Energie Du Champ Electromagnetique 🌇🌅🏝 Flashcards
pv= Puissance volumique cédée par le champ électromagnétique aux porteurs de charges
dFp= dqp(E(p,t) + v(p,t)^B(p,t))
dPp = dqpE(p,t).v(p,t) = ro(p)dtop E(p,t).v(p,t) = dtop j(p,t)E(p,t)
On def pv = dPp/dtop = j(p,t).E(p,t)
Densité volumique d’énergie : unité et valeur
On def uem(p,t) densité volumique d’énergie en p a l’instant t en J.m-3
Uem(t)= tripleintegrale (pdeV) uem(p,t)dtop
En J
(D’origine électromagnétique)
uem(p,t) =
1/2Epsilon0 E(p,t)² +
1/(2mu0) B(p,t)²
1er terme densité volumique d’énergie d’origine électrique
Second d’origine magnétique
Unité de Epsilon0E²/2
Unité de B²/2mu0
F.m-1.V².m-2 = FV².m-3 =J.m-3
(FV² comme 1/2 Cu²)
T².H-1.m= H.m-3.A²= J.m-3
T? B=muOnI (solénoïde infini donc T=H.m-1.m-1.A)
Vecteur de Poynting
Unité
On def _Pi(p,t)=[E(p,t)^B(p,t)]/mu0 _pi densité de puissance On le note parfois _R En V.m-1.T.H-1.m = V.m-1.H.m-1.m-1.A.H-1.m = V.m-2.A =W.m-2
Pray=Puissance rayonné par le champ électromagnétique à travers S
Pray= doubleintegrale(PdeS) Pi(P,t).dSp en Watt
On dit que _pi caractérise le déplacement de l’énergie électromagnétique au cours du temps
Équation locale de la conservation de l’énergie
drond uem/ drond t + div (Pi) = -j.E
Comment on obtient l’équation de conservation de l’énergie
Comment on fait le bilan d’énergie du volume V
dUem(t)/dt = d/dt 3I uem(p,t).dtop = 3I(pdeV) drond uem/drond t dtop. Causes de variation d’E ?
dUem(t)/dt = -Pcédée par (E,B) aux porteurs de charges -Pray à travers l’enveloppe de V (2IO Pi(p,t).dSp)
=-3I j(p,t).E(p,t)dtop -3Idiv(Pi(p,t))dtop
donc 2 expressions ac 3I d’où
dronduem(P,t)/drondt + div(j(p,t) =-j.E
Cas du conducteur ohmique
Loi d’ohm locale
(On a un conducteur en cuivre de résistivité ro = 1/gamma (conductivité) soumis à E constant
Ac des électrons (-e,m)et une densité volumique n.
Modèle de Drüde : on étudie les e- de conduction
RFD : m dv/dt = -eE -mu v (frottement fluide)
dv/dt + mu/m v = -e/m E (to=m/mu)
Au bout qq to, v tend vers
vlim=-e/mu E
D’où j=nqv = ne²/mu E = gamma E
Forme intégrale du conducteur ohmique
I=doubleintegrale j(M,t).dSp = gamma E doubleintegrale dSp = gammaES
U=VA-VB = Intégrale (b,a) dV = -E intégrale (b,a) .dln = El = I/gammaS d
D’où U=RI ac R = d /(gamma S) = ro d/S
Puissance cédée aux porteurs de charges par le champ électrique
pv = j.E = gamma E² = gamma I² / (gammaS)² = I²/(gammaS²)
Pcédée= tripleintégrale pv.dtop = I²/(gammaS²) Sd = I²d / (gammaS) = RI²
La puissance joule correspond à la puissance cédée par champ électrique aux porteurs de charges
Puissance rayonnée
On suppose que d très supérieur à a le rayon
B(M)= B(r)uø pour r supérieur à a
B(r)2pir= mu0 I doncB(r)=mu0 I/2pir uø
Continuité de B à la surface donc B(a) connu
Pi(a)= (E^B)/mu0 = Eux^Buø /mu0 = -EI/2pia ur
Pray= doubleintegrale Pi.dSp = -EId=-RI² la puissance électromagnétique entrant dans le conducteur par rayonnement = puissance cédée par chp électromagnétique aux porteurs de charges
dUem/dt =
dUem/dt = -Pcédée -Pray = 0
Pcédée + Pray = 0
Puissance d’une charge ponctuelle q de vitesse V(M,t) soumise a E(M,t) et B(M,t)
P= qE(M,t).v(M,t)
Dans un milieu vide de charge et de courant
Équation de propagation du champ E
_🔺E - 1/c² drond²E/drond t² =0
Dans un milieu vide de charge et de courant
Équation de propagation du champ B
_🔺B - 1/c² drond²B/drond t² =0
Que se passe t-il dans un milieu homogène isotrope vide de charges ?
v=c/n avec n l’indice du milieu
Résolution d’une équation de propagation de E ou de B ? Qu’est ce qu’on pose
On a des équations scalaires sur chaque composantes.
On introduit s(M,t) l’une des composantes de E ou B
s(M,t) = Ex(M,t ou By(M,t) … C’est la vibration associé au champ E en M a t
On se place ds cas particulier ou s(M,t)=s(z,t) (unidimensionnelle) donc on cherche à résoudre drond² s/drond z² -1/c² drond² s/drond t² = 0
Résolution de l’équation de d’Alembert : les solutions
Les solutions sont de la forme s(M,t)=f(z-ct)+g(z+ct)
Ou f et g sont quelconques de C2
Résolution de l’équation de d’Alembert : vérification
f(z-ct) = f(u) avec u=z-ct
drond f/drond z= df/du drond u/drond z = df/du
Et drond² f/drond z² = drond u/drond z d² f/du² = d² f/du²
drond f/drond t = df/du drond u/drondt = -cdf/du
drond² f/drond t² = drond u/drond t d/du (-cdf/du) = c² d² f/du²
L’une moins l’autre =0
Ondes progressives
s(z,t)=f(z-ct)
On cherche deltaz tq s(z+delta z,t) = s(z,t+delta t)
Donc f(z+delta z -ct -cdelta t)=s(z -ct)
Donc delta z= cdelta t
L’onde s’est déplacé suivant +ux
Ainsi f(z-ct) caractérise ?
g(z+ct) caractérise ?
Une onde progressive selon +ux à la vitesse C
Une onde progressive selon -ux à la vitesse C
Surface d’onde définition
On appelle surface d’onde a un instant t le lieu des points M d’égale valeur de s(M,t)
Les surfaces d’ondes sont les plans z=cte on parle alors d’onde plane
Onde plane définition
On appelle onde plane route solution non constante d’une équation de propagation (ex: celle de d’Alembert) prenant des valeurs uniformes sur ts les plans perpendiculaires a _u
Onde plane progressive définition
On appelle onde plane progressive toute solution non constante d’une équation de propagation (d’Alembert) de la forme s(M,t) = f(_u.OM-ct+g(_u.OM+ct) ou u est unitaire et _OM = _r
L’onde plane progressive est
On admet que
Transverse électrique E ortho a _u
Transverse magnétique B ortho a _u
Le tiedre (u,E,B) est direct et vérifie B= (u^E)/c ou E=cB^u
Onde plane progressive monochromatique (=sinusoidale, harmonique)
Definition
On s’interesse a une OPP de direction +Uz de vitesse c
Ex … Bz sont de la forme f(t -z/c) ou f est sinusoidale de pulsation w
f(t-z/c)=f0cos(wt- wz/c +phi)
On pose _k=w/c _uz donc = f0cos(wt-k.r+phi)
wt-k.r +phi = phase de l’onde
Comment sont E et B en fonction de f(t-z/c)
E= (E0x cos(wt-kz+phix))
Idem suivant y et z
B=B0x cos(wt-kz+phix)
Idem sur y et z
Dans un milieu vide de charges et de courant comment on retrouve l’opp transverse elec et magnet
Div(E)= 0 = drond Ez / drond z = kE0zsin(wt-k.r+phiz) donc E0z = 0 donc Ez= 0 et donc E ortho a Uz
Idem pour B
Comment retrouver B=(u^E)/c dans le cas present ou u=uz
Relation de structure de l’OPPM dans le vide
On sait que Bz=0 de la:
Rot(E)= -drondEy/drond z
drondEx/drond z
0
= -drondB/drond t donc on integre B par rapport au temps en choissant ctes d'inté nulles car chp constant ne correspond pas a une onde
B= -k/w E0ycos(wt-kz+phiy) =-k/wEy
k/w E0xcos(wt-kz+phix) =k/wEx
Et k^E = wB d'ou B=(uz^E)/cRelation de dispersion par exemple sur Ux
k=w/c
_🔺Ex -1/c² drond²Ex/drond t²= 0 ie
drond²Ex/drondz² -1/c² drond²Ex/drond t² = 0 ie
-k²Eoxcos(wt-kz+phix) -1/c²w²Eocos(wt-kz+phix)= 0
Donc w²/c²=k² d’ou k=w/c k=f(w) est appelé relation de dispersion (ici f lineaire et milieu non dispersif)
Cos(wt-kz+phi) confere a l’opp une double periodicité, lesquelles ?
Periodicité temporel T : cos(w(t+T) -kz+phi) = cos(wt-kz+phi) Donc wT=2pi Periodicité spatiale lambda: cos(wt-k(z+lambda)+phi)=cos(wt-kz+phi) donc klambda=2pi Donc vu que k=w/c on a lambda=cT
Vitesse de phase
Dans un milieu lineaire ?
On a la phase de l’onde :
wt-kz +phi = k(w/k t -z) +phi
La vitesse de l’onde est w/k. Dans le vide vphi=w/k=c
Dans le cas d’un milieu lineaire vphi est independant de w
Utilisation des complexes,
Eoxcos(wt-kz+phix) devient
E=Eoxcos(wt-kz+phix) et suivant les autres composantes
_E= Eox ei(wt-kz+phix)
_Eo=_Eo ei(wt-k.r) avec _Eo=Eo ei(phi) amplitude complexe
Si _f(r,t)=ei(wt-k.r)
drond_f/drondt =
drond²_f/drond t²=
_grad(_f) =
drond_f/drondt = iw_f
drond²_f/drond t²= -w²_f
grad(f)= -ik _f
Donc 🔻=-ik
_🔺f =
_🔺f = -k² f
si _g(r,t) = _go ei(wt-k.r)
Div g=
Rot g=
_🔺g=
Div g = 🔻g = -ik g
Rot g = _🔺^g = -ik ^ g
_🔺g = 🔻²g = -k² g
OPPM dans le vide et equations de maxwell consequences :
_Eo=_Eo ei(wt-k.r)
_Bo=_Bo ei(wt-k.r)
Div E= 0 = -ik.E donc k ortho a E
Div B= 0 =-ik.B donc k ortho a B
Rot E= -ik^E = -wB d’ou B=(k^E)/w relation de structure
Pourquoi on etudie l’OPPM comme un model?
Car elle ne peut pas correspondre a la realité a cause de ses extensions spatiales et temporelles infinies
L’OPPM= composante elementaire d’un packet d’onde
L’etude de l’OPPM a le meme interet que l’etude des signaux sinusoidaux en electrocinetique.
D’apres fourier: les eq de Maxwell et d’Alembert sont lineaire donc par superposition on peut connaitre le comportement d’un signal periodique quelconque grace a la connaissance des harmoniques.
En resumé : Un signal physique reel emis par une source est
Un paquet d’onde qui resulte de la superposition de plusieurs OPPM se propageant dans la meme direction. L’OPPM est une composante elementaire du paquet d’onde
Densité volumique d’energie electromagnetique (OPPM dans le vide)
B=(u^E)/c donc ||B||=||E||/c donc uem= 1/2 Epsilon0E²+1/(2mu0) B²= Epsilon0E²
Il y a equirepartition de l’energie sous ces deux formes electriques et magnetiques
Lorsqu’on parle d’energie, JAMAIS JAMAIS :
De complexes
Vecteur de Poynting (OPPM dans le vide )
Pi= 1/mu0( E^B) = 1/mu0( E^(u^E)/c) = 1/muoc (E².u - (E.u)E) =1/muoc E².u = Epsilon0 c E².u = uem c u
Et cu = ve vitesse de propagation de l’energie
En quoi consiste l’etude de la polarisation d’une onde electromagnetique plane progressive monochromatique ?
Cela consiste en le suivi de l’evolution du champ electrique dans un plan normal a sa direction de propagation. L’observation de fait selon le sens opposé a celui de la propagation
