Equations De Maxwell 🎓🌍🌄 Flashcards
Dans un espace vide de charge et de courant on a
Ro = 0 et _j=_0
Def plasma
Ce sont des nuages de gaz ionisés ou les charges sont constitué d’ions positifs et d’électrons se déplaçant librement
Un plasma est caractérisé par les mêmes ctes que le vide
Force de Lorentz subit par une particule q de vitesse v dans un référentiel R
F= q(E+v^B)
Équation locale de la conservation de la charge et comment on l’obtient
drond ro / drond t + drond j/ drond x = 0 On part de dtop un volume elementaire observé entre t et dt. dtop=Sdx dq(t+dt) - dq(t) = ro(x,t+dt)Sdx - ro(x,t)Sdx = drondro(x,t)/drond t dt Sdx Et dq(x,t+dt) - dq(x,t) = Ie(x,t)dt - is(x+dx,t)dt = j(x,t)Sdt - j(x+dx,t)Sdt = Sdt(-drond j / drond x dx ) D'ou le resultat
Généralisation de l’équation locale de conservation de la charge et méthode
div (j) + drond ro / drond t = 0
On exprime dQ/dt en fonction de triple intégrale ro (p,t) dtop et en fonction -Is(p,t)
Équation de Maxwell Gauss
Div(E)= ro / Epsilon0
Équations de Maxwell Faraday
Rot(E) = - drond B / drond t
Équations de Maxwell flux
Div(B) = 0
Équations de Maxwell Ampère
Rot(B) = mu0 (j + epsilon0 drondE/drond t)
Validité des équations de maxwell
Les milieux où les constantes du vide sont valables
Elles sont toutes linéaires
Forme intégrale de l’équation de Maxwell Gauss
On a le theoreme de Gauss qui en plus est valable en régime dépendant du temps
(DoubleOintegrale E(m,t).dSm = Qint/Epsilon0 )
Forme intégrale de l’équation de Maxwell Flux
Le flux de B est conservatif (intéressant par rapport aux tubes de champs)
Forme intégrale de l’équation de Maxwell Faraday
On retrouve la loi de faraday !
e(t) = integraleO E(m,t).dlm = -d ¥b/dt
On fait une double intégrale sur la relation
Forme intégrale de l’équation de Maxwell-Ampere
On obtient une généralisation en régime dépendant du temps du théorème d'Ampère IntegraleO B(m,t).dlm = mu0 I enlacé + muo Epsilon0 d¥e/dt
On fait une intégrale double
Relation de passage entre 2 milieux
_E2(M,t) - _E1(M,t) = ro(M,t)/Epsilon0 _n12
_B2(M,t) - _B1(M,t) = mu0 _js(M,t)^_n12
n12 la normale aux deux milieux
js(M,t) densité surfacique appartient au plan tangent
Si on projette la relation de passage à l’interface entre 2 milieux sur la normale au plan on obtient
La composante normale du champ électrostatique est discontinue à la traversée d’une surface chargée.
La composante normale du champ magnétique est continue à la traversée d’une nappe de courant.
Si on projette la relation de passage à l’interface entre 2 milieux sur la tangente au plan
La composante tangentielle du champ électrostatique est continue à la traversée d’une surface chargée.
La composante tangentielle du champ magnétique est discontinue à la traversée d’une nappe de courant.
Compatibilité des équations de Maxwell avec l’équation de conservation de la charge :
On utilise MG : divE = Ro/Epsilon0
MA : rot(B) = muo(j+Epsilon0 drond E/ drondt)
On applique la divergente en bas
Conséquences sur les équations de Maxwell si on se trouve dans une région vide de charges et de courant
MG : div(E) = 0
MFaraday : rot (E) = - drondB/drondt
MFlux : Div (B) = 0
MA : rot(B) = mu0Epsilon0 drond E / drond t
Le vide est caractérisé par
Epsilon 0 la permittivité du vide en F.m-1
Mu 0 la perméabilité du vide en H.m-1
On a EpsilonoMuoC^2=1
Équation de d’Alembert E = équation de propagation de E
Dans un milieu vide de charges et de courants
Rot(rot(E))= grad(div(E)) - 🔺E = -🔺E car div(E)=0
Rot(rot(E)) = rot(-drondB/drond t ) = -drond/drondt mu0Epsilon0drondE/drondt = -mu0epsilon0 drond^2 E / drond t^2
Conclusion : _🔺E - mu0epsilon0 drond^2 E/ drond t^2 = 0
Équation de d’Alembert B = équation de propagation de B
On se trouve dans un milieu vide de charges et de courants
Rot(rot(B)) = grad(div(B)) - 🔺B = -🔺B car div(B) = 0
Rot(rot(B))= rot(mu0Epsilon0drondE / drondt ) = mu0epsilon0 drond /drondt rot(E) = mu0epsilon0 drond/drondt (-drondB/drondt ) = -mu0epsilon0 drond^2 B / drond t^2
Conclusion : _🔺B - mu0Epsilon0 drond^2B/drond t^2 = 0
Conséquences sur les équations de Maxwell du cas statique (indépendance de t)
MG : div(E) = ro/epsilon0
MFaraday : Rot(E) = 0
MFlux : div (B) = 0
MA : rot(B) = mu0j
Conséquences du cas statique
MG : théorème de gauss
MF : E est à circulation conservative
MFlux : B est à flux conservatif
MA : Théorème d’Ampere
