Energie Du Champ Electromagnetique 🌇🌅🏝 Flashcards
pv= Puissance volumique cédée par le champ électromagnétique aux porteurs de charges
dFp= dqp(E(p,t) + v(p,t)^B(p,t))
dPp = dqpE(p,t).v(p,t) = ro(p)dtop E(p,t).v(p,t) = dtop j(p,t)E(p,t)
On def pv = dPp/dtop = j(p,t).E(p,t)
Densité volumique d’énergie : unité et valeur
On def uem(p,t) densité volumique d’énergie en p a l’instant t en J.m-3
Uem(t)= tripleintegrale (pdeV) uem(p,t)dtop
En J
(D’origine électromagnétique)
uem(p,t) =
1/2Epsilon0 E(p,t)² +
1/(2mu0) B(p,t)²
1er terme densité volumique d’énergie d’origine électrique
Second d’origine magnétique
Unité de Epsilon0E²/2
Unité de B²/2mu0
F.m-1.V².m-2 = FV².m-3 =J.m-3
(FV² comme 1/2 Cu²)
T².H-1.m= H.m-3.A²= J.m-3
T? B=muOnI (solénoïde infini donc T=H.m-1.m-1.A)
Vecteur de Poynting
Unité
On def _Pi(p,t)=[E(p,t)^B(p,t)]/mu0 _pi densité de puissance On le note parfois _R En V.m-1.T.H-1.m = V.m-1.H.m-1.m-1.A.H-1.m = V.m-2.A =W.m-2
Pray=Puissance rayonné par le champ électromagnétique à travers S
Pray= doubleintegrale(PdeS) Pi(P,t).dSp en Watt
On dit que _pi caractérise le déplacement de l’énergie électromagnétique au cours du temps
Équation locale de la conservation de l’énergie
drond uem/ drond t + div (Pi) = -j.E
Comment on obtient l’équation de conservation de l’énergie
Comment on fait le bilan d’énergie du volume V
dUem(t)/dt = d/dt 3I uem(p,t).dtop = 3I(pdeV) drond uem/drond t dtop. Causes de variation d’E ?
dUem(t)/dt = -Pcédée par (E,B) aux porteurs de charges -Pray à travers l’enveloppe de V (2IO Pi(p,t).dSp)
=-3I j(p,t).E(p,t)dtop -3Idiv(Pi(p,t))dtop
donc 2 expressions ac 3I d’où
dronduem(P,t)/drondt + div(j(p,t) =-j.E
Cas du conducteur ohmique
Loi d’ohm locale
(On a un conducteur en cuivre de résistivité ro = 1/gamma (conductivité) soumis à E constant
Ac des électrons (-e,m)et une densité volumique n.
Modèle de Drüde : on étudie les e- de conduction
RFD : m dv/dt = -eE -mu v (frottement fluide)
dv/dt + mu/m v = -e/m E (to=m/mu)
Au bout qq to, v tend vers
vlim=-e/mu E
D’où j=nqv = ne²/mu E = gamma E
Forme intégrale du conducteur ohmique
I=doubleintegrale j(M,t).dSp = gamma E doubleintegrale dSp = gammaES
U=VA-VB = Intégrale (b,a) dV = -E intégrale (b,a) .dln = El = I/gammaS d
D’où U=RI ac R = d /(gamma S) = ro d/S
Puissance cédée aux porteurs de charges par le champ électrique
pv = j.E = gamma E² = gamma I² / (gammaS)² = I²/(gammaS²)
Pcédée= tripleintégrale pv.dtop = I²/(gammaS²) Sd = I²d / (gammaS) = RI²
La puissance joule correspond à la puissance cédée par champ électrique aux porteurs de charges
Puissance rayonnée
On suppose que d très supérieur à a le rayon
B(M)= B(r)uø pour r supérieur à a
B(r)2pir= mu0 I doncB(r)=mu0 I/2pir uø
Continuité de B à la surface donc B(a) connu
Pi(a)= (E^B)/mu0 = Eux^Buø /mu0 = -EI/2pia ur
Pray= doubleintegrale Pi.dSp = -EId=-RI² la puissance électromagnétique entrant dans le conducteur par rayonnement = puissance cédée par chp électromagnétique aux porteurs de charges
dUem/dt =
dUem/dt = -Pcédée -Pray = 0
Pcédée + Pray = 0
Puissance d’une charge ponctuelle q de vitesse V(M,t) soumise a E(M,t) et B(M,t)
P= qE(M,t).v(M,t)
Dans un milieu vide de charge et de courant
Équation de propagation du champ E
_🔺E - 1/c² drond²E/drond t² =0
Dans un milieu vide de charge et de courant
Équation de propagation du champ B
_🔺B - 1/c² drond²B/drond t² =0
Que se passe t-il dans un milieu homogène isotrope vide de charges ?
v=c/n avec n l’indice du milieu
Résolution d’une équation de propagation de E ou de B ? Qu’est ce qu’on pose
On a des équations scalaires sur chaque composantes.
On introduit s(M,t) l’une des composantes de E ou B
s(M,t) = Ex(M,t ou By(M,t) … C’est la vibration associé au champ E en M a t
On se place ds cas particulier ou s(M,t)=s(z,t) (unidimensionnelle) donc on cherche à résoudre drond² s/drond z² -1/c² drond² s/drond t² = 0
Résolution de l’équation de d’Alembert : les solutions
Les solutions sont de la forme s(M,t)=f(z-ct)+g(z+ct)
Ou f et g sont quelconques de C2
Résolution de l’équation de d’Alembert : vérification
f(z-ct) = f(u) avec u=z-ct
drond f/drond z= df/du drond u/drond z = df/du
Et drond² f/drond z² = drond u/drond z d² f/du² = d² f/du²
drond f/drond t = df/du drond u/drondt = -cdf/du
drond² f/drond t² = drond u/drond t d/du (-cdf/du) = c² d² f/du²
L’une moins l’autre =0
Ondes progressives
s(z,t)=f(z-ct)
On cherche deltaz tq s(z+delta z,t) = s(z,t+delta t)
Donc f(z+delta z -ct -cdelta t)=s(z -ct)
Donc delta z= cdelta t
L’onde s’est déplacé suivant +ux
Ainsi f(z-ct) caractérise ?
g(z+ct) caractérise ?
Une onde progressive selon +ux à la vitesse C
Une onde progressive selon -ux à la vitesse C
Surface d’onde définition
On appelle surface d’onde a un instant t le lieu des points M d’égale valeur de s(M,t)
Les surfaces d’ondes sont les plans z=cte on parle alors d’onde plane
Onde plane définition
On appelle onde plane route solution non constante d’une équation de propagation (ex: celle de d’Alembert) prenant des valeurs uniformes sur ts les plans perpendiculaires a _u