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Physique > Analyse Vectorielle 🌐 > Flashcards

Analyse Vectorielle 🌐 Flashcards

1
Q

Champ uniforme

A

Champ indépendant de la position r

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Q

Champ stationnaire (permanent)

A

Champ indépendant du temps

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Q

Champ constant

A

Champ uniforme et permanent

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4
Q

Tube de champ

A

On appelle tube de champ d’un champ vectoriel g(r,t) a t donne la surface formée par l’ensemble des lignes de champs de g qui s’appuient sur une courbe fermée déterminée

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5
Q

Contour

A

On appelle contour C toute courbe reliant deux points de l’espace
Quand A=B le contour est fermée et défini alors une surface orienté en définissant un sens de parcours positif

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6
Q

Circulation élémentaire de _g le champ

Puis circulation

A

dC = _g(M)._dlm

Pour la circulation on intègre sur le contour

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7
Q

dC en coordonnées cartésiennes

_g(M)._dlM

A

gxdx + gydy +gzdz

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8
Q

dC en coordonnées cylindriques

_g(M)._dlM

A

dC = gpdp + pgødø + gzdz

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9
Q

dC en coordonnées sphériques

_g(M)._dlM

A

dC = grdr + rgø dø + rsinøgphi dphi

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10
Q

Dans le cas où le champ vectoriel est un champ de force _g=_F

La circulation

A

dC = F(M).dLM = SW

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11
Q

Si intégrale gauss g(M).dLM= 0

A

Intégrale (M1,M2) g(M).dlM indépendant du chemin suivi pour aller de M1 a M2 g est a circulation conservatrice

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12
Q

Champ scalaire et champ vectorielle définition

A

On appelle champ d’une grandeur g dans une région de l’espace E a t donné l’ensemble des grandeurs g aux divers points M de E.

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13
Q

Flux du vecteur g à travers la surface S

A

₩= double intégrale g(M).dSM

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14
Q

Si le flux est nulle

A

Alors g est a flux conservatif

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15
Q

Opérateur Gradient

A

Transforme un scalaire f en vecteur _grad f tq df= _grad (f) . dl

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16
Q

Grad f est orthogonal

A

aux surfaces equi-f

17
Q

Opérateur divergence

A

Transforme un vecteur _a en scalaire div(_a)

18
Q

Div(_a) en cartésiennes

A

Div _a = drond (ax) / drond x + drond (ay)/drond y + drond (az) / drond z

19
Q

Théorème de Green Ostrogradski

A

DoubleOintégrale _a(M,t)._dSM= triple intégrale div(_a(P,t)).dTop

20
Q

Conséquence du théorème de Green Ostrogradski

A

Flux de E = Qint/Eo = triple intégrale ro(p).dTop / Eo = tripleIntegrale div(_E(p)) dTop donc

Div( _E) =ro(p)/Eo

21
Q

Opérateur rotationnel

A

Opérateur qui transforme un vecteur _a en vecteur _rot(_a)

22
Q

Opérateur rotationnel en coordonnées cartésiennes

A 
_a= ax(x,y,z),ay...az...idem
On a _rot(_a) = 
az/y - ay/z
ax/z - az/x
ay/x - ax/y
Avec des drond a chaque terme
23
Q

Comment trouver _rot(_a) en cartésiennes

A

(drond / drond x) ^ (ax(x,y,z))
(drond / drond y) (ay(x,y,z))
(drond / drond z) (az(x,y,z))

24
Q

Théorème de Stokes-Ampère =

A

Ointégrale _a(M)._dlM = double intégrale _rot(_a(P))._dSp

25
Q

Conséquences du théorème de Stokes-Ampere en électrostatique

A

Flux de E = Ointegrale dV = 0 = double intégrale rot(E(p)).dSp donc rot E= 0

26
Q

Conséquences du théorème de Stokes-Ampere en magnétostatique

A

Rot B= muo J

Ointégrale _B(M)._dlM = double intégrale _rot(_B(P))._dSp

27
Q

Cas d’un champ à rotation nulle

_rot(_a(P)) = 0

A

_a est a circulation conservative

28
Q

Opérateur Laplacien vectoriel

A

Opérateur qui transforme un vecteur _a en un vecteur🔺(_a)

29
Q

Opérateur Laplacien vectorielle en coordonnées cartésiennes

A

_🔺(_a) =
🔺ax = drond2 ax/drond x^2 +drond2 ax/drond y^2 + drond2ax/drond z^2
🔺ay = idem avec ay
🔺az = idem avec az

30
Q

Opérateur Laplacien

A

Transforme un scalaire f en scalaire 🔺f

31
Q

Opérateur Laplacien en coordonnées cartésiennes

A

🔺f = drond2f/drondx^2 + drond2f/drond y^2 + drond2 f / drond z^2

32
Q

Propriétés des opérateurs :

A

Ils sont linéaires

33
Q

Propriétés des opérateurs :

Divergence

A

Div (grad f) = 🔺f (opérateur laplacien)

Div( _rot (_a)) = 0

34
Q

Propriétés des opérateurs :

Rotationnel

A

_rot(_gradf) = _0

_rot( _rot(_a)) = _grad(div(_a)) - _🔺(_f) (opérateur laplacien vectoriel)

35
Q

_( a^(b^c) =

A

_(a.c)b - (a.b)c

36
Q

Opérateur Nabla 💎

A

Opérateur de dérivation spatiale

37
Q

Nabla en coordonnées cartésiennes

A

💎=
(drond/drond x)
(drond/drond y)
(drond/drond z)

38
Q

Avec Nabla
_grad (f) =
Div (_a) =

A

_💎f

_💎._a

39
Q

Avec Nabla

_rot(_a) =

🔺f =

A

_💎 ^ _a

_💎^2 f

Physique (18 decks)

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