Electrocinetique Flashcards
Intensité du courant est :
i=
quantité algébrique de charges qui traverse une section d’un conducteur
i=dq/dt
Loi des nœuds
La somme algébrique des courants arrivant sur un noeud est nulle
La tension Uab représente
La différence de potentiel entre le point À et le point B
Uab= Va - Vb
Loi des mailles
Dans une maille orienté, la somme algébrique des tensions est nulle
Puissance électrique p=
P=ui en Watt
Loi d’Ohm
U=Ri si conventions récepteurs
Ou
i=Gu avec G=1/R la conductance
La puissance reçu par une résistance est
P = Ri^2 = u^2/R
Courant électrique
Déplacement ordonné de porteurs de charges électriques dans un conducteur
Association série
Req=
Diviseur (pont diviseur) : Uj=
Req = som Rk
Uj= Rj/somRk Uensemble (seulement si i est le meme ds tous les dipoles
Association parallèle :
Geq=
Diviseur de courant : i1=
Geq=som Gk =1/Req = som 1/Rk
i1= U/R1= 1/R * i/ (1/R1+1/R2)
Gk = 1/Rk
Pour deux résistances montées en parallèle : Req =
R1R2/R1+R2
Source idéal de courant
Une source idéal de courant délivre le courant i=mu quelque soit u
mu est le courant électromoteur
Source de tension idéal
Une source de tension idéale délivre la tention u=e quelque soit le courant i
e est la force électromotrice
Modèle de Thevenin modèle de Norton
Thevenin : générateur de tension et résistance interne en série
U= e-Roi
Norton : générateur de courant idéal et résistance interne en parallèle
i=mu-u/Ro
Les sources sont liées par e=muRo
Condensateur
i=
Ec=
q=
I= dq/dt
q=Cu
Ec=1/2 Cu^2= q^2/2C
Bobine (idéal)
U=
El=
L’intensité du courant dans une bobine
U= Ldi/dt
El= 1/2Li^2
Ne peut pas subir de discontinuité
Un circuit est en régime libre si
Il ne comporte aucun générateur
Circuit est soumis à un échelon de tension si
Il comporte une source dont la fem est nul jusqu’à l’instant initial choisi, puis constante à partir de cet instant
Forme edo du second degré
d2x + wo/Q dx + wo^2 x = G
Q facteur de qualité
L’allure de la solution d’une équation différentielle d’ordre deux dépend de
Du discriminant Delta= wo^2(1/Q^2 -4)
Q pour un régime apériodique
Q moins que 1/2
Racine pour le régime pseudo-périodique soit Q >1/2
r12= -wo/2Q +- jwo racine (1-1/4Q^2) = -1/to +-j♎️
Avec ♎️=wo racine (1-1/4Q^2) pseudo-pulsation
To= temps caractéristique d’amortissement
2 racines complexes
U(t) pour un régime apériodique (solution de l’équation homogène)
U(t) = Aexp r1t + Bexpr2t
Racine pour le régime critique soit Delta = 0 et Q=1/2
r12=-wo
Racine réelle négative double
U(t) pour le régime critique (solution de l’équation homogène)
soit Delta = 0 et Q=1/2
U(t)= [At + B] exp rt
U(t) pour un régime pseudo-périodique (solution de l’équation homogène) soit Delta>1/2
U(t) = Xmexp(-t/to)Cos(wt+phi)
= exp(-t/to) [Acos wt + Bsin wt]
En régime sinusoïdale forcé, toutes les grandeurs sont de la forme :
W=
x(t)= Xm Cos (wt+phi)
W la pulsation imposée par le générateur
W=2pi f
Racine pour le régime apériodique Delta > 0 soit Q
r12 = -wo/2Q +- wo racine(1/4Q^2 -1)
Racines réelles négatives
La période T des signaux est
T=2pi/w = 1/f
Le déphasage d’une grandeur x1(t) par rapport à x2(t) est
Phi12 = phi1-phi2
Valeur efficace
On def la valeur efficace d’un signal périodique par
Xeff= racine () = racine( 1/T intégral de 0 à T x(t)^2dt)
Rms root medium square
Dans le cas d’un régime sinusoïdale on trouve Xeff =
Xeff=Xm/racine2
_X(t) =
Xm exp j(wt+phi) tel que x(t)=Re(_Xexp(jwt))
Avec _X= Xm exp jphi l’amplitude complexe
Loi Ohm complexe
_(U=ZI) en cond récepteur ou _Z est l’impédence complexe du dipôle
_Y =
L’Admittance _Y= 1/_Z = _I/_U
Impédance bobine
_Z= jLw
Impédance condensateur
_Z=1/jCw
Si Q>1/racine2
Il y a phénomène de raisonnance en charge à la pulsation
wr=wo racine (1-1/2Q^2)
Pour un complexe _X= a +jb
Arg(_X) =
g(_X) = arctan (b/a) si a >0 Arg(_X) = arctan (b/a) +-pi si a
Décomposition d’un signal
e(t) =
e(t) = Eo + som En sin (nwt +phi n) avec w=2pi/T
Eo la valeur moyenne du signal
nw l’harmonieux de rang n
_H =
_(S(t)/E(t)) = Gexp(jphi) avec G=|_Us/_Ue| = Usm/Uem = gain linéaire du filtre qui caractérise l’atténuation ou l’amplification du signal
phi = arg(_Us) - arg(_Ue) = phis - phie= déphasage entre us et ue
Gain en décibel défini par
Gdb= 20logG = 20 log |_H|
Filtre
Tout signal peut être décomposé en une somme de fonction sinusoïdales de pulsations w (ou fréquence f=w/2pi) différentes
Or Gdb=G et phi dépendent de la pulsation : un quadripôle donc sélectionné ou éliminer, dans un signal, certains termes selon leur fréquence.
Dérivateur
Si on peut écrire _H ~= k jw dans un certains domaines de fréquence, alors le quadripôle réalise une dérivation du signal d’entrée (a un facteur k près)
Intégrateur
Si on peut écrire _H ~= k /jw dans un certains domaines de fréquence, alors le quadripôle réalise une integration du signal d’entrée (a un facteur k près)
Courbe de gain représente
Courbe de phase représente
Gdb en fonction de logw ou log(w/wo)
Phi en fonction de logw ou log(w/wo)
Wo étant une pulsation de référence à déterminer pour chaque quadripôle
Les deux filtres principaux du premier ordre
Passe-bas :
Passe-haut :
Passe bas: _H=Ho/(1+jw/wo)
Passe-haut : _H=Ho (jw/wo ) / (1+jw/wo)
Pulsation de coupure a (-3dB)
Pulsation pour laquelle G(wc)= Gmax/racine2 cad Gdb(wc)=GdBmax -3dB
Si on travail avec la pulsation réduite GdB(xc)=Gdbmax - 3dB
Avec xc= Wc/Wo
Pulsation de coupure = intersection 2asymptotes
Wcb pulsation de coupure basse
Wch pulsation de coupure haute
Bande passante a -3dB
C’est la gamme de fréquence pour laquelle G(x)>Gmax/racine2
Intervalle de la bande passante pour un filtre passe-bande
DeltaW=Wo/Q soit Deltax = 1/Q c,est l’intervalle entre w1 et w2 centré autour d’wo
A basse fréquence: w->0
condensateur =
Bobine =
=interrupteur ouvert
=fils
A haute fréquence : w-> 8
Condensateur =
Bobine =
=fils
=interrupteur ouvert
Le potentiel electrique en un point A est
La valeur de l’état electrique de ce point a exprimé en Volt. On note Va
ARQS
Un circuit de dimension L vérifie l’approximation des régimes quasi stationnaires si la grandeurs to = L/C liée au circuit est inférieur à la grandeur temporelle caractéristique de l’évolution des grandeurs electrique. (Si to
En RC, la caractéristique statique courant-tension s’obtient :
En relevant différents points de fonctionnement. C’est la représentation graphique i=f(u)
Un dipôle est dit passif si
Sa caractéristique statique passe par l’origine. Sinon il est actif
Un dipôle est dit symétrique (ou non polarisé) si
sa caractéristique statique est symétrique par rapport à l’origine. Il est non symétrique sinon (polarisé)
Un dipôle est linéaire lorsque
U(t) et i(t) sont liés par une équation différentielle linéaire à coefficients constants. Sa caractéristique statique est une droite
Point de fonctionnement d’un circuit
On considère un circuit constitué de 2 dipôles. On représente sur un même graphique les caractéristiques des deux dipôles. Le point de fonctionnement est l’intersection.
Sur le schéma du condensateur. Le q est placé :
Du côté où arrive le courant
Condensateur
i=
q=
i= dq/dt = Cdu/dt
q=Cu
En régime continue
Condensateur =
Bobine =
Condensateur peut être assimilé à une interrupteur ouvert car quelque soit la tension u, i= 0
Bobine peut être assimilé à un fil car pour tout i, u=0
Sur le graphique de i=fu), le point où la caractéristique coupe l’axe des abscisses est
Le courant de court circuit
Condensateur en série
1/C= som(1/Ck)
Au bornes d’un condensateur la tension
Est continue
Au borne d’une bobine le courant est
Continue
A t=to on a
t=5to
Atteint 63% de la valeur finale
0,99% de la valeur finale
Q=1/2 : le régime
Pour lequel on atteint le régime permanent le plus rapidement
Regme sinusoïdale forcé ou permanent
La réponse d’un circuit linéaire a une excitation sinusoïdale est (après dissipation du régime transitoire) sinusoïdale de même pulsation w que l’excitation.
Unité de Z, de phi
Z en ohm
Phi en rad
Valeur moyenne
= 1/Tintegral de 0 à T f(t)dt
Vavg sur l’oscilloscope
Théorème de Fourier
Soir f un signal périodique continue par morceaux (continue ment dérivable sauf en un nbr fini de points par période) alors f développable de façon unique en série de Fourier
Théorème de Fourier
f(t) =
f(t)= a0 + som(1,8) [ak cos (kwt) + bksin(kwt)] a0 = valeur moyenne du signal ak= 2/T intégrale(0,T) f(t) cos(kwt)dt bk= 2/T intégrale(0,T) f(t) sin (kwt)dt
Dans la décomposition de Fourier
ak et bk sont :
Les coefficients de la série de Fourier, ils forment le spectre de f(t)
Autre forme de développement de Fourier
f(t) = a0 + som(1,8) Akcos(kwt +phik)
Ak = racine (ak^2 + bk^2)
Tan phik = bk/ak
Propriétés liées au développement de f(t) en série de Fourier
(Parité)
Si f paire, f(t) n’a pas de termes en sinus car bk = 0 pour tt k
f impaire, f(t) n’a pas de termes en Cos car ak=0 pour tt k
Propriétés liées au développement de f(t) en série de Fourier
(Période)
Si on peut écrire f(t-+T/2) =f(t) il ne reste que les harmoniques a2k et b2k
Si on peut écrire f(t+-T/2) = -f(t) il ne reste que les harmoniques impaires
Pour connaitre le spectre d’une fonction
On calcul les ak et les bk a l’aide des formules
Synthèse spectrale
Il s’agit de tenter de reconstruire un signal à partir de ses harmoniques
L’existence de variation brutal au cours du temps indique
La présence significative d’harmoniques de rang élevé dans la série de Fourier
Décomposition de Fourier pour un signal non périodique :
f(t) = integral(-8,8) g(w)exp(jwt)dw
G(w) caractérise le spectre de f
Signaux non périodique :
un signal sinusoïdale de durée delta t»_space; T, ac T la période d’un motif,
possède un spectre centré en f=1/T
Delta f l’étalement du spectre. on a
Df Dt ~ 1/2pi
Plus durer observation Dt longue, plus spectre serré (Df petit)
Une décade est
Un intervalle de pulsation comprise entre w et 10w
Gmax différent de GdB
En effet, GdB=20log(|G(w)|)
Ac G(w) l’amplitude complexe de la fonction de transfert
Filtre passif
Un filtre est passif s’il ne comporte pas de source d’énergie. Juste dipôles passifs comme R L C
Filtre actif
Possède une source d’énergie propre.
Contient n plus des dipôles passifs des dipôles actifs comme amplificateurs opérationnelles ou transistor
Un filtre est d’ordre 1 si
Son dénominateur est un polynôme du premier degré de la forme 1+jwto
Un filtre est d’ordre 2 si
Le dénominateur est un polynôme du 2ème degré du type :
1+jw/Qwo + (jw/wo)^2
Par le filtre de fonction de transfert
H(jw) = G(w) exp jphi(w)
S(t) =
D’apres le theoreme de superposition
S(t) = a0G(0)cos(phi(0)) + som (1,8) akG(kw)cos(kwt+phi(kw)) + bkG(kw)sin(kwt+phi(kw))
pour des bobines en parallèles
1/L =
som 1/Lk
numérateur de la fonction de transfert pour un coupe bande
1+(jw/wo)^2
signal échantillonné
tk=
on prélève la valeur d’un dignal à intervalle de temps régulier. Te période d’échantillonnage. (on prélève tous les Te)
tk=k Te
se(t) =
se(t)= k p(t) s(t) avec k cte du multiplieur telle que kPm=1
Pm l’amplitude de p(t) (créneau de période Te. durée d’un échantillon = to
p(t) = Pa0 +som(1,8) Paicos(iwt) Te-periodique
se(t) en Fourier puis simplifier
cosacosb = 1/2 (cos(a-b)+cos(a+b))
s(t)= Scos(wt+phi)
se(t) = PkaoScos(wt+phi)+som(1,8)kaiScos(wt+phi)cos(iwet)
=PkaoS cos(wt+phi) + som(1,8)kaiS/2[cos ((w+iwe)t+phi) + Cos ((iwe-w)t -phi)]
pour récupérer le dignal s(t) a partir du dignal se(t) (s sinusoïdale)
on utilise un filtre passe nas de fréquence de coupure f E ]f;fe-f[
conditions de Shannon-Nyquist
pour reconstruire un signal s(t) à partir d’un signal échantillonné se(t), fe doit être supérieur à 2 fois la fréquence max de s(t)
sinon phénomène de repliement (aliasing)
domaine fréquentiel =
notations complexes
si le spectre d’un dignal contient une raie pour f=0 ie une composante continue
cela correspond à la présence d’un courant (ou tension) continue
particularité du fondamentale
il donne la période du signal
taux de distorsion harmonique
THD= (racine(c2^2 + c3^2 + … +cn^2)) /c1
il mesure l’écart entre le signal et la sinusoïdale pure
rapport de la valeur efficace des harmoniques supérieurs à celle du fondamentale
comment obtenir une équation différentielle
1) directement en temporelle (si le circuit
Théorème de Dirichlet
Soit s une fonction T0-periodique. C0 d’une part et C1 par morceaux de l’autre. Alors le dev de la série de Fourier de s converge uniformément vers s. Cela assure l’égalité s(t)=Ss(t) avec Ss(t) le développement de en série de Fourier de la série s(t).
Formule de Parseval
Soit s(t) To périodique, C0 d’une part et C1 par morceaux de l’autre. s(t)= som(k) Ck cos (kwt + phik)
Alors Seff²=Co² + som(k) Ck²/2
Rappel : Xeff = racine ( MT(x²(t)) et en fait en développant les sommes on a des moyennes temporelles de cos dés que w1 diff w2.
Conséquences : l’énergie moyenne associé a une fonction périodique est égale a la somme des énergies moyennes associés à chacune de ses composantes de Fourier.
Formation des premiers ordres, quel circuit ?
Passe bas :
Passe haut :
RC ac us sur le condensateur
RL avec us sur la bobine
forme canonique du dénominateur d’un second ordre avec sigma le coef d’amortissement
1 + j2sigma w/wo + (jw/wo)²
sigma = 1/2Q
Qui a un caractère intégrateur ?
Le passe bas du premier ordre
Qui a un caractère dérivateur
le passe haut du premier ordre
