Physique Statistique Flashcards
Exemple mesoscopique
Eau liquide ro=1000kg.m-1 Dto=1microm^3 dm=rodto=10^310^-18=10^-15kg dn=dm/M=5,6.10-14mol carM=18.10-3kg.mol-1 dN=dnNa=3,3.10^8 molecules
Loi fondamentale de la statique des fluides ds le champ de pesanteur uniforme en ref galileen
Contexte
On a un fluide au repos ds g constant
On a l’axe z ascendant et on isole dto=Sdz
Fluide au repos: 0=Som(Forces)
0=P+Fpressantes ie 0=-dmg-p(z+dz)dS+p(z)dS = dS(-rodzg1dP/dzdz)
donc dP/dz=-rog ac z ascendant
Equivalent volumique
Fpressantes = -dto grad P on le montre en isolant un cube et en exprimant la force pressante sur chacuns des axes
On retrouve l’expression precedente en exprimant la RFD sur tous les axes et on voit bien que P ne depends plus de x et y
Variation de la pression avec l’altitude ds le modele de l’atmosphere
Modele de l’atmosphere
Gaz parfait ac M=29g.mom-1
T=cste
g=cste
On integre la relation dP/dz=-rog mais ro=m/V=nM/V=nMP/nRT=MP/RT
D’ou l’eq devient dP/ dz+MP/RTP=0 ie P(z)=Aexp(-z/H) avec A=P(z=0)=Po donc P(z)=Poexp(-z/H)
Poids de Boltzman
P(z)=Poexp(-z/H) Or M=m*Na ac m* masse d'une molecule Et on def kb=R/Na = cste de Boltzman=1,38.10-23J.K-1 P(e)=Poexp(-m*g/kbT z) or m*gz=energiebpotentielle de la pesanteur d'une molecule kbT=energie=agitaion thermique typiquement dispo pour une molecule Ie P(z)=Poexp(-Ep*(z)/kbT)
Grace a la relation des GP
P(z)=Poexp(-Ep(z)/kbT)
Et P=nRT/V=Poexp(-Ep(z)/kbT)=noRT/Voexp(-Ep(z)/kbT)
Ie n/V=no/Voexp(-Ep(z)/kbT)
Or N/V=nNa/V=No/Voexp(-Ep(z)/kbT)
Premier terme densite volumique de particules a l’altitude z(n) et No/Vo densité volumique de partiules a z=0 et exp(-Ep*(z)/kbT)
= poids de Boltzman
Probabilité e epresence d’une particule
La proba de presence de la particule entre z et z+dz est proportionelle a la densité de particule ds le volume consideré
dPr(z)=Aexp(-Ep(z)/kbT) dz avec Aexp(-Ep(z)/kbT) la densité de proba de pr(z)
Particules independantes a l’equilibre avec un thermostat
Loi de Boltzman
Soit un systeme de particules independantes placés ds un champ d’energie potentielle Ep au contact d’un thermostat a la temperature T. La proba Pr pour qu’une particule soit ds un etat d’energie E(Em=Ec+Ep) est proportionnelle au -facteur de Boltzman Pr=Aexp(-E/kbT) -au poids
Interpretation de la loi de Boltzman
Le signe - : les etats de plus basse energie sont les plus peuplés, neanmoins la proba d’occuper un etat d’energie elevée n’est pas nulle a cause des fluctuations thermiques dues aux chocs entre les differentes particules.
On note DE l’ordre de grandeur des variations possibles de l’energie des particules
Differents cas sur la loi de Boltzman
1) DE inffff kbT donc Eman/kbT ~Emin/kbT ie E/kbT ne varie pas bc donc la proba ne depends quasi pas niveau d’energie :
Si l’agitation thermique est tres grande les etats d’energies sont occupés de maniere equiprobable
Si DE suuup kbT : E/kbT varie bc et la proba depend fortement du niveau d’energie : seuls les etats d’energie minimale donnent a basse temperature une proba d’occupation importante
On distingue 3 niveaux d’observations
Mocroscopique de l’ordre de 10-10 (arome et molecules)
Macro denl’ordre du mm
Mesoscopique dto: 1.10-6^3 contient suffisament de molecles pour y def la pression ou la temperature
Système a spectre discret d’énergie
Proba d’occupation d’un etat d’énergie non dégénéré par une particule indépendante
On s’intéresse a des particules indépendantes pouvant occuper des niveaux d’énergies Ej, jdeN, en contacts avec un thermostat:
-Soit un nbr fini de Ej
-Soit un nbr infini de niveaux d’énergies (électron de l’atome d’hydrogène) On range les niveaux d’énergies par ordre croissant. La proba pour que la particule soit dans un etat d’energie Ej est pj=Aexp(-Ej/kbT) =1/Z exp(-Ej/kbT) avec Z fonction de partition
On a som pj=1 donc Z=somexp(-Ej/kbT) ie pj=exp(-Ej/kbT)/somexp(-Ei/kbnT)
Comparaison de la proba d’avoir la particule ds l’état j ou l’état i
on calcule pi/pj=exp([Ej-Ei]/kbT)
1er cas : Ej-Ei inffff kbT alors pi ~ pj, l’orsque l’agitation thermique est importante les états d’énergies sont équiprobables.
2eme cas : Ej-Ei suuup kbT alors pj suuup pi lorsque l’agitation thermique est faible, les niveaux d’énergies les plus peuplés sont ceux de faible energie
Définition - Energie moyenne- Ecart type moyen
On def la variable aleatoire correspondante a l’energie de la particule considéré. Particule a l’état j : Epsilon = Ej et la proba de trouver la particule dans cet état eest pj=exp(-Ej/kbT)/som exp(-Ei/kbT). L’energie moyenne de la particule ou espérance de la variable aléatoire:
Epsilon = som(jsup1)pjEj. La variance de la variable aléatoire var(Epsilon)=(Epsilon²) - (_Epsilon)² = sompjEj² - (sompjEj)². Ecart quadratique energetique DEpsilon=(var(Epsilon)^1/2
On s’intéresse maintenant a N particules indépendantes.
On note Etot la variable aléatoire caractérisant l’énergie totale du système. Etot=som(1,N)Epsilonk . Les particules étant indépendantes : Epsilonk=Epsilon et DEpsilonk=DEpsilon et Var(Epsilonk)=var(Epsilon).
_Etot= N_Epsilon, var(Etot)=Nvar(Epsilon) et DEtot=N^1/2DE. On a DEtot/_Etot = 1/N^1/2 DE/_E cela représente les fluctuations relatives d’energie totale du système et le terme DE/_E est la fluctuation relative de l’énergie d’une particule. Tends vers 0 qd N tends vers 8. Ceci justifie qu’en thermo on attribue 1 seule valeur a l’énergie d’un système.(ex GP:U=3/2nRT)
