Equations De Maxwell 🎓🌍🌄 Flashcards

1
Q

Dans un espace vide de charge et de courant on a

A

Ro = 0 et _j=_0

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Q

Def plasma

A

Ce sont des nuages de gaz ionisés ou les charges sont constitué d’ions positifs et d’électrons se déplaçant librement
Un plasma est caractérisé par les mêmes ctes que le vide

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3
Q

Force de Lorentz subit par une particule q de vitesse v dans un référentiel R

A

F= q(E+v^B)

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4
Q

Équation locale de la conservation de la charge et comment on l’obtient

A
drond ro / drond t + drond j/ drond x = 0
On part de dtop un volume elementaire observé entre t et dt. dtop=Sdx
dq(t+dt) - dq(t) = ro(x,t+dt)Sdx - ro(x,t)Sdx = drondro(x,t)/drond t dt Sdx 
Et dq(x,t+dt) - dq(x,t) = Ie(x,t)dt - is(x+dx,t)dt = j(x,t)Sdt - j(x+dx,t)Sdt = Sdt(-drond j / drond x dx ) 
D'ou le resultat
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5
Q

Généralisation de l’équation locale de conservation de la charge et méthode

A

div (j) + drond ro / drond t = 0

On exprime dQ/dt en fonction de triple intégrale ro (p,t) dtop et en fonction -Is(p,t)

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6
Q

Équation de Maxwell Gauss

A

Div(E)= ro / Epsilon0

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7
Q

Équations de Maxwell Faraday

A

Rot(E) = - drond B / drond t

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8
Q

Équations de Maxwell flux

A

Div(B) = 0

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9
Q

Équations de Maxwell Ampère

A

Rot(B) = mu0 (j + epsilon0 drondE/drond t)

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10
Q

Validité des équations de maxwell

A

Les milieux où les constantes du vide sont valables

Elles sont toutes linéaires

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11
Q

Forme intégrale de l’équation de Maxwell Gauss

A

On a le theoreme de Gauss qui en plus est valable en régime dépendant du temps

(DoubleOintegrale E(m,t).dSm = Qint/Epsilon0 )

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12
Q

Forme intégrale de l’équation de Maxwell Flux

A

Le flux de B est conservatif (intéressant par rapport aux tubes de champs)

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13
Q

Forme intégrale de l’équation de Maxwell Faraday

A

On retrouve la loi de faraday !
e(t) = integraleO E(m,t).dlm = -d ¥b/dt
On fait une double intégrale sur la relation

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14
Q

Forme intégrale de l’équation de Maxwell-Ampere

A
On obtient une généralisation en régime dépendant du temps du théorème d'Ampère 
IntegraleO B(m,t).dlm = mu0 I enlacé + muo Epsilon0 d¥e/dt 

On fait une intégrale double

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15
Q

Relation de passage entre 2 milieux

A

_E2(M,t) - _E1(M,t) = ro(M,t)/Epsilon0 _n12

_B2(M,t) - _B1(M,t) = mu0 _js(M,t)^_n12

n12 la normale aux deux milieux
js(M,t) densité surfacique appartient au plan tangent

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16
Q

Si on projette la relation de passage à l’interface entre 2 milieux sur la normale au plan on obtient

A

La composante normale du champ électrostatique est discontinue à la traversée d’une surface chargée.
La composante normale du champ magnétique est continue à la traversée d’une nappe de courant.

17
Q

Si on projette la relation de passage à l’interface entre 2 milieux sur la tangente au plan

A

La composante tangentielle du champ électrostatique est continue à la traversée d’une surface chargée.
La composante tangentielle du champ magnétique est discontinue à la traversée d’une nappe de courant.

18
Q

Compatibilité des équations de Maxwell avec l’équation de conservation de la charge :

A

On utilise MG : divE = Ro/Epsilon0

MA : rot(B) = muo(j+Epsilon0 drond E/ drondt)

On applique la divergente en bas

19
Q

Conséquences sur les équations de Maxwell si on se trouve dans une région vide de charges et de courant

A

MG : div(E) = 0
MFaraday : rot (E) = - drondB/drondt
MFlux : Div (B) = 0
MA : rot(B) = mu0Epsilon0 drond E / drond t

20
Q

Le vide est caractérisé par

A

Epsilon 0 la permittivité du vide en F.m-1
Mu 0 la perméabilité du vide en H.m-1

On a EpsilonoMuoC^2=1

21
Q

Équation de d’Alembert E = équation de propagation de E

A

Dans un milieu vide de charges et de courants
Rot(rot(E))= grad(div(E)) - 🔺E = -🔺E car div(E)=0
Rot(rot(E)) = rot(-drondB/drond t ) = -drond/drondt mu0Epsilon0drondE/drondt = -mu0epsilon0 drond^2 E / drond t^2
Conclusion : _🔺E - mu0epsilon0 drond^2 E/ drond t^2 = 0

22
Q

Équation de d’Alembert B = équation de propagation de B

A

On se trouve dans un milieu vide de charges et de courants
Rot(rot(B)) = grad(div(B)) - 🔺B = -🔺B car div(B) = 0
Rot(rot(B))= rot(mu0Epsilon0drondE / drondt ) = mu0epsilon0 drond /drondt rot(E) = mu0epsilon0 drond/drondt (-drondB/drondt ) = -mu0epsilon0 drond^2 B / drond t^2
Conclusion : _🔺B - mu0Epsilon0 drond^2B/drond t^2 = 0

23
Q

Conséquences sur les équations de Maxwell du cas statique (indépendance de t)

A

MG : div(E) = ro/epsilon0
MFaraday : Rot(E) = 0
MFlux : div (B) = 0
MA : rot(B) = mu0j

24
Q

Conséquences du cas statique

A

MG : théorème de gauss
MF : E est à circulation conservative
MFlux : B est à flux conservatif
MA : Théorème d’Ampere

25
Dans le cas statique : Grâce à j on a Grâce à E on a
Div (j) = 1/mu0 div(rot(B)) = 0 = drond ro / drond t conservation de la charge Div E = -div(grad(v)) = -🔺v = ro/epsilon0 équation de Poisson
26
Influence de l'ARQS sur les équations de Maxwell
Div E = ro/Epsilon0 Rot E = -drond B/ drond t Div B = 0 Rot B = muo j Car drond E/ drond t très inférieur à j
27
Conséquence de l'ARQS sur j
Div rot B = 0 = div j Donc d'après Stocks Ampère j est à flux conservatif
28
Qu'est ce que l'équation de Laplace ?
On cherche à résoudre l'équation 🔺V = drond² V/drond x² + drond² V / drond y² = 0 Ie trouver le potentiel V(M) en tout point M situé à l'intérieur d'un carré vide de charge en imposant : V(xmin,y)=V(xmax,y) = 0 V(x,ymin)=V(x,ymax) = Vo
29
Pour résoudre l'équation de Laplace | Méthode des différences finies centrée à l'ordre 2 pour V(x)
V(x+h) = V(x) + h drond V/drond x + h²/2 drond V/drond x² + o(h²) V(x-h)=V(x) -h drond V/drond x + h²/2 drond² V/drond x² + o(h²) D'où drond²V/drondx²= [V(x+h) + V(x-h) -2V(x)] / h² Idem pour V(y) donc en choisissant le meme pas pour x et y (h) V(i,j) = 1/4 [(V(i+1,j) + V(i-1,j) + V(i,j-1) + V(i,j+1)]