Analyse Vectorielle 🌐

Question 1

Champ uniforme

Answer 1

Champ indépendant de la position r

Question 2

Champ stationnaire (permanent)

Answer 2

Champ indépendant du temps

Question 3

Champ constant

Answer 3

Champ uniforme et permanent

Question 4

Tube de champ

Answer 4

On appelle tube de champ d’un champ vectoriel g(r,t) a t donne la surface formée par l’ensemble des lignes de champs de g qui s’appuient sur une courbe fermée déterminée

Question 5

Contour

Answer 5

On appelle contour C toute courbe reliant deux points de l’espace
Quand A=B le contour est fermée et défini alors une surface orienté en définissant un sens de parcours positif

Question 6

Circulation élémentaire de _g le champ

Puis circulation

Answer 6

dC = _g(M)._dlm

Pour la circulation on intègre sur le contour

Question 7

dC en coordonnées cartésiennes

_g(M)._dlM

Answer 7

gxdx + gydy +gzdz

Question 8

dC en coordonnées cylindriques

_g(M)._dlM

Answer 8

dC = gpdp + pgødø + gzdz

Question 9

dC en coordonnées sphériques

_g(M)._dlM

Answer 9

dC = grdr + rgø dø + rsinøgphi dphi

Question 10

Dans le cas où le champ vectoriel est un champ de force _g=_F

La circulation

Answer 10

dC = F(M).dLM = SW

Question 11

Si intégrale gauss g(M).dLM= 0

Answer 11

Intégrale (M1,M2) g(M).dlM indépendant du chemin suivi pour aller de M1 a M2 g est a circulation conservatrice

Question 12

Champ scalaire et champ vectorielle définition

Answer 12

On appelle champ d’une grandeur g dans une région de l’espace E a t donné l’ensemble des grandeurs g aux divers points M de E.

Question 13

Flux du vecteur g à travers la surface S

Answer 13

₩= double intégrale g(M).dSM

Question 14

Si le flux est nulle

Answer 14

Alors g est a flux conservatif

Question 15

Opérateur Gradient

Answer 15

Transforme un scalaire f en vecteur _grad f tq df= _grad (f) . dl

Question 16

Grad f est orthogonal

Answer 16

aux surfaces equi-f

Question 17

Opérateur divergence

Answer 17

Transforme un vecteur _a en scalaire div(_a)

Question 18

Div(_a) en cartésiennes

Answer 18

Div _a = drond (ax) / drond x + drond (ay)/drond y + drond (az) / drond z

Question 19

Théorème de Green Ostrogradski

Answer 19

DoubleOintégrale _a(M,t)._dSM= triple intégrale div(_a(P,t)).dTop

Question 20

Conséquence du théorème de Green Ostrogradski

Answer 20

Flux de E = Qint/Eo = triple intégrale ro(p).dTop / Eo = tripleIntegrale div(_E(p)) dTop donc

Div( _E) =ro(p)/Eo

Question 21

Opérateur rotationnel

Answer 21

Opérateur qui transforme un vecteur _a en vecteur _rot(_a)

Question 22

Opérateur rotationnel en coordonnées cartésiennes

Answer 22

_a= ax(x,y,z),ay...az...idem
On a _rot(_a) = 
az/y - ay/z
ax/z - az/x
ay/x - ax/y
Avec des drond a chaque terme

Question 23

Comment trouver _rot(_a) en cartésiennes

Answer 23

(drond / drond x) ^ (ax(x,y,z))
(drond / drond y) (ay(x,y,z))
(drond / drond z) (az(x,y,z))

Question 24

Théorème de Stokes-Ampère =

Answer 24

Ointégrale _a(M)._dlM = double intégrale _rot(_a(P))._dSp

Question 25

Conséquences du théorème de Stokes-Ampere en électrostatique

Answer 25

Flux de E = Ointegrale dV = 0 = double intégrale rot(E(p)).dSp donc rot E= 0

Question 26

Conséquences du théorème de Stokes-Ampere en magnétostatique

Answer 26

Rot B= muo J | Ointégrale _B(M)._dlM = double intégrale _rot(_B(P))._dSp

Question 27

Cas d'un champ à rotation nulle | _rot(_a(P)) = 0

Answer 27

_a est a circulation conservative

Question 28

Opérateur Laplacien vectoriel

Answer 28

Opérateur qui transforme un vecteur _a en un vecteur🔺(_a)

Question 29

Opérateur Laplacien vectorielle en coordonnées cartésiennes

Answer 29

_🔺(_a) = 🔺ax = drond2 ax/drond x^2 +drond2 ax/drond y^2 + drond2ax/drond z^2 🔺ay = idem avec ay 🔺az = idem avec az

Question 30

Opérateur Laplacien

Answer 30

Transforme un scalaire f en scalaire 🔺f

Question 31

Opérateur Laplacien en coordonnées cartésiennes

Answer 31

🔺f = drond2f/drondx^2 + drond2f/drond y^2 + drond2 f / drond z^2

Question 32

Propriétés des opérateurs :

Answer 32

Ils sont linéaires

Question 33

Propriétés des opérateurs : Divergence

Answer 33

Div (grad f) = 🔺f (opérateur laplacien) Div( _rot (_a)) = 0

Question 34

Propriétés des opérateurs : | Rotationnel

Answer 34

_rot(_gradf) = _0 _rot( _rot(_a)) = _grad(div(_a)) - _🔺(_f) (opérateur laplacien vectoriel)

Question 35

_( a^(b^c) =

Answer 35

_(a.c)b - (a.b)c

Question 36

Opérateur Nabla 💎

Answer 36

Opérateur de dérivation spatiale

Question 37

Nabla en coordonnées cartésiennes

Answer 37

💎= (drond/drond x) (drond/drond y) (drond/drond z)

Question 38

Avec Nabla _grad (f) = Div (_a) =

Answer 38

_💎f _💎._a

Question 39

Avec Nabla _rot(_a) = 🔺f =

Answer 39

_💎 ^ _a _💎^2 f