Matriz Flashcards
Elemento de uma matriz
aij -> i = linha; j = coluna
Traço de uma matriz
a soma dos elementos da diagonal principal
Matriz unitária
com um elemento (1x1)
Matriz linha
com apenas uma linha
Matriz coluna
com uma coluna
Matriz nula
todos os elementos são nulos
Matriz quadrada
número de linhas igual o de colunas m = n
Matriz retangular
número de linhas diferente do número de colunas m ≠ n
Matriz diagonal
os números fora da diagonal principal são nulos
Matriz escalar
os elementos da diagonal principal são iguais
Matriz identidade ou unidade
os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e o restante, igual a zero
Matriz oposta
Obtida com a troca de sinais de um matriz conhecida
Matriz transposta (A^t)
obtida através da troca de linhas por colunas
Matriz simétrica
matriz quadrada de ordem n tal que A = A^t
Matriz antissimétrica
matriz quadrada de ordem n tal que A^t = -A
Matriz triangular
superior: os elementos à esquerda e abaixo da diagonal principal são nulos
inferior: os elementos à direita e acima da diagonal principal são nulos
Adição, subtração e multiplicar escalar na matriz
Adição e subtração: entre os termos correspondentes
Multiplicar escalar: multiplicar todos os elementos da matriz pelo termo
Multiplicação entre matrizes
condição: o número de colunas da primeira (n) é igual o número de linhas da segunda (n)
Resultado: matriz de ordem m (linhas da primeira) por k (colunas da segunda)
Como fazer: multiplicar as linhas da primeira pelas colunas da segunda, cada linha por coluna vai gerar apenas um elemento
Como descobrir a matriz inversa de uma matriz A de ordem 2?
A.A^-1 = I
Bizu: Se ela for de ordem 2: calcular e guardar o determinante -> trocar os elementos da diagonal principal e inverter o sinal dos elementos da diagonal secundária -> dividir todos os elementos pelo determinante
Como descobrir a matriz inversa de uma matriz A de ordem 3?
Bizu: descobrir o determinante de A e guardá-lo -> repetir a matriz como se fosse realizar a regra de sarrus porém com repetição também das duas primeiras linhas em baixo -> eliminar a primeira linha e coluna -> realizar o determinante dois a dois na vertical, colocando o resultado na horizontal -> dividir tudo pelo determinante
Propriedades da Matriz inversa
- Existe apenas uma inversa para cada matriz;
- Nem todas as matrizes possuem uma matriz inversa. Ela é invertível somente quando os produtos de matrizes quadradas resultam numa matriz identidade (I);
- A matriz inversa de uma inversa corresponde à própria matriz: (A^-1)^-1 = A;
- A matriz transposta de uma matriz inversa também é inversa: (A^-1)^t = (A^t)^-1;
- A matriz inversa de uma matriz transposta corresponde à transposta da inversa: (A^t)^-1 = (A^-1)^t;
- A matriz inversa de uma matriz identidade é igual à matriz identidade: I^-1 = I;
Propriedades da Matriz transposta
- (A^t)^t = A -> a transposta de uma matriz transposta é a matriz original;
- (A + B)^t = A^t + B^t -> a transposta da soma de duas matrizes é igual a soma da transposta de cada uma delas;
- (A.B)^t = B^t.A^t -> a transposta da multiplicação de duas matrizes é igual ao produto das transpostas de cada uma delas, em ordem inversa;
- det(A) = det(A^t) -> o determinante de A é igual ao determinante de sua inversa
Propriedades do determinante de uma matriz
- Se trocar uma fila de uma matriz, seu determinante será multiplicado por -1;
- Se multiplicar uma fila de uma matriz por k, seu determinante será multiplicado por k;
- det (A) = det (A^t);
- det (A^-1) = 1/det (A)
Teorema de Binet
det (A.B) = det (A).det (B)
Quando o determinante de uma matriz será automaticamente igual a 0?
- Se a matriz tiver uma fila nula
- Se duas filas forem iguais ou proporcionais
