Analyse Vectorielle 🌐 Flashcards
Champ uniforme
Champ indépendant de la position r
Champ stationnaire (permanent)
Champ indépendant du temps
Champ constant
Champ uniforme et permanent
Tube de champ
On appelle tube de champ d’un champ vectoriel g(r,t) a t donne la surface formée par l’ensemble des lignes de champs de g qui s’appuient sur une courbe fermée déterminée
Contour
On appelle contour C toute courbe reliant deux points de l’espace
Quand A=B le contour est fermée et défini alors une surface orienté en définissant un sens de parcours positif
Circulation élémentaire de _g le champ
Puis circulation
dC = _g(M)._dlm
Pour la circulation on intègre sur le contour
dC en coordonnées cartésiennes
_g(M)._dlM
gxdx + gydy +gzdz
dC en coordonnées cylindriques
_g(M)._dlM
dC = gpdp + pgødø + gzdz
dC en coordonnées sphériques
_g(M)._dlM
dC = grdr + rgø dø + rsinøgphi dphi
Dans le cas où le champ vectoriel est un champ de force _g=_F
La circulation
dC = F(M).dLM = SW
Si intégrale gauss g(M).dLM= 0
Intégrale (M1,M2) g(M).dlM indépendant du chemin suivi pour aller de M1 a M2 g est a circulation conservatrice
Champ scalaire et champ vectorielle définition
On appelle champ d’une grandeur g dans une région de l’espace E a t donné l’ensemble des grandeurs g aux divers points M de E.
Flux du vecteur g à travers la surface S
₩= double intégrale g(M).dSM
Si le flux est nulle
Alors g est a flux conservatif
Opérateur Gradient
Transforme un scalaire f en vecteur _grad f tq df= _grad (f) . dl
Grad f est orthogonal
aux surfaces equi-f
Opérateur divergence
Transforme un vecteur _a en scalaire div(_a)
Div(_a) en cartésiennes
Div _a = drond (ax) / drond x + drond (ay)/drond y + drond (az) / drond z
Théorème de Green Ostrogradski
DoubleOintégrale _a(M,t)._dSM= triple intégrale div(_a(P,t)).dTop
Conséquence du théorème de Green Ostrogradski
Flux de E = Qint/Eo = triple intégrale ro(p).dTop / Eo = tripleIntegrale div(_E(p)) dTop donc
Div( _E) =ro(p)/Eo
Opérateur rotationnel
Opérateur qui transforme un vecteur _a en vecteur _rot(_a)
Opérateur rotationnel en coordonnées cartésiennes
_a= ax(x,y,z),ay...az...idem On a _rot(_a) = az/y - ay/z ax/z - az/x ay/x - ax/y Avec des drond a chaque terme
Comment trouver _rot(_a) en cartésiennes
(drond / drond x) ^ (ax(x,y,z))
(drond / drond y) (ay(x,y,z))
(drond / drond z) (az(x,y,z))
Théorème de Stokes-Ampère =
Ointégrale _a(M)._dlM = double intégrale _rot(_a(P))._dSp
Conséquences du théorème de Stokes-Ampere en électrostatique
Flux de E = Ointegrale dV = 0 = double intégrale rot(E(p)).dSp donc rot E= 0
Conséquences du théorème de Stokes-Ampere en magnétostatique
Rot B= muo J
Ointégrale _B(M)._dlM = double intégrale _rot(_B(P))._dSp
Cas d’un champ à rotation nulle
_rot(_a(P)) = 0
_a est a circulation conservative
Opérateur Laplacien vectoriel
Opérateur qui transforme un vecteur _a en un vecteur🔺(_a)
Opérateur Laplacien vectorielle en coordonnées cartésiennes
_🔺(_a) =
🔺ax = drond2 ax/drond x^2 +drond2 ax/drond y^2 + drond2ax/drond z^2
🔺ay = idem avec ay
🔺az = idem avec az
Opérateur Laplacien
Transforme un scalaire f en scalaire 🔺f
Opérateur Laplacien en coordonnées cartésiennes
🔺f = drond2f/drondx^2 + drond2f/drond y^2 + drond2 f / drond z^2
Propriétés des opérateurs :
Ils sont linéaires
Propriétés des opérateurs :
Divergence
Div (grad f) = 🔺f (opérateur laplacien)
Div( _rot (_a)) = 0
Propriétés des opérateurs :
Rotationnel
_rot(_gradf) = _0
_rot( _rot(_a)) = _grad(div(_a)) - _🔺(_f) (opérateur laplacien vectoriel)
_( a^(b^c) =
_(a.c)b - (a.b)c
Opérateur Nabla 💎
Opérateur de dérivation spatiale
Nabla en coordonnées cartésiennes
💎=
(drond/drond x)
(drond/drond y)
(drond/drond z)
Avec Nabla
_grad (f) =
Div (_a) =
_💎f
_💎._a
Avec Nabla
_rot(_a) =
🔺f =
_💎 ^ _a
_💎^2 f
