Energie Du Champ Electromagnetique 🌇🌅🏝 Flashcards
pv= Puissance volumique cédée par le champ électromagnétique aux porteurs de charges
dFp= dqp(E(p,t) + v(p,t)^B(p,t))
dPp = dqpE(p,t).v(p,t) = ro(p)dtop E(p,t).v(p,t) = dtop j(p,t)E(p,t)
On def pv = dPp/dtop = j(p,t).E(p,t)
Densité volumique d’énergie : unité et valeur
On def uem(p,t) densité volumique d’énergie en p a l’instant t en J.m-3
Uem(t)= tripleintegrale (pdeV) uem(p,t)dtop
En J
(D’origine électromagnétique)
uem(p,t) =
1/2Epsilon0 E(p,t)² +
1/(2mu0) B(p,t)²
1er terme densité volumique d’énergie d’origine électrique
Second d’origine magnétique
Unité de Epsilon0E²/2
Unité de B²/2mu0
F.m-1.V².m-2 = FV².m-3 =J.m-3
(FV² comme 1/2 Cu²)
T².H-1.m= H.m-3.A²= J.m-3
T? B=muOnI (solénoïde infini donc T=H.m-1.m-1.A)
Vecteur de Poynting
Unité
On def _Pi(p,t)=[E(p,t)^B(p,t)]/mu0 _pi densité de puissance On le note parfois _R En V.m-1.T.H-1.m = V.m-1.H.m-1.m-1.A.H-1.m = V.m-2.A =W.m-2
Pray=Puissance rayonné par le champ électromagnétique à travers S
Pray= doubleintegrale(PdeS) Pi(P,t).dSp en Watt
On dit que _pi caractérise le déplacement de l’énergie électromagnétique au cours du temps
Équation locale de la conservation de l’énergie
drond uem/ drond t + div (Pi) = -j.E
Comment on obtient l’équation de conservation de l’énergie
Comment on fait le bilan d’énergie du volume V
dUem(t)/dt = d/dt 3I uem(p,t).dtop = 3I(pdeV) drond uem/drond t dtop. Causes de variation d’E ?
dUem(t)/dt = -Pcédée par (E,B) aux porteurs de charges -Pray à travers l’enveloppe de V (2IO Pi(p,t).dSp)
=-3I j(p,t).E(p,t)dtop -3Idiv(Pi(p,t))dtop
donc 2 expressions ac 3I d’où
dronduem(P,t)/drondt + div(j(p,t) =-j.E
Cas du conducteur ohmique
Loi d’ohm locale
(On a un conducteur en cuivre de résistivité ro = 1/gamma (conductivité) soumis à E constant
Ac des électrons (-e,m)et une densité volumique n.
Modèle de Drüde : on étudie les e- de conduction
RFD : m dv/dt = -eE -mu v (frottement fluide)
dv/dt + mu/m v = -e/m E (to=m/mu)
Au bout qq to, v tend vers
vlim=-e/mu E
D’où j=nqv = ne²/mu E = gamma E
Forme intégrale du conducteur ohmique
I=doubleintegrale j(M,t).dSp = gamma E doubleintegrale dSp = gammaES
U=VA-VB = Intégrale (b,a) dV = -E intégrale (b,a) .dln = El = I/gammaS d
D’où U=RI ac R = d /(gamma S) = ro d/S
Puissance cédée aux porteurs de charges par le champ électrique
pv = j.E = gamma E² = gamma I² / (gammaS)² = I²/(gammaS²)
Pcédée= tripleintégrale pv.dtop = I²/(gammaS²) Sd = I²d / (gammaS) = RI²
La puissance joule correspond à la puissance cédée par champ électrique aux porteurs de charges
Puissance rayonnée
On suppose que d très supérieur à a le rayon
B(M)= B(r)uø pour r supérieur à a
B(r)2pir= mu0 I doncB(r)=mu0 I/2pir uø
Continuité de B à la surface donc B(a) connu
Pi(a)= (E^B)/mu0 = Eux^Buø /mu0 = -EI/2pia ur
Pray= doubleintegrale Pi.dSp = -EId=-RI² la puissance électromagnétique entrant dans le conducteur par rayonnement = puissance cédée par chp électromagnétique aux porteurs de charges
dUem/dt =
dUem/dt = -Pcédée -Pray = 0
Pcédée + Pray = 0
Puissance d’une charge ponctuelle q de vitesse V(M,t) soumise a E(M,t) et B(M,t)
P= qE(M,t).v(M,t)
Dans un milieu vide de charge et de courant
Équation de propagation du champ E
_🔺E - 1/c² drond²E/drond t² =0
Dans un milieu vide de charge et de courant
Équation de propagation du champ B
_🔺B - 1/c² drond²B/drond t² =0
Que se passe t-il dans un milieu homogène isotrope vide de charges ?
v=c/n avec n l’indice du milieu
Résolution d’une équation de propagation de E ou de B ? Qu’est ce qu’on pose
On a des équations scalaires sur chaque composantes.
On introduit s(M,t) l’une des composantes de E ou B
s(M,t) = Ex(M,t ou By(M,t) … C’est la vibration associé au champ E en M a t
On se place ds cas particulier ou s(M,t)=s(z,t) (unidimensionnelle) donc on cherche à résoudre drond² s/drond z² -1/c² drond² s/drond t² = 0
Résolution de l’équation de d’Alembert : les solutions
Les solutions sont de la forme s(M,t)=f(z-ct)+g(z+ct)
Ou f et g sont quelconques de C2
Résolution de l’équation de d’Alembert : vérification
f(z-ct) = f(u) avec u=z-ct
drond f/drond z= df/du drond u/drond z = df/du
Et drond² f/drond z² = drond u/drond z d² f/du² = d² f/du²
drond f/drond t = df/du drond u/drondt = -cdf/du
drond² f/drond t² = drond u/drond t d/du (-cdf/du) = c² d² f/du²
L’une moins l’autre =0
Ondes progressives
s(z,t)=f(z-ct)
On cherche deltaz tq s(z+delta z,t) = s(z,t+delta t)
Donc f(z+delta z -ct -cdelta t)=s(z -ct)
Donc delta z= cdelta t
L’onde s’est déplacé suivant +ux
Ainsi f(z-ct) caractérise ?
g(z+ct) caractérise ?
Une onde progressive selon +ux à la vitesse C
Une onde progressive selon -ux à la vitesse C
Surface d’onde définition
On appelle surface d’onde a un instant t le lieu des points M d’égale valeur de s(M,t)
Les surfaces d’ondes sont les plans z=cte on parle alors d’onde plane
Onde plane définition
On appelle onde plane route solution non constante d’une équation de propagation (ex: celle de d’Alembert) prenant des valeurs uniformes sur ts les plans perpendiculaires a _u
Onde plane progressive définition
On appelle onde plane progressive toute solution non constante d’une équation de propagation (d’Alembert) de la forme s(M,t) = f(_u.OM-ct+g(_u.OM+ct) ou u est unitaire et _OM = _r
L’onde plane progressive est
On admet que
Transverse électrique E ortho a _u
Transverse magnétique B ortho a _u
Le tiedre (u,E,B) est direct et vérifie B= (u^E)/c ou E=cB^u
Onde plane progressive monochromatique (=sinusoidale, harmonique)
Definition
On s’interesse a une OPP de direction +Uz de vitesse c
Ex … Bz sont de la forme f(t -z/c) ou f est sinusoidale de pulsation w
f(t-z/c)=f0cos(wt- wz/c +phi)
On pose _k=w/c _uz donc = f0cos(wt-k.r+phi)
wt-k.r +phi = phase de l’onde
Comment sont E et B en fonction de f(t-z/c)
E= (E0x cos(wt-kz+phix))
Idem suivant y et z
B=B0x cos(wt-kz+phix)
Idem sur y et z
Dans un milieu vide de charges et de courant comment on retrouve l’opp transverse elec et magnet
Div(E)= 0 = drond Ez / drond z = kE0zsin(wt-k.r+phiz) donc E0z = 0 donc Ez= 0 et donc E ortho a Uz
Idem pour B
Comment retrouver B=(u^E)/c dans le cas present ou u=uz
Relation de structure de l’OPPM dans le vide
On sait que Bz=0 de la:
Rot(E)= -drondEy/drond z
drondEx/drond z
0
= -drondB/drond t donc on integre B par rapport au temps en choissant ctes d'inté nulles car chp constant ne correspond pas a une onde
B= -k/w E0ycos(wt-kz+phiy) =-k/wEy
k/w E0xcos(wt-kz+phix) =k/wEx
Et k^E = wB d'ou B=(uz^E)/cRelation de dispersion par exemple sur Ux
k=w/c
_🔺Ex -1/c² drond²Ex/drond t²= 0 ie
drond²Ex/drondz² -1/c² drond²Ex/drond t² = 0 ie
-k²Eoxcos(wt-kz+phix) -1/c²w²Eocos(wt-kz+phix)= 0
Donc w²/c²=k² d’ou k=w/c k=f(w) est appelé relation de dispersion (ici f lineaire et milieu non dispersif)
Cos(wt-kz+phi) confere a l’opp une double periodicité, lesquelles ?
Periodicité temporel T : cos(w(t+T) -kz+phi) = cos(wt-kz+phi) Donc wT=2pi Periodicité spatiale lambda: cos(wt-k(z+lambda)+phi)=cos(wt-kz+phi) donc klambda=2pi Donc vu que k=w/c on a lambda=cT
Vitesse de phase
Dans un milieu lineaire ?
On a la phase de l’onde :
wt-kz +phi = k(w/k t -z) +phi
La vitesse de l’onde est w/k. Dans le vide vphi=w/k=c
Dans le cas d’un milieu lineaire vphi est independant de w
Utilisation des complexes,
Eoxcos(wt-kz+phix) devient
E=Eoxcos(wt-kz+phix) et suivant les autres composantes
_E= Eox ei(wt-kz+phix)
_Eo=_Eo ei(wt-k.r) avec _Eo=Eo ei(phi) amplitude complexe
Si _f(r,t)=ei(wt-k.r)
drond_f/drondt =
drond²_f/drond t²=
_grad(_f) =
drond_f/drondt = iw_f
drond²_f/drond t²= -w²_f
grad(f)= -ik _f
Donc 🔻=-ik
_🔺f =
_🔺f = -k² f
si _g(r,t) = _go ei(wt-k.r)
Div g=
Rot g=
_🔺g=
Div g = 🔻g = -ik g
Rot g = _🔺^g = -ik ^ g
_🔺g = 🔻²g = -k² g
OPPM dans le vide et equations de maxwell consequences :
_Eo=_Eo ei(wt-k.r)
_Bo=_Bo ei(wt-k.r)
Div E= 0 = -ik.E donc k ortho a E
Div B= 0 =-ik.B donc k ortho a B
Rot E= -ik^E = -wB d’ou B=(k^E)/w relation de structure
Pourquoi on etudie l’OPPM comme un model?
Car elle ne peut pas correspondre a la realité a cause de ses extensions spatiales et temporelles infinies
L’OPPM= composante elementaire d’un packet d’onde
L’etude de l’OPPM a le meme interet que l’etude des signaux sinusoidaux en electrocinetique.
D’apres fourier: les eq de Maxwell et d’Alembert sont lineaire donc par superposition on peut connaitre le comportement d’un signal periodique quelconque grace a la connaissance des harmoniques.
En resumé : Un signal physique reel emis par une source est
Un paquet d’onde qui resulte de la superposition de plusieurs OPPM se propageant dans la meme direction. L’OPPM est une composante elementaire du paquet d’onde
Densité volumique d’energie electromagnetique (OPPM dans le vide)
B=(u^E)/c donc ||B||=||E||/c donc uem= 1/2 Epsilon0E²+1/(2mu0) B²= Epsilon0E²
Il y a equirepartition de l’energie sous ces deux formes electriques et magnetiques
Lorsqu’on parle d’energie, JAMAIS JAMAIS :
De complexes
Vecteur de Poynting (OPPM dans le vide )
Pi= 1/mu0( E^B) = 1/mu0( E^(u^E)/c) = 1/muoc (E².u - (E.u)E) =1/muoc E².u = Epsilon0 c E².u = uem c u
Et cu = ve vitesse de propagation de l’energie
En quoi consiste l’etude de la polarisation d’une onde electromagnetique plane progressive monochromatique ?
Cela consiste en le suivi de l’evolution du champ electrique dans un plan normal a sa direction de propagation. L’observation de fait selon le sens opposé a celui de la propagation
Pour l’etude de la polarisation d’une OPPM se propageant selon uz, on connait la forme de E et on a la relation de structure ainsi
Avec un choix convenable de la base de temps on peut ecrire E= Eox cos (wt-kz)ux + Eoz cos(wt-kz+phi) uy
Ainsi E caracterise l’OPPM se propageant selon +Uz
Polarisation rectiligne phi=0
E= Eox cos (wt-kz)ux + Eoz cos(wt-kz+phi) uy
On se place dans le plan z=0 (tout plan ortho a Uz convient)
On a E= Eox cos (wt)ux + Eoz cos(wt)uy et ainsi on a Ex/Ey=cste superieur a 0 donc tanalpha=cste
L’extrémité de E decrit le plan d’onde, un segment de droite inscrit dans un rectangle de coté 2Eox et 2Eoy
(Aphla l’angle entre E et Uy)
Polarisation rectiligne phi=pi
E= Eox cos (wt-kz)ux + Eoz cos(wt-kz+phi) uy
On est dans z=0 (tt plan ortho a Uz convient)
Ainsi E=Eoxcos(wt)ux -Eoycos(wt)uy donc Ex/Ey cste inf 0
L’extrémité de E decrit le plan d’onde, un segment de droite inscrit dans un rectangle de coté 2Eox et 2Eoy
(Aphla l’angle entre E et Uy)
Qu’est ce qu’on fait grace a la connaissance de la direction de l’OPPM et de phi et de la polarisation rectiligne
On choisit le repere (uX,uY) tel que uX soit la direction de E. Ainsi
E=Eocos(wt-kz) uX et puisque B=(uz^E)/c on a B=Eo/c cos(wt-kz)uY
(uY= uz^uX)
Lumiere”naturelle”
On s’interesse aux lumieres de longueur d’onde entre 400 et 800nm qui sont soumise a un filtre ne laissant passer qu’une mince bande de freq quasi-monochromatique
L’onde est bien transverse mais n’a aucune raison d’etre polarisée
E=Eoxcos(wt-kz+phix(t))ux et idem sur uy. Ainsi l’extremité de E(Mt) occupe tout le plan d’onde de coté 2Eox X 2Eoy
Polariseur et analyseur
Un polariseur est un system optique qui possede une direction privilegiée appelée axe de transmission. Le polariseur transmet la composante du champ elec incident parallele à l’axe de transmission. La lumiere sortant d’un polariseur est polarisée rectilignement selon la direction de l’axe de transmission quelque soit la nature de la lumiere incidente
Remarque sur le polariseur
Il “projette” le champ electrique sur son axe de transmission
Si la lumiere incidente est polarisée rectilignement selon une direction ortho a l’axe de transmission alors aucune lumiere ne sort du polariseur
Comment est E si on a une OPPM dans le vide selon + Ux polarisé rectilignement selon +Uz
Idem avec -Ux
E= Eocos(wt-kz) uy
E=Eocos(wt+kz) uy
Loi de Malus
On considere deux polariseurs (le deuxieme est appelé analyseur) placés l’un a la suite de l’autre et dont les axes de transmissions font entre eux un axe alpha.
On a I2=I1 cos² alpha
I1 intensité apres premier polariseur = (Cste||E1(t)||²)t
Rayonnemet dipolaire electrique :
Cadre de l’etude, dipole electrique
On generalise le concept de moment dipolaire a des dipoles “non rigides” pour lesquelles la distance a peut dependre du temps. Le momet dipolaire instantané s’ecrit _p= qa(t) _uz
Pour un dipole oscillant
Pour un dipole oscillant _p=po cos (wt) _uz = qa os(wt)_uz on peut considerer que la charge - est fixé en 0 et la charge + oscille autour de O avec une amplitude de a
Qd a propos des dipoles oscillants
Cette modelisation permer de decrire phenomenes liés a l’emission d’ondes electromagnetiques par les atomes ds domaine optique (charge fixe le noyau, l’autre l’electron)
-en mettant un grand nombre de ces dipoles bout a bout on modelise un fil conducteur parcouru par un courant variable ie une antenne (c’est la base de la description du rayonnement des antennes)
On cherche le champ electromagnetique créé par un dipole oscillant, d’extension geometrique a au voisinage d’un point fixe 0. En un pt M situé a la distance r=OM. Soit lambda la longueur d’inde du champ rayonné par le dipole. a, r et lambda constituent les 3 ecelles de longueur du probleme :
Ds l’approx non relativiste :
vp infff c. z(t)=acos(wt) donc v(t)=-awsin(wt) ie |vp|inf aw et donc aw inffff c d’ou a infff cT
Ds l’approx dipolaire : a inffff r
Ds la zone de rayonnement :
Lambda infffff r : la distance que parcourt l’onde entre l’emission et la reception est tres superieur a la periode spatiale de l’onde donc on ne neglige pas les phenomenes liées a la propagation. (Inverse de l’ARQS)
Champ magnetique rayonné et champ electrique rayonné dans le cadre des approx ai infff lambda infff r
B(M,t) = (muo sin ø)/4pirc d^2 p /dt^2 (t-r/c) uphi = -muosinøw^2po / 4pirc cos (wt-wr/c) uphi
E(M,t)= (muosin ø)/4pir d^2 P/dt^2 (t-r/c) uø = (-muo sin ø w^2 po) / 4pir cos(wt-w/c z) uø
Analyse des expression de E et de B
Symetries : le pla contenant Oz et le point M est plan de symetrie pour les sources (courants et charges) donc B(M,t) = B uphi est ortho au plan
E(M,t)= Er ur + Eø uø car E appartient au plan. Mais dans la zon’e de rayonnement en partant de l’expression de B on a le champ E et Eø/Er suuuuuup 1 donc on neglige Er
Dans le cadre des approximations a inffff lambda inffff r le champ electromagnetique créé par le dipole oscillant :
- correspond a une onde progressive ds la directº ur qui se propage a la vitesse c
- decroit en 1/r
- est proportionnel a d^2p/dt^2 (t-r/c) donc a l’acceleration de la particule rayonnante
- presente localement une structure d’OPPM se propageant radialement a partir du dipole (les ptes de l’OPPM sont verifiées
- rayonnement non isotrope du fait du facteur en sinø
Vecteur de Poyting avec les champs du dipole oscillant
Pi= (E^B)/muo = muo sin²ø / 16pi²r²c d²p²/dt² (t-r/c) ur
Puissance rayonné par unité de surface de direction ur
(dP)t = (pi.dsur)t = muo sin²ø dS / 16pi²r²c (d²p²/dt² (t-r/c)) ur soit (dP/dS)t = muo sin²ø / 16pi²r²c (po²w^4cos²(wt-wr/c) d’ou (dP/dS)t = uopo²w^4sin²(ø)/32pi²r²c
Cela montre que le rayonnement d’un dipole n’est pas isotrope: la puissance rayonnée est nulle dans la direction du dipole et max ds plan equatorial
Indicatrice de rayonnemet
On peut rendre compte de l’anisotropie du rayonnement dipolaire en traçant l’indicatrice de rayonnement def comme le lieu des points Q tq _OQ= (dP/dS)ur
Puissance moyenne totale rayonnée
Rq
On l’obtient par integration sur une sphere de rayon r et la puissance moyenne rayonnée a travers l’element de surface ds
(P)t = muo po²w^4 /32pi²c doubleintegrale (sphere) sin^3ødødphi= muopo²w^4/12pic
La distance d’observation n’intervient pas! La puissance moyenne totale rayonné est prop a w^4
Diffusion du rayonnement electromagnetique
Rayonnement d’une charge acceleree :
Formule de Larmor
(P)t=muopo²w^4/12pic = muo/6pic (p••²)t= muo q²/6pic (z••²)t
Notion sur la diffusion
Le champs E du ratonnemet emis par le soleil interragit avec les molecules de m’atmosphere qui se comportent comme des dipoles elec induit. Ces dipoles oscillants rayonnent a leur tout des ondes electromagnetiques ds toutes les directions. On dit que la lumiere du Soleil est diffusée. On suppose que les elec de chaque atomes peuvent etre traité inde, donc on se ramene a etudier atome d’hydrogene.
Expliquer la couleur bleue du ciel
La puissance rayonnée par diffusion ds le ciel est proportionnelle a la puissance quatrieme de l’onde emise. wv sup wr donc wv^4 suuuup wr^4
Et Prayv suuup Prayr. La courbe de visibilité de l’oeil donne le bleu mieux perçu que le violet donc Pbleu predomine.
Polarisation par diffusion
La lumiere du soleil n’est pas polarisée et son chp E vibre perpendiculairement a sa direction de propagation, suivant uz. On peut alors decomposer E en Ex et Ey polarisé rectilignement suivant les deux directions perpendiculaires et presentant entre elles un dephasage aleatoire. Ces chp engendrent des moments dipolaires induits oscillant Px et Py. Pour observateur situer sur uy, Py=0 (sinø=0) dc le chp elec diffusé est uniquement dû au dipole Px et est dirigé suivant -ux donc cette lumiere diffusée est donc polarisée rectilignement
Qu’est ce qu’un plasma
Un milieu ionisé globalement et localement neutre constitué d’ions positifs de charge e et de masse mi, et d’electrons de charge -e et de masse m. (mi suuup m) on note no la densité volumique de charges
Hypotheses :
Non relativiste (v infff c)
Plasma dilué/ peu dense donc pas d’interractions entre les particules
Les ions sont immobiles
Plasma
On a un champ electromagnetique
Lorsqu’on applique la RFD que dire de la norme de la force de Lorentz magnetique
||v^B|| = ||vB|| = kEov/w ~ vEo/c inffffff 1 car k/w voisin de 1/c (milieu peu dense)
Et ||E|| ~Eo donc on neglige Fm
Plasma
A partir de la RFD comment on obtient j ?
RFD :
mdv/dt = -e_E on passe en complexes donc
miw _v = -e_E donc _v = ieE/mw
j=no (-e) v + noe vi mais on neglige le terme ac vi car mi suuuup m donc
j= -inoe²_E/mw et en complexe _j=_gamma_E _gamma condu complexe
Plasma
Equation de propagation Avec gamma etc
Rappel: div E = 0 car plasma localement neutre
Rot(rot(E))= _🔺E
Rot(rot(E))= -drond/drond t Rot (B)= -muo(drond j/drondt +Epsilon0 drond²E/drond t²)
=-muo_gamma drondE/drondt -1/c² drond²E/drondt² =-muogamma /iw drond²E/drondt² - 1/c²drond²E/drondt² = -1/c² drond²E/drondt² (1+_gamma/Epsilon0) donc finalement
_🔺E -drond²E/drond t² /c² (1-noe²/mEpsilon0w²) =0 on pose noe²/Epsilon0m =wp² donc
_🔺E -1/c²(1-wp²/w²) drond²E/drondt²=0
Rq a partir de
_🔺E -1/c² (1-wp²/w²) drond²E/drondt²=0
Si no=0 on a l’eq de d’alembert ds le vide
Si on pose Epsilonr=1-wp²/w² la permittivité relative du plasma on a
_🔺E -Epsilonr/c² drond²E/drondt²=0
Plasma
Rq a partir de
_🔺E -1/c² (1-wp²/w²) drond²E/drondt²=0 et l’equation de conservation de la charge
drond ro/ drond t + div j= 0 or div j = _gamma div E = _gamma ro / Epsilon0
Donc l’eq devient en complexe
iw_ro (1-noe²/mEpsilon0w²)= 0 d’ou
iw_ro(1-wp²/w²)=0 wp pulsation plasma
Si wp=!w donc _ro= 0 corres bien a milieu localemet neutre
Si w=wp incompatibilité ac oppm transverse pour laquelle divE=0
Plasma:
Relation de dispersion :
Comment on l’obtient ?
k=f(w)
On injecte _E=Eoe(iwt-kz) ux dans l’eq de propagation _🔺E -1/c² (1-wp²/w²) drond²E/drondt²=0
D’ou 🔺E= -k²E drond²E/drond t²= -w²E ce qui donne
E( -k² +1/c² (1-wp²/w²)w²) = 0 donc k²=(w²-wp²)/c² eq non lineaire donc plasma milieu dispersif (=propagation ne se fait pas a la meme vitesse selon freq)
Plasma
A partir de la relation de dispersion k²=(w²-wp²)/c²
Si w superieur a wp
Vitesse de phase ?
Rq en haute freq
Alors k= (w²-wp²)^1/2/c onde qui se propage selon +uz
Et E=Eo cos (wt- (w²-wp²)^1/2 /c² z) ux
D’ou la vitesse de phase: vphi= w/k = c/(1-wp²/w²)^1/2 ce qui est sup a c
Et en haute freq le plasma se comporte comme le vide
Plasma
A partir de la relation de dispersion k²=(w²-wp²)/c
Si w inf a wp
k= +- i (wp²-w²)^1/2/c
Donc E=Eo exp(+-(wp²-w²)^1/2/c z ) cos (wt) ux
L’onde ne se propage plus (z et t non liées)
Si le milieu decrit corres a z sup 0 on garde +
Si le milieu decrit corres a z inf 0 on garde -
ONDE EVANESCENTE
on def epaisseur de peau/penetration delta= c/(wp²-w²)^1/2
Si zsup0 : E=Eoexp(-z/delta)coswt ux
Conclusio sur le plasma au vu du cas ou w inf wp
Il se comporte comme un filtre passe haut de pulsation de coupure wp on le voit bien sur le graphe
k=f(w) ou il n’y a pas de propagation a gauche de wp
Dans le cas de la superposition de 2 OPPM de meme amplitude se propageant suivant uz et en phase a t=0 dans le plan z=0. Y’a quoi?
S(M,t)=2socos(wmt-kmz)cos(deltawt -deltakz)
on l’obtient en transformant la somme des cos en produit donc deltaw inf w et |deltak| inf km
On a 2 periodes temporelles/ spatialle et des vitesses de propagation d’onde moyenne et d’onde enveloppe differentes (en general) (vphi=wm/km) et (vg=deltaw/deltak) l’onde se deforme en se propageant il y a disperssion
Generalisation pour un paquet d’onde
On s’interesse a paquet d’onde se propageant suivant uz
Pour un paquet d’onde on definit la vitesse de phase vphi=w/k et vg=dw/dk. Dans un milieu dispersif la relation entre w et k est non lineaire donc vphi diff vg le paquet d’onde se propage en se deformant
Vitesse de groupe du paquet d’onde dans le plasma
vphi=dw/dk
dans le plasma w sup wp donc k=(w²-wp²)^1/2/c *
Dinc vphi= w/k=c/(1-wp²/w²)^1/2 sup c
vg=dw/dk et d*²/dk : 2k=1/c² 2wdw/dk donc vg= kc²/w=c²/vphi =c(1-wp²/w²) inf a c traduit deplacement paquet d’onde
Considerons une surface fermé autour d’un volume.
Donner l’equation locale traduisant la conservation de la charge
A l’instant t: la charge dans V est qint=tripleintegrale ropdtop. Cette charge est variable du fait du flux de charge mobile a travers Sigma. A t, (flux global sortant)=flux de charge sortant - flux de charge entrant. L’intensité du courant elec sortant de sigma a t = flux global de charges sortant de sigma ie flux de j. is=doubleOintegrale j.dsn. Ainsi entre t et dt qdt de charge dq traversant sigma de l’inté vers l’exté s’ecrit dq=isdt. Or si entre t et t+dt qint a diminué de -(qint(t+dt)-qint(t))=-drondq/drondt dt d’apres principe conservation charge la qté dq s’identifie a la diminution de la charge int donc -(drondqint/drondt)dt = -tripleintegrale (drond ro/drond t)dtop dt = doubleOintegralej.dsn dt et grace a Green triple integrale et c finit
Definition- Milieu ohmique en regime lentement variable
Un milieu est dit conducteur si sous l’action d’un champ elec un courant de conduction se met en place. Ds conducteur metallique, le courant de conduction correspond a un mouvement d’electron. Ds un conducteur ohmique j=gammaE loi d’ohm locale valable si f inf 1/toc ac toc separant les collisions entre les electrons donc 10^14Hz
Conducteur
Equation locale de conservation de la charge
Div j + drond ro/ drond t = 0 soit gamma ro/ Epsilon0 + drond ro/drond t= 0 donc ro(t)=ro0 exp(-t/to) ac to = Epsilon0/gamma donc au bout de quelques to, ro=0 puisque to de lordre de 10^-19 on considere que le conducteur ohmiqe est neutre
Conducteur
Comparaison courant de conduction et courant de deplacement
j=gamma E courant de conduction
jd=Epsilon0 drondE/drond t courant de deplacement
||j|| = gamma ||E||
||jd|| = Epsilon0w||E|| donc ||j||/||jd|| = gamma/Epsilon0w =gammaT/Epsilon02pi = T/To2pi en regime lentement variable T suuuuup to donc on neglige le courant de deplacement
Conducteur
Equation de propagation dans ce milieu
div E=0 Rot(E)=-drond B/drond t Div B=0 Rot(B)= muoj Donc rot(rot(E))= -_🔺E Et rot(rot(E))= -muo gamma drond E/drond t _🔺E - mu0gamma drond E/drond t =0
Conducteur
Champ electrique: on cherche a propager une onde progressive plane monochromatique transverse electrique polarisé rectilignement selon Ux
_E= Eo exp i(wt-kz) ux
Donc _🔺E= -k²E et drond E/drond t = iw E donc l’EP devient
E( -k² -iwmuogamma) = 0 donc k²=-iwmuogamma l’eq de dispersion non lineaire (conducteur milieu dispersif)
k²=exp(-ipi/2)muogammaw donc k=+-exp(-ipi/4)(muogammaw)^1/2 donc
k=+- (1+i)/delta avec delta=(2/muogammaw)^1/2 epaisseur de peau en m
Donc E=Eoexp(+-z/delta)exp(iwt+- z/delta) ux
Conducteur
Dans le cas ou le milieu correspond a z superieur a 0. Comment est E et comment est l’onde
E=Eo exp (-z/delta) cos (wt-z/delta) ux
OPM transverse elec. Surface d’onde = plans z cste=cste OPPM. Le champ s’attenue en se propageant selon +uz. (Pas evanescente car celle ci se propage. )
Conducteur
Comment on obtient B maintenant
Grace a Maxwell-Faraday car rot E = -drond B/drond t et on retrouve relation de structure B=(k^E)/w
Conducteur
Vitesse de phase et de gain
K=(1-i)/delta on def k’=re(k) = 1/delta donc vphi= w/k’ = (2w/muogamma)^1/2
k’²=muogammaw/2 d’ou la derivée
2k’=muogamma/2 dw/dk’ = muogamma/2 vg donc vg=2vphi
Cas du conducteur parfait, consequences a l’interieur du conducteur
On parle de conducteur parfait lorsque gamma est infinie
pv=j.E=gamma E² donc E=0
Donc div E= 0 donc ro=0 localement neutre
RotE=0 donc drondB/drondt =0 mais on charche propagation onde donc cste d’integration nulle donc B=0
RotB=mu0j +mu0epsilon0drondE/drondt donc j=0
Donc pv=j.E = 0 aucune puissance Joule ds conducteur
Conducteur parfait
Consequence lorsqu’on applique la relation de passage
E2(zlim,x,y,t) - E1(zlim,x,y,t) = ro(zlim,x,y,t)/Epsilon0 n12 =-E1 car E2 = 0
Idem on trouve B1(zlim,x,y,t)=-muojs(zlim,x,y,t)^n12 donc B1 a la limite est tangentiel au plan separant les 2 milieux
Conducteur parfait
Reflexion d’une OPPM en incidence normal sur un conducteur parfait
Ei=Eocos(wt-kiz) ux
En z=0 Ei doit verifier la condition de passage donc Ei(0,t)=-ro(0,t)/Epsilon0 Uz ie sur ux : E0cos(wt)=0 donc Eo=0 donc Ei n’existe pas seul il y a une onde reflechie
Conducteur parfait
Caracterisation de l’onde reflechie jusqu’a l’equation de d’Alembert
On cherche Er sur n’importe quel direction et dependant de (x,y,z,t):
Invariance du pb par translation selon ux et uy. Ei sinusoidale de pulsation w, les electrons a la surface sont mis en mvt sous la force elec -eEi(0,t) ceci se trad par RSF donc js pulsation w, puis onde reflechie pulsation w donc Er=Ero(z)ei(wt)
Er doit verifier Maxwell donc divE=0 donc Eroz=0 transverse elec
Conducteur parfait
Caracterisation de l’onde reflechie Er=Erox(z)ei(wt) ux + Eroy(z)ei(wt)uy
Eq de d’Alembert _🔺E-1/c²drond²E/drondt²=0 donc en complexe et on divise par eiwt donc l’eq devient
drond²Ero/dz² +w²/c² Ero=0 OA donc
Ero=_X eiw/c z + _Y e-i(w/c z)
Finalement Er=_Xei(wt+w/c z) +_Yei(wt-/c z) le premier terme OPPM selon -Uz, kr=-w/c uz =-ki et second terme OPPM suivant +Uz impossible ici donc _Y=0. _X suivant Ux et Uy.
Conducteur parfait
On trouve _X
A z=0 Ei(0,t)=Eoei(wt-w/c z) ux Er(0,t)=Xx ei(wt-w/c z) ux + Xy ei(wt-w/c z) uY Evide(0,t) = -ro(0,t)/Epsilon0 uZ Conclusion puisqu'ils coincident : Xx=-Eo Xy=0 et ro(0,t) =0 Donc Er=-Eocos (wt-w/c z) ux
Conducteur parfait
Champ electrique resultant
E=Ei+Er avec
Ei(0,t)=Eoei(wt-w/c z) ux
Er(0,t)=-Eoei(wt-w/c z) ux onpose k=w/c
E = 2Eosin(wt)sin(kz) ux ie une onde qui ne se propage pas (noeuds et ventres) = onde stationnaire
Conducteur parfait
On definit sur ce champ electrique noeuds et ventre
Les noeuds sont les zn tq E(zn,t)=0
Pt t, sin(kznh)=0 ie kzn=0[pi] donc zn=0[lambda/2]
Les ventres sont les zv tq E(zv,t) est maximal donc sin(kzv)=-+1 donc kzv=pi/2[pi] donc kv=-lambda/4[lambda/2]
Conducteur parfait
Comment on trouve B le champ magnetique
OPPM donc relation de structures
Bi=(ki^Ei)/w donc puisque ki=w/c uz on a Bi=Eo/c cos(wt-kz) uy
Br=(kr^Er)/w donc puisque kr=-w/c uz et Er=-Eocos(wt+kz)ux on a Br= Eo/c cos(wt+kz)uy d’ou B=Bi+Br donc B=2Eo/c cos(wt)cos(kz) uy
Rq : ac MF on passe direct de E a B mais calcul (pas de E a B par relation de structure..)
Conducteur ideal
Que remarque t-on si on regarde les tracés des champs E et B en fonction de z?
Les noeuds de E dont les ventres de B et reciproquement
Conducteur parfait
Grace aux champs trouvés E=2Eosin(kz)sin(wt) ux
B=2Eo/c cos(kz)cos(wt) uy
Comment trouve t-on la charge et le courant surfacique ?
E2-E1=ro/epsilon0 n12
E2=0 et E2=0 (z=0) donc ro=0 le conducteur est localement neutre a la surface
B2-B1=muojs^n12
B2=0 conducteur
B1=2Eo/c cos(wt)uy donc js=2Eo/cmuo cos(wt) ux
On retrouve bien un deplacement dans le meme sens que E (F=-eE)
Conducteur parfait
Bilan energetique
uem = 1/2 epsilon0E²+1/2muo B²=0 E²=4Eo²sin²(wt)sin²(kz) B²=4Eo²/c² cos²(wt)cos²(kz) donc uem=2Epsilon0Eo²sin²(wt)sin²(kz) + 2Epsilon0Eo²cos²(wt)cos²(kz) =2Eo²Epsilon0(sin²(wt)sin²(kz)+cos²(wt)cos²(kz)) Donc (uem)t= Eo²Epsilon0 (uemi)t=Eo²Epsilon0/2 = (uemr)t
Conducteur parfait
Grace aux champs trouvés E=2Eosin(kz)sin(wt) ux
B=2Eo/c cos(kz)cos(wt) uy
Exprimer la puissance rayonnée
Pi=(E^B)/muo = 4Eo²/muoc cos(wt)sin(wt)cos(kz)sin(kz) uz
(Pi)t = 0 pas de transport d’energie onde stationnaire
(On a (Pii)t=-(Pir)t
Qu’est ce qu’une cavité
Caracteristique
Volume vide delimité par des parois conductrices
Si un chp elec est exité ds la cavité par la presence d’une source alors il regne de la cavité un chp stationnaire
Cavité
Dans notre cas unidimentionnel on a quoi on cherche quoi ?
On constitue une cavité a 1 dimension en disposant en z=0 et z=L deux plans paralleles conducteurs parfaits.
On cherche entre les deux plaques le champ elec associé a une onde stationnaire sous la forme E(M,t)=E(z,t)ux=f(z)g(t)ux
Cavité
Comment va-t-on trouver le champ E ? Quelle vat etre la demarche ?
E(M,t)=f(z)g(t)ux
E soit satisfaire les eq de Maxwell et l’eq de propagation : sur ux :
🔺Ex -1/c²drond²Ex/drondt²=0 donc
g(t)d²f(z)/dz² -f(z)/c²d²g(t)/dt²=0
ie 1/f(z)d²f(z)/dz²=1/(c²g(t)) d²g(t)/dt² = A car la relation doit etre valable pour tt t et tt z et z et t sont independants. On a dont
d²f(z)/dz² -Af(z)=0 et d²g(t)/dt²-Ac²g(t)=0
On va discuter selon le signe de A (3cas)
Cavité :
1 er cas envisager pour trouver le champ’E: A superieur a 0
On avait d²f(z)/dz² -Af(z)=0 Donc f(z)=Xe(-(A)^1/2 z) + Ye(A^1/2 z) ie E(M,t)=[X(e(-(A)^1/2 z) + Ye(A^1/2 z) ]g(t) ux en z=0 : E(0,t) = (X+Y)g(t)ux en z=L E(L,t)=(Xe(-(A)^1/2 L) + Ye(A^1/2 L))g(t)ux. Relation de passage : E(0,t)=ro(0,t)/Epsilon0 uz E(L,t)=-ro(L,t)uz en projetant sur ux: f(0)g(t)=0 et f(L)g(t)=0 pt t d'ou X +Y=0 et -Ye(-(A)^1/2L +Ye(A^1/2 L) = 2Ysh(A^1/2 L) =0 donc Y=0 d'ou E=0 impossible
Cavité :
2 eme cas envisagé: A=0
d²f(z)/dz² =0 donc f(z)=Xz+ Y et on a toujours f(0)=0 et f(L) =0 donc Y=0 et XL= 0 donc X=0 ie E=0 impossible
Cavité :
3 eme cas envisagé :
A inferieur a 0
On a donc d²f(z)/dz² + (-A)f(z)=0 ie f(z) = Xcos((-A)^1/2 z) + Ysin((-A)^1/2 z) =0 et f(0)=0 donne X =0
f(L) =0 donne Ysin((-A)^1/2L) =0 ie (-A)^1/2 L =npi ie -AL²=n²pi² donc A=-n²pi²/L² finalement f(z)=Ysin(npi/L z) et d²gt)/dt²-Ac²g(t) =0 donc g(t)=Ycos(npic/L t +phi) donc E(z,t) = Eo sin(npi/L z)cos(npic/L t+phi)ux et kn=npi/L et wn=npic/L
Cavité
Champ magnétique lié a E
RotE=-drondB/drondt
Rot(E)=
(drond /drondx)^(Ex(z,t)) = 0
(drond/drondy) (0) =-Eonpi/L cos(npi/L z)cos(npic/L t+phi)
(drond/drondz) (0) =0
Donc B=-Eo/c cos(npi/L z)sin(npic/L t+phi)uy
Cavité :
Mode propre :
Freq et pulsation
d=distance entre 2 noeuds
Le champ magnetique depend d’un indice qui caracterise les modes propres dans la cavité. La valeur de n donne la position des noeuds et des ventres dans la cavité
Pulsation ou freq de l’onde dans la cavité : wn=npic/L donc fn=nc/2L
d=L/n=c/2f=lambda/2
Cavité
Energie d’un mode vibratoire
Vecteur de pointing
Energie totale contenue ds la cavité
On ecrit uem et on a des cos et sin au carré puis finalement (uem)t=epsilon0Eo²/4
Pi=(E^B)/muo on a que des sin et des cos donc la moyenne temporelle donne 0 ie onde stationnaire
Uem=energie dans la cavité = tripleint(uem)dtop=Sint(0,L)uemdl on integre les cos²(npiz/L) et sin²(npic/L z) et on assemble : Uem=epsilon0Eo²LS/4 =cste ne depend pas de n
Validité de l’ARQS?
Ds un circuit, si un signal elec periodique de lingueur lambda se propage a la vitesse de la lumiere c, entre deux pts distant de L, alors l’ARQS impose L inffff lambda
Puis puisque lambda= cT on a L/c inff T
