Differentielles/ Formes Differentielles Flashcards
Fonction d’une seule variable
Développement de Taylor de f en x
D’où la notation f(x+dx)-f(x) = f’(x)dx
Si f est suffisamment régulière
On a ce développement au voisinage de x
f(x+dºx) = f(x) + dºx f’(x) + (dºx)²/2! f’‘(x) + O(dºx)^3
D’où : f(x+dºx) - f(x) = dºx f’(x) + (dºx)²/2! f’‘(x) + O(dºx)^3 et quand dºx devient très petit on a
[f(x+dºx) - f(x) ]/ dºx = f’(x)+ (dºx)/2! f’‘(x) + O(dºx)^2
Et on note dx un accroissement dºx que l’on rend aussi proche de 0 que l’on veut d’où [f(x+dx) - f(x) ]/ dx = f’(x) ie f(x+dx)-f(x)= f’(x)dx
Fonction de plusieurs variables
si f est fonction de x et de y et est de C2
Comment on obtient df
f(x+dºx,y+dºy) = f(x,y) + dºx drond f/drondx + dºy drondf/drondy + les termes en d°(x et y)^2
Donc lorsque dº devient aussi petit qu’on veut (limdº 0 = d )
df= f(x+dx,y+dy) - f(x,y) = drondf/drondx dx + drondf/drondy dy c’est la différentielle de f en (x,y)
Forme différentielle définition
En prenant tjrs l’exemple d’une fonction de deux variables, une forme différentielle s’écrit :
d°W = P(x,y)dx + Q(x,y)dy ou dºW désigné une grandeur infinitésimale et non un accroissement fini
Une forme différentielle n est pas définie en un point M a un instant t, mais pour une transformation infinitésimale
Theoreme de Poincaré :
A quelle condition W(a,b) ne dépend-il que de A et B et non du chemin ?
il existe f(x,y) tq dºW = P(x,y)dx + Q(x,y)dy = df ssi
drondP/drondy = drondQ/drondx
Notation entre différentielle et forme différentielle
Pour une transformation infinitésimale, on note dºW une forme différentielle et df une différentielle
Définition fonction implicite
Si on a x y et z liées par la relation f(x,y,z) = 0, les trois variables ne sont pas indépendantes. Sinon fixe la valeur de y et de z. Celle de x est aussi fixée en vertu de la relation. x est donc une fonction implicite de y et de z
Calcule du volume d’un cône de sommet O d’axe Oz et de hauteur H et de demi-angle au sommet Alpha
On le découpe en tranche infinitésimale de hauteur dz
Le volume d’une telle tranche se confond avec le volume d’un cylindre circulaire de hauteur dz et de rayon r donc dV = pi r^2 dz
Pour le volume on intègre entre 0 et H sachant que r= z tan alpha
Theoreme de Schwartz
Si drond f / drondx et drond f / drondt sont de C1 alors f est de C2 et le theoreme s’applique :
Soit drond²f/drondx drondy = drond²f/drondy drondx
