Equations De Maxwell 🎓🌍🌄

Question 1

Dans un espace vide de charge et de courant on a

Answer 1

Ro = 0 et _j=_0

Question 2

Def plasma

Answer 2

Ce sont des nuages de gaz ionisés ou les charges sont constitué d’ions positifs et d’électrons se déplaçant librement
Un plasma est caractérisé par les mêmes ctes que le vide

Question 3

Force de Lorentz subit par une particule q de vitesse v dans un référentiel R

Answer 3

F= q(E+v^B)

Question 4

Équation locale de la conservation de la charge et comment on l’obtient

Answer 4

drond ro / drond t + drond j/ drond x = 0
On part de dtop un volume elementaire observé entre t et dt. dtop=Sdx
dq(t+dt) - dq(t) = ro(x,t+dt)Sdx - ro(x,t)Sdx = drondro(x,t)/drond t dt Sdx 
Et dq(x,t+dt) - dq(x,t) = Ie(x,t)dt - is(x+dx,t)dt = j(x,t)Sdt - j(x+dx,t)Sdt = Sdt(-drond j / drond x dx ) 
D'ou le resultat

Question 5

Généralisation de l’équation locale de conservation de la charge et méthode

Answer 5

div (j) + drond ro / drond t = 0

On exprime dQ/dt en fonction de triple intégrale ro (p,t) dtop et en fonction -Is(p,t)

Question 6

Équation de Maxwell Gauss

Answer 6

Div(E)= ro / Epsilon0

Question 7

Équations de Maxwell Faraday

Answer 7

Rot(E) = - drond B / drond t

Question 8

Équations de Maxwell flux

Answer 8

Div(B) = 0

Question 9

Équations de Maxwell Ampère

Answer 9

Rot(B) = mu0 (j + epsilon0 drondE/drond t)

Question 10

Validité des équations de maxwell

Answer 10

Les milieux où les constantes du vide sont valables

Elles sont toutes linéaires

Question 11

Forme intégrale de l’équation de Maxwell Gauss

Answer 11

On a le theoreme de Gauss qui en plus est valable en régime dépendant du temps

(DoubleOintegrale E(m,t).dSm = Qint/Epsilon0 )

Question 12

Forme intégrale de l’équation de Maxwell Flux

Answer 12

Le flux de B est conservatif (intéressant par rapport aux tubes de champs)

Question 13

Forme intégrale de l’équation de Maxwell Faraday

Answer 13

On retrouve la loi de faraday !
e(t) = integraleO E(m,t).dlm = -d ¥b/dt
On fait une double intégrale sur la relation

Question 14

Forme intégrale de l’équation de Maxwell-Ampere

Answer 14

On obtient une généralisation en régime dépendant du temps du théorème d'Ampère 
IntegraleO B(m,t).dlm = mu0 I enlacé + muo Epsilon0 d¥e/dt 

On fait une intégrale double

Question 15

Relation de passage entre 2 milieux

Answer 15

_E2(M,t) - _E1(M,t) = ro(M,t)/Epsilon0 _n12

_B2(M,t) - _B1(M,t) = mu0 _js(M,t)^_n12

n12 la normale aux deux milieux
js(M,t) densité surfacique appartient au plan tangent

Question 16

Si on projette la relation de passage à l’interface entre 2 milieux sur la normale au plan on obtient

Answer 16

La composante normale du champ électrostatique est discontinue à la traversée d’une surface chargée.
La composante normale du champ magnétique est continue à la traversée d’une nappe de courant.

Question 17

Si on projette la relation de passage à l’interface entre 2 milieux sur la tangente au plan

Answer 17

La composante tangentielle du champ électrostatique est continue à la traversée d’une surface chargée.
La composante tangentielle du champ magnétique est discontinue à la traversée d’une nappe de courant.

Question 18

Compatibilité des équations de Maxwell avec l’équation de conservation de la charge :

Answer 18

On utilise MG : divE = Ro/Epsilon0

MA : rot(B) = muo(j+Epsilon0 drond E/ drondt)

On applique la divergente en bas

Question 19

Conséquences sur les équations de Maxwell si on se trouve dans une région vide de charges et de courant

Answer 19

MG : div(E) = 0
MFaraday : rot (E) = - drondB/drondt
MFlux : Div (B) = 0
MA : rot(B) = mu0Epsilon0 drond E / drond t

Question 20

Le vide est caractérisé par

Answer 20

Epsilon 0 la permittivité du vide en F.m-1
Mu 0 la perméabilité du vide en H.m-1

On a EpsilonoMuoC^2=1

Question 21

Équation de d’Alembert E = équation de propagation de E

Answer 21

Dans un milieu vide de charges et de courants
Rot(rot(E))= grad(div(E)) - 🔺E = -🔺E car div(E)=0
Rot(rot(E)) = rot(-drondB/drond t ) = -drond/drondt mu0Epsilon0drondE/drondt = -mu0epsilon0 drond^2 E / drond t^2
Conclusion : _🔺E - mu0epsilon0 drond^2 E/ drond t^2 = 0

Question 22

Équation de d’Alembert B = équation de propagation de B

Answer 22

On se trouve dans un milieu vide de charges et de courants
Rot(rot(B)) = grad(div(B)) - 🔺B = -🔺B car div(B) = 0
Rot(rot(B))= rot(mu0Epsilon0drondE / drondt ) = mu0epsilon0 drond /drondt rot(E) = mu0epsilon0 drond/drondt (-drondB/drondt ) = -mu0epsilon0 drond^2 B / drond t^2
Conclusion : _🔺B - mu0Epsilon0 drond^2B/drond t^2 = 0

Question 23

Conséquences sur les équations de Maxwell du cas statique (indépendance de t)

Answer 23

MG : div(E) = ro/epsilon0
MFaraday : Rot(E) = 0
MFlux : div (B) = 0
MA : rot(B) = mu0j

Question 24

Conséquences du cas statique

Answer 24

MG : théorème de gauss
MF : E est à circulation conservative
MFlux : B est à flux conservatif
MA : Théorème d’Ampere

Question 25

Dans le cas statique :

Grâce à j on a
Grâce à E on a

Answer 25

Div (j) = 1/mu0 div(rot(B)) = 0 = drond ro / drond t conservation de la charge

Div E = -div(grad(v)) = -🔺v = ro/epsilon0 équation de Poisson

Question 26

Influence de l’ARQS sur les équations de Maxwell

Answer 26

Div E = ro/Epsilon0
Rot E = -drond B/ drond t
Div B = 0
Rot B = muo j

Car drond E/ drond t très inférieur à j

Question 27

Conséquence de l’ARQS sur j

Answer 27

Div rot B = 0 = div j

Donc d’après Stocks Ampère j est à flux conservatif

Question 28

Qu’est ce que l’équation de Laplace ?

Answer 28

On cherche à résoudre l’équation
🔺V = drond² V/drond x² + drond² V / drond y² = 0
Ie trouver le potentiel V(M) en tout point M situé à l’intérieur d’un carré vide de charge en imposant :
V(xmin,y)=V(xmax,y) = 0
V(x,ymin)=V(x,ymax) = Vo

Question 29

Pour résoudre l’équation de Laplace

Méthode des différences finies centrée à l’ordre 2 pour V(x)

Answer 29

V(x+h) = V(x) + h drond V/drond x + h²/2 drond V/drond x² + o(h²)
V(x-h)=V(x) -h drond V/drond x + h²/2 drond² V/drond x² + o(h²)
D’où drond²V/drondx²= [V(x+h) + V(x-h) -2V(x)] / h²
Idem pour V(y) donc en choisissant le meme pas pour x et y (h)
V(i,j) = 1/4 [(V(i+1,j) + V(i-1,j) + V(i,j-1) + V(i,j+1)]