforme par rapport à la convergence simple ?

Answer 61

• Conservation de la continuité (limite reste continue)
• Conservation de la dérivabilité (limite reste C1)
• Conservation de manière générale de la classe Ck (limite reste Ck)
• Conservation de la primitive (primitive de la limite = limite des primitives)
• Conservation de l’intégrale (interconversion limite/intégrale)
• Théorème de la double limite (interconversion limite sur n/limite sur x)